Linear programming example 1991 UG

Linear programming example 1991 UG exam

A company manufactures four products (1,2,3,4) on two machines (X and Y). The time (in minutes) to process one unit of each product on each machine is shown below:

Machine
X Y
Product 1 10 27
2 12 19
3 13 33
4 8 23
The profit per unit for each product (1,2,3,4) is £10, £12, £17 and £8 respectively. Product 1 must be produced on both machines X and Y but products 2, 3 and 4 can be produced on either machine.

The factory is very small and this means that floor space is very limited. Only one week's production is stored in 50 square metres of floor space where the floor space taken up by each product is 0.1, 0.15, 0.5 and 0.05 (square metres) for products 1, 2, 3 and 4 respectively.

Customer requirements mean that the amount of product 3 produced should be related to the amount of product 2 produced. Over a week approximately twice as many units of product 2 should be produced as product 3.

Machine X is out of action (for maintenance/because of breakdown) 5% of the time and machine Y 7% of the time.

Assuming a working week 35 hours long formulate the problem of how to manufacture these products as a linear program.

Solution

Variables

Essentially we are interested in the amount produced on each machine. Hence let:

xi = amount of product i (i=1,2,3,4) produced on machine X per week

yi = amount of product i (i=2,3,4) produced on machine Y per week

where xi >= 0 i=1,2,3,4 and yi >= 0 i=2,3,4

Note here that as product 1 must be processed on both machines X and Y we do not define y1.

Constraints

floor space
0.1x1 + 0.15(x2 + y2) + 0.5(x3 + y3) + 0.05(x4 + y4)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Linear programming example 1991 UG examA company manufactures four products (1,2,3,4) on two machines (X and Y). The time (in minutes) to process one unit of each product on each machine is shown below: Machine X YProduct 1 10 27 2 12 19 3 13 33 4 8 23The profit per unit for each product (1,2,3,4) is £10, £12, £17 and £8 respectively. Product 1 must be produced on both machines X and Y but products 2, 3 and 4 can be produced on either machine.The factory is very small and this means that floor space is very limited. Only one week's production is stored in 50 square metres of floor space where the floor space taken up by each product is 0.1, 0.15, 0.5 and 0.05 (square metres) for products 1, 2, 3 and 4 respectively.Customer requirements mean that the amount of product 3 produced should be related to the amount of product 2 produced. Over a week approximately twice as many units of product 2 should be produced as product 3.Machine X is out of action (for maintenance/because of breakdown) 5% of the time and machine Y 7% of the time.Assuming a working week 35 hours long formulate the problem of how to manufacture these products as a linear program.SolutionVariablesEssentially we are interested in the amount produced on each machine. Hence let:xi = amount of product i (i=1,2,3,4) produced on machine X per weekyi = amount of product i (i=2,3,4) produced on machine Y per weekwhere xi >= 0 i=1,2,3,4 and yi >= 0 i=2,3,4Note here that as product 1 must be processed on both machines X and Y we do not define y1.Constraintsfloor space0.1x1 + 0.15(x2 + y2) + 0.5(x3 + y3) + 0.05(x4 + y4) <= 50customer requirementsx2 + y2 = 2(x3 + y3)Note here that as this is only an approximate (±5% say) constraint we might do better to express this constraint as0.95[2(x3 + y3)] <= x2 + y2 <= 1.05[2(x3 + y3)]available time10x1 + 12x2 + 13x3 + 8x4 <= 0.95(35)(60) (machine X)27x1 + 19y2 + 33y3 + 23y4 <= 0.93(35)(60) (machine Y)Objectivemaximise profit, i.e.maximise 10x1 + 12(x2 + y2) + 17(x3 + y3) + 8(x4 + y4)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตัวอย่างเช่นการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น 1991 UG สอบบริษัท ผลิตสี่ผลิตภัณฑ์ (1,2,3,4) สองเครื่อง (X และ Y) เวลา (นาที) ที่จะดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งหน่วยของสินค้าแต่ละเครื่องแต่ละคนจะแสดงด้านล่าง: เครื่องXY สินค้า 27 1 10 2 12 19 3 13 33 4 8 23 กำไรต่อหน่วยสำหรับแต่ละผลิตภัณฑ์ (1,2,3,4 ) เป็น£ 10 £ 12 £ 17 และตามลำดับ£ 8 1 สินค้าต้องผลิตในเครื่องทั้ง X และ Y แต่ผลิตภัณฑ์ 2, 3 และ 4 สามารถผลิตได้ทั้งบนเครื่อง. โรงงานมีขนาดเล็กมากและนั่นหมายความว่าพื้นที่ที่ จำกัด มาก เพียงคนเดียวที่ผลิตในสัปดาห์ถูกเก็บไว้ใน 50 ตารางเมตรของพื้นที่ที่มีพื้นที่ชั้นนำขึ้นมาจากผลิตภัณฑ์แต่ละชนิดคือ 0.1, 0.15, 0.5 และ 0.05 (ตารางเมตร) สำหรับผลิตภัณฑ์ 1, 2, 3 และ 4 ตามลำดับ. ความต้องการของลูกค้าหมายความว่า จำนวนเงินของการผลิตสินค้าที่ 3 ควรจะเกี่ยวข้องกับปริมาณของ 2 ผลิตภัณฑ์ที่ผลิต กว่าสัปดาห์ละสองครั้งโดยประมาณหน่วยเป็นจำนวนมากของผลิตภัณฑ์ 2 ควรได้รับการผลิตเป็นผลิตภัณฑ์ 3. เครื่อง X คือออกจากการกระทำ (สำหรับการบำรุงรักษา / เพราะรายละเอียด) 5% ของเวลาและเครื่อง Y 7% ของเวลา. สมมติว่าสัปดาห์การทำงาน 35 ชั่วโมงนานกำหนดปัญหาของวิธีการที่จะผลิตสินค้าเหล่านี้เป็นโปรแกรมเชิงเส้น. โซลูชั่นตัวแปรหลักที่เรามีความสนใจในปริมาณที่ผลิตได้ในแต่ละเครื่อง ดังนั้นให้: จิน = จำนวนของผลิตภัณฑ์ (i = 1,2,3,4) ผลิตเครื่อง X ต่อสัปดาห์ยี่= จำนวนของผลิตภัณฑ์ (i = 2,3,4) ผลิตเครื่อง Y ต่อสัปดาห์ที่จิน> = 0 i = 1,2,3,4 และยี่> = 0 i = 2,3,4 หมายเหตุนี่เป็นที่ 1 สินค้าจะต้องมีการประมวลผลบนเครื่องทั้ง x และ y ที่เราไม่ได้กำหนด y1. จำกัดชั้นพื้นที่0.1x1 + 0.15 (x2 + y2) + 0.5 (x3 + y3) + 0.05 (x4 + y4) <= 50 ความต้องการของลูกค้าx2 + y2 = 2 (x3 + y3) หมายเหตุ: การเช่นนี้เป็นเพียงการประมาณ (± 5% บอกว่า) ข้อ จำกัด ที่เราอาจจะทำได้ดีกว่าที่จะแสดงความ จำกัด นี้เป็น0.95 [2 (x3 + y3)] <= x2 + y2 <= 1.05 [2 (x3 + y3)] เวลาที่มี10x1 + 12x2 + 13x3 + 8x4 <= 0.95 (35) (60) (เครื่อง X) 27x1 + 19y2 + 33y3 + 23y4 <= 0.93 (35) (60) (เครื่อง Y) วัตถุประสงค์กำไรขยายเช่นเพิ่ม10x1 + 12 (x2 + y2) + 17 (x3 + y3) + 8 (x4 + y4)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวอย่างการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น 2534 ไมโครกรัมสอบ

บริษัทผลิตสี่ผลิตภัณฑ์ ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 2 เครื่อง ( X และ Y ) เวลา ( นาที ) กระบวนการหนึ่งหน่วยของแต่ละผลิตภัณฑ์ในแต่ละเครื่องจะแสดงด้านล่าง :

เครื่อง
x y
ผลิตภัณฑ์ 1 10 12 19 27
2
3 13 33
4 8 23
กำไรต่อหน่วยสำหรับแต่ละผลิตภัณฑ์ ( 1 , 2 , 3 , 4 ) กว่า 10 แห่งได้รับ 17 12 ง 8 ตามลำดับผลิตภัณฑ์ 1 ต้องผลิตบนเครื่องทั้ง X และ Y แต่ผลิตภัณฑ์ 2 , 3 และ 4 สามารถผลิตได้ทั้งในเครื่อง

โรงงานมีขนาดเล็กมากและนี้หมายความว่าพื้นที่มี จำกัด มาก เพียงหนึ่งสัปดาห์ของการผลิตจะถูกเก็บไว้ใน 50 ตารางเมตรของพื้นที่ชั้น ที่ชั้นพื้นที่ขึ้นมา โดยแต่ละผลิตภัณฑ์เป็น 0.1 , 0.15 และ 0.05 ( 0.5 เมตร ) สำหรับผลิตภัณฑ์ 1 , 2 , 3 และ 4 ตามลำดับ

ความต้องการของลูกค้าหมายถึง ปริมาณของผลิตภัณฑ์ 3 ผลิต ควรจะสัมพันธ์กับปริมาณของสินค้าที่ผลิต อาทิตย์กว่าประมาณสองเท่าหน่วยของผลิตภัณฑ์ 2 ควรจะผลิตสินค้า 3 .

เครื่อง x ออกปฏิบัติการ ( เพื่อรักษา / เพราะแบ่ง ) 5% ของเวลาและเครื่อง Y 7 % ของเวลา .

สมมติว่าสัปดาห์ทำงาน 35 ชั่วโมงนานกำหนดปัญหาของวิธีการผลิตผลิตภัณฑ์เหล่านี้เป็นโปรแกรมเชิงเส้น .





แก้ไขตัวแปรหลักที่เราสนใจในปริมาณการผลิตในแต่ละเครื่อง จึงปล่อยให้ :

ซี = ปริมาณสินค้าที่ฉัน ( ฉัน = 1 , 2 , 3 , 4 ) ผลิตในเครื่อง x ต่อสัปดาห์

อี้ = ปริมาณของผลิตภัณฑ์ที่ฉัน ( ฉัน = , 0 , ) ผลิตในเครื่อง Y ต่อสัปดาห์

ที่ 11 > = 0 = 1 , 2 , 3 , 4 และอี > = 0 = 24

ทราบที่นี่ว่าเป็นผลิตภัณฑ์ 1 ต้องประมวลผลบนเครื่องทั้ง X และ Y เราไม่กำหนดข้อจำกัด y1




0.1x1 พื้นที่ 0.15 ( x2 Y2 ) 0.5 ( X3 Y3 ) 0.05 ( X4 y4 ) < = 50

ลูกค้าความต้องการ
x2 Y2 = 2 ( X3 Y3 )

ทราบที่นี่ที่เป็นนี้เป็นเพียงการประมาณ ( ± 5% พูด ) ข้อจำกัดเราน่าจะดีกว่าแสดงข้อจำกัดนี้

0.95 [ 2 ( X3 Y3 ] < = < = 1.05 x2 Y2 [ 2 ( X3 Y3

) ]มีเวลา
( เค๊ก ) 10X1 12x2 13x3 8x4 < = 0.95 ( 35 ) ( 60 ) ( เครื่อง X )

27x1 19y2 33y3 23y4 < = 0.93 ( 35 ) ( 60 ) ( เครื่อง Y )

มี

เพิ่มกำไร เช่น

เพิ่ม ( เค๊ก ) 10X1 12 ( x2 Y2 ) 17 ( X3 Y3 ) 8 ( y4 ) !