A hanging chain takes the familiar

A hanging chain takes the familiar form known as the catenary which is one of the most ubiquitous curves students encounter in their daily life. Yet most introductory physics and mathematics texts ignore the subject entirely. In more advanced texts the catenary equation is usually derived as an application of the calculus of variations. Although the variational approach is mathematically elegant, it is suitable for more advanced students. Here we derive the catenary equation in special and rectangular coordinates by considering the equilibrium conditions for an element of the hanging chain and without resorting to the calculus of variations. One advantage of this approach is its simplicity which makes it accessible to undergraduate students; another is the concurrent derivation of a companion equation which gives the tension along the chain. These solutions provide an excellent opportunity for undergraduates to explore the underlying physics. One interesting result is that the shape of a hanging chain does not depend on its linear mass density or on the strength of the gravitational field. Therefore, within a scale factor, all catenaries are copies of the same universal curve. We give the functional dependence of the scale factor on the length and terminal angle of the hanging chain.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ห่วงโซ่ห้อยใช้แบบคุ้นเคยที่เรียกว่า catenary ที่แพร่หลายที่สุดโค้งนักเรียนพบในชีวิตประจำวัน ยัง ส่วนใหญ่ภาษาฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ข้อละเว้นเรื่องทั้งหมด มักจะได้รับสมการ catenary ในข้อความที่สูงขึ้น เป็นการประยุกต์รูปแบบของแคลคูลัส แม้ว่าวิธี variational เป็น mathematically สง่า เหมาะสำหรับนักเรียนที่สูงขึ้น ที่นี่เรามาสมการ catenary พิเศษและพิกัด โดยพิจารณาสมดุลเงื่อนไขสำหรับองค์ประกอบ ของห่วงโซ่ห้อย และ ไม่พยายามมากรูปแบบของแคลคูลัส ประโยชน์ข้อหนึ่งของวิธีนี้คือ ความเรียบง่ายซึ่งทำให้สามารถเข้าถึงนักศึกษาระดับปริญญาตรี อื่นมาพร้อมกันของสมการตัวช่วยซึ่งช่วยให้ความตึงเครียดตามสายได้ โซลูชั่นเหล่านี้มีโอกาสที่ดีสำหรับสูง ๆ การฟิสิกส์พื้นฐาน ผลหนึ่งน่าสนใจคือ ว่า รูปร่างของห่วงโซ่ห้อยไม่ขึ้นอยู่กับความหนาแน่นมวลของเส้น หรือความแรง ของฟิลด์ความโน้มถ่วง ภายในตัวเครื่องชั่ง ดังนั้น catenaries ทั้งหมดเป็นของสากลโค้งเดียวกัน เราให้ที่ทำงานพึ่งพาของตัวคูณสเกลมุมยาวและเทอร์มินัลของโซ่แขวน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ห่วงโซ่ห้อยจะคุ้นเคยรูปแบบเรียกว่าผสมซึ่งเป็นหนึ่งของเส้นโค้งที่แพร่หลายมากที่สุดนักเรียนที่พบในชีวิตประจําวัน แต่ฟิสิกส์เบื้องต้นที่สุดและตำราคณิตศาสตร์ ไม่สนใจเรื่องทั้งหมด ในข้อความขั้นสูงเพิ่มเติมสมการผสมมักจะได้มาเป็นโปรแกรมประยุกต์ของแคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลง . แม้ว่าการเป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่หรูหรามันเหมาะสำหรับนักเรียนขั้นสูง ที่นี่เราสร้างสมการในพิกัดผสมพิเศษและสี่เหลี่ยม โดยพิจารณาจาก สมดุล เงื่อนไขสำหรับองค์ประกอบของห่วงโซ่ห้อยโดยไม่ต้อง resorting เพื่อแคลคูลัสของการแปรผัน หนึ่งในข้อดีของวิธีการนี้คือ ความเรียบง่าย ซึ่งทำให้มันสามารถเข้าถึงนักศึกษา ;อื่นมาพร้อมกันจากสหายสมการซึ่งจะช่วยให้ความตึงเครียดตามแนวโซ่ โซลูชั่นเหล่านี้ให้โอกาสที่ดีสำหรับนักศึกษาเพื่อศึกษาพื้นฐานฟิสิกส์ ผลหนึ่งที่น่าสนใจคือ รูปร่างของห่วงโซ่ห้อยไม่ได้ขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของมวลเชิงเส้นหรือความแข็งแรงของสนามแรงโน้มถ่วง ดังนั้นภายในปัจจัยมาตราส่วนทั้งหมด catenaries เป็นสำเนาของเส้นโค้งสากลเหมือนกัน เราให้อิสระการทำงานของปัจจัยระดับความยาวและมุมของปลายห้อยโซ่