Example 1.17 Find F (x) for the fol

Example 1.17
Find F (x) for the following:

2
F (x) = xx (x − t) cos tdt. (1.112)
We can set g (x) = x, h(x) = x2 , and f (x, t) = (x − t) cos t is a function of x

and t. Using Leibnitz rule (1.106) we find that

2
F 2 2 x
(x) = 2x(x − x ) cos x + cos tdt, (1.113)
x

or equivalently

2 2 2
F (x) = 2x(x − x ) cos x + sin x − sin x. (1.114)

Remarks

In this text of integral equations, we will concern ourselves in differentiation
of integrals of the form:
F (x) = 0x K (x, t)u(t)dt. (1.115)

In this case, Leibnitz rule (1.106) reduces to the form:
F (x) = K (x, x)u(x) + x ∂K (x, t)u(t)dt. (1.116)

0 ∂x
This will be illustrated by the following examples.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1.17 ตัวอย่าง
หา f (x) ต่อไปนี้:

2
f (x) = xx (x - t) TDT cos (1.112)
เราสามารถตั้งค่า g (x) = x, H (x) = x2 และ f (x, t) = (x - t) cos T เป็นฟังก์ชันของ x

และ T โดยใช้กฎ Leibnitz (1.106) เราพบว่า

2 F
2 x
2 (x) = 2x (x - x) cos x cos TDT, (1.113) x


หรือค่าเท่ากัน

2 2 2
f ( x) = 2x (x - x) cos x บาป x - x บาป (1.114)
หมายเหตุ


ในข้อความของสมการนี​​้เราจะกังวลเกี่ยวกับตัวเองในความแตกต่างของ
ปริพันธ์ของฟอร์ม:
f (x) = 0 x K (x, t) U (t) dt (1.115)

ในกรณีนี้ Leibnitz กฎ (1.106) ลดรูปแบบ:
f (x) = K (x, x) U (x) x ∂ K (x, t) U (t) dt (1.116)

0 ∂ x
นี้จะถูกแสดงโดยตัวอย่างต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตัวอย่างความ 1.17
หา F (x) สำหรับต่อไปนี้:

2
F (x) = xx (x − t) cos tdt (1.112)
เราสามารถตั้งค่า g (x) = x, h(x) = x 2 และ f (x, t) = (x − t) cos t เป็นฟังก์ชันของ x

และ Leibnitz ใช้ t. กฎ (1.106) เรา find 2 ที่


F 2 2 x
(x) = 2 x(x − x) cos x cos tdt, (1.113)
x

หรือ equivalently

2 2 2
F (x) = 2 x(x − x) cos x sin x − sin ไฟร์ (1.114)

หมายเหตุ

ในข้อความนี้เป็นสมการ เราจะกังวลตัวเองใน differentiation
ของปริพันธ์ของแบบฟอร์ม:
F (x) = 0 x u K (x, t) (t) dt (1.115)

Leibnitz กฎ (1.106) ลดลงในฟอร์มในกรณีนี้ :
F (x) = K (x, x)u(x) u ∂K x (x, t) (t) dt ∂x (1.116)

0
นี้จะแสดง โดยตัวอย่างต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตัวอย่างเช่น
not 1.17 ค้นหา F ( X )สำหรับรายการต่อไปนี้:

2
F ( X )= xx ( X - T )ผักกาดหวาน tdt. ( 1.112 )
เราสามารถตั้งค่า G ( X )= x h ( X )= x 2 และ T F ( x T )=( X - T )ผักกาดหวานคือการทำงานของ X

และ T การใช้ไลบ - นิทซกฎข้อที่( 1.106 )เรา find ที่

2 F 2

2 X ( X )= 2 X ( x - x ) x ผักกาดหวานผักกาดหวาน TDT ,( 1.113 )
x

หรือคู่แข่ง

222
F ( X )= 2 x ( x - x )ผักกาดหวาน x บาป x - บาป x . ( 1.114 )



หมายเหตุ:ในข้อความนี้ในตัวของสมเราจะคำนึงถึงตัวเองใน differentiation
ของ integrals ของแบบฟอร์มจะ
F ( X )= 0 x K ( x T ), U ( T )วันที่ปรับปรุงล่าสุด ( 1.115 )

ในกรณีนี้กฎข้อที่ไลบ - นิทซ( 1.106 )ช่วยลดในแบบฟอร์มให้
F ( X )= K ( X ) U ( X ) x ∂k ( x T ) U ( T )วันที่ปรับปรุงล่าสุด ( 1.116 )

0 ∂x
นี้จะถูกแสดงโดยตัวอย่างต่อไปนี้: