Linear Combinations of Normally Dis

Linear Combinations of Normally Distributed Variables
In the next theorem and corollary we shall prove the following important result : Every linear combination of random variables that are independent and normal distributed will also have a normal distribution.

Theorem 5.6.2 If the random variables X1,...,Xk are independent and if Xi has a normal distribution with mean Ui and variance #i(i=1,...k), then the sum X1+...+Xk has a normal distribution with mean Ui+...+Uk and variance #1+...+#k.

Proof. Let _i(t) denote the m.g.f. of Xi for i=1,...,k,and let _(t) denote the m.g.f. of X1+...+Xk. Since the variables X1,...,Xk are independent, then
_________________________
_________________________

From Eq. (5.6.4) the m.g.f. _(t) can be identified as the m.g.f. of a normal distribution for which the mean is ____ Ui and the variance is ___ .
Hence, the distribution of X1+...+Xk must be as stated in the theorem.

The following corollary is now obtained by combining Theorem 5.6.1 and Theorem 5.5.2.

Corollary 5.6.1. If the random variance _i(i=1,...,k), and if a1,...,ak and b are constants for which at least one of the values a1,...,ak is different from 0, then the variable a1X1+...+ak k+b has a normal distribution with mean a1U1+..+akUk+b and variance ___+...+_____.

The distribution if the sample mean for a random sample from a normal distribution can now be derived easily.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

รวมเชิงเส้นของตัวแปรการกระจายปกติในทฤษฎีบทและ corollary ต่อไป เราจะพิสูจน์ผลลัพธ์ที่สำคัญต่อไปนี้: ทุก ๆ ผลรวมเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระและกระจายปกติจะมีการแจกแจงปกติการทฤษฎีบท 5.6.2 ถ้าตัวแปรสุ่ม X 1,..., Xk เป็นอิสระ และถ้า ซีมีการแจกแจงปกติด้วยหมายถึง Ui และต่าง #i(i=1,...k) แล้วผลรวม X 1 +... + Xk มีการแจกแจงปกติด้วยหมายถึง Ui +...สหราชอาณาจักร และต่าง #1 +... + #kหลักฐานการ ให้แสดง m.g.f. ของสิหา _i(t) = 1,..., k และแสดง m.g.f. X 1 +... + Xk _(t) ให้ เนื่องจากตัวแปร x1,..., Xk เป็นอิสระ แล้ว __________________________________________________จาก Eq. (5.6.4) m.g.f. _(t) สามารถระบุเป็น m.g.f. การกระจายปกติซึ่งค่าเฉลี่ยเป็น___ Ui และความแปรปรวนเป็น___ ดังนั้น การแจกแจงของ X 1 +... + Xk ต้องเป็นตามที่ระบุไว้ในทฤษฎีบทขณะนี้มีรับ corollary ต่อไปนี้คือการรวมทฤษฎีบท 5.6.1 และทฤษฎีบท 5.5.2Corollary 5.6.1 ถ้า _i(i=1,...,k) สุ่มต่าง และ a1,..., ak และ b เป็นค่าคงที่อย่างน้อยหนึ่งค่า a1,..., ak เป็นแตกต่างจาก 0 ถ้าการแปร a1X1 +... + ak k + b มีการแจกแจงปกติ โดยเฉลี่ย a1U1 + ...+ akUk + b และผลต่าง___ +... + ___การกระจายถ้าหมายความว่า ตัวอย่างสำหรับตัวอย่างที่สุ่มจากการแจกแจงปกติสามารถรับมาตอนนี้ได้อย่างง่ายดาย

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

การรวมเชิงเส้นของตัวแปรกระจายปกติ
ในทฤษฎีบทถัดไปและส่งผลที่เราจะได้พิสูจน์ผลสำคัญต่อไปนี้: ทุกการรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มที่มีความเป็นอิสระและกระจายตามปกตินอกจากนี้ยังจะมีการกระจายปกติทฤษฎีบท 5.6.2 ถ้าตัวแปร X1 สุ่ม ,. .. , Xk มีความเป็นอิสระและหาก Xi มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยยูและ #I แปรปรวน (i = 1, ... k) จากนั้นผลรวม X1 + ... + Xk มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ยยู + ... + สหราชอาณาจักรและความแปรปรวน # 1 + ... + # k หลักฐาน ให้ _i (t) แสดง MGF ของ Xi สำหรับ i = 1, ... , k และให้ _ (t) แสดง MGF ของ X1 + ... + Xk เนื่องจากตัวแปร X1, ... , Xk เป็นอิสระแล้ว_________________________ _________________________ จากสมการ (5.6.4) MGF _ (t) สามารถระบุได้ว่าเป็น MGF ของการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็น ____ UI และความแปรปรวนเป็น ___ ดังนั้นการกระจายของX1 + ... + Xk ต้องเป็นไปตามที่ระบุไว้ใน ทฤษฎีบทข้อพิสูจน์ต่อไปนี้ได้ตอนนี้โดยการรวมทฤษฎีบท 5.6.1 และ 5.5.2 ทฤษฎีบท5.6.1 ควันหลง หาก _i แปรปรวนแบบสุ่ม (i = 1, ... , k) และถ้า a1, ... , AK และ b เป็นค่าคงที่อย่างน้อยหนึ่งของค่า a1, ... , AK จะแตกต่างจาก 0, แล้ว a1X1 ตัวแปร + ... + K AK + B มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย a1U1 + .. + akUk + B และความแปรปรวน ___ + ... + _____ กระจายตัวอย่างถ้าหมายถึงกลุ่มตัวอย่างที่สุ่มจากการกระจายปกติสามารถ ตอนนี้จะมาได้อย่างง่ายดาย

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เชิงเส้นผสมแบบปกติ ตัวแปร
ในทฤษฎีบทต่อไปและผลที่ตามมาเราจะพิสูจน์ผลที่สำคัญต่อไปนี้ : ทุกเส้นรวมกันของตัวแปรเชิงสุ่มที่เป็นอิสระและการแจกแจงแบบปกติก็มีการแจกแจงปกติ ทฤษฎีบท 5.6.2

ถ้าสุ่มตัวแปร x1 , . . . , XK เป็นอิสระและถ้าซีมีการแจกแจงปกติกับ UI ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน#ผม ( i = 1 , .. . . . . . . K ) แล้วรวม 1 . . . . . . . มีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ย XK อุ้ย . . . . . . . สหราชอาณาจักร และความแปรปรวน# 1 . . . . . . . # K .

หลักฐาน ให้ _i ( T ) แสดง m.g.f. Xi สำหรับฉัน = 1 , . . . , K , และให้ _ ( T ) แสดง m.g.f. ของ x1 . . . . . . . XK . เนื่องจากตัวแปร x1 , . . . , XK เป็นอิสระแล้ว

_________________________ _________________________

จาก อีคิว ( 5.6.4 ) m.g.f. _ ( T ) สามารถระบุเป็น m.g.f.ของการแจกแจงแบบปกติ ซึ่งหมายความว่า ____ UI และความแปรปรวนเป็น ___ .
ดังนั้นการกระจายของ x1 . . . . . . . XK ต้องตามที่ระบุในทฤษฎีบท .

ผลดังต่อไปนี้คือตอนนี้ได้โดยรวมของ 5.6.1 และทฤษฎีบท 5.5.2 .

5.6.1 ควันหลง . ถ้าความแปรปรวนแบบสุ่ม _i ( i = 1 , . . . , k ) และถ้า A1 , . . . , อลาสกาและ b เป็นค่าคงที่ซึ่งอย่างน้อยหนึ่งค่า A1 , . . .และแตกต่างจาก 0 แล้ว a1x1 ตัวแปร . . . . . . . และ K B มีการแจกแจงปกติที่มีค่าเฉลี่ย a1u1 . . . . . . . akuk B และความแปรปรวน ___ . . . . . . . _____

การกระจาย ถ้าหมายถึงตัวอย่าง สำหรับตัวอย่างที่สุ่มจากการแจกแจงแบบปกติสามารถจะได้มาโดยง่าย