Completeness Axiom and Related Prop

Completeness Axiom and Related Properties
The Completeness Axiom or Least Upper Bound Property, is one of the fundamental properties of the real numbers. The
remaining properties are consequences of the Completeness Axiom, and you know how to deduce them from the Completeness
Axiom. These properties may seem obvious (and you can use them without further justification when doing epsilon proofs),
but they are closely tied to the real numbers, and there exist domains in which the properties fail (see Exercise 13.40 for an
example).
Completeness Axiom: Any nonempty subset of R that is bounded above has a least upper bound.
In other words, the Completeness Axiom guarantees that, for any nonempty set of real numbers S that is bounded above, a sup
exists (in contrast to the max, which may or may not exist (see the examples above). An analogous property holds for inf S:
Any nonempty subset of R that is bounded below has a greatest lower bound.
Archimedean Property: Given any real number x, there exists n ∈ N such that n > x.
In other words, this says that the set of natural numbers is not bounded (from above).
Completeness Axiom implies Archimedian Property (Proof Idea): Assume N is bounded above. By the Completeness
Axiom N must have a sup, say α = sup N. Now show that α − 1 must also be an upper bound for N, contradicting the definition
of a sup.
Completeness Axiom implies Monotone Convergence Theorem (Proof Idea): Assume a sequence {an} satisfies the
assumptions of the Monotone Convergence Theorem, i.e., is bounded and monotone, say monotone increasing. Since the sequence
is bounded, by the Completeness Axiom, it must have a sup, say α = sup{an : n ∈ N}. Now use the -definition of a sup, to
deduce that the sequence converges to α.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สัจพจน์ของความสมบูรณ์และคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องสัจพจน์ของความสมบูรณ์หรืออย่างน้อยขึ้นไปคุณสมบัติ เป็นหนึ่งในคุณสมบัติพื้นฐานของจำนวนจริง การคุณสมบัติที่เหลือมีลำดับของสัทพจน์สมบูรณ์ และคุณรู้วิธีอนุมานจากที่สมบูรณ์สัจพจน์ คุณสมบัติเหล่านี้อาจดูเหมือนชัดเจน (และคุณสามารถใช้ได้ โดยไม่มีเหตุผลเพิ่มเติมเมื่อทำปรู๊ฟเอปไซลอน),แต่พวกเขาอย่างใกล้ชิดอยู่กับจำนวนจริง และมีโดเมนคุณสมบัติล้มเหลว (ดู 13.40 ออกกำลังกายสำหรับการตัวอย่าง)สัทพจน์สมบูรณ์: ย่อยใด ๆ nonempty ของ R ที่ล้อมรอบด้านบนมีขอบเขตบนน้อยในคำอื่น ๆ สัจพจน์ครบถ้วนรับประกันที่ สำหรับชุดใด ๆ nonempty จำนวนจริง S ที่ล้อมรอบข้าง การดื่มมีอยู่ (ตรงข้ามกับสูงสุด ซึ่งอาจ หรืออาจไม่มีอยู่ (ดูตัวอย่างข้างต้น) มีคุณสมบัติคล้ายมี inf s:ชุดย่อยใด ๆ nonempty ของ R ที่ล้อมรอบด้านล่างมีขอบล่างสุดคุณสมบัติ Archimedean: รับทุกจำนวนจริง x มี n ∈ N ดังกล่าวที่ n > xในคำอื่น ๆ ซึ่งกล่าวว่า ชุดของตัวเลขธรรมชาติไม่ได้ล้อมรอบ (จากด้านบน)สัจพจน์ความสมบูรณ์หมายถึงคุณสมบัติ Archimedian (ความคิดหลักฐาน): N สมมติล้อมรอบข้าง โดยสมบูรณ์สัทพจน์ N ต้องมีทรัพย์มี ว่า α =ดื่ม N. ขณะนี้ แสดงว่าα− 1 ยังต้องมีขอบเขตบนสำหรับ N ทะลึ่งคำของทรัพย์สัจพจน์ความสมบูรณ์หมายถึงทฤษฎีบทไลต์บรรจบกัน (ความคิดหลักฐาน): สมมติลำดับ {ตัว} ตรงสมมติฐานของทฤษฎีบทการลู่เข้าไลต์ เช่น ไลต์ยาม และทาง เดียว พูดเพิ่มขึ้น ตั้งแต่ลำดับที่ล้อมรอบ โดยสัจพจน์ครบถ้วน จะต้องมีการดื่ม ว่า α =ดื่ม {การ: n ∈ N } ตอนนี้ ใช้ - คำจำกัดความของการดื่ม การdeduce ลำดับแร็คให้α

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ครบถ้วนและความจริงที่เกี่ยวข้องคุณสมบัติ
ครบถ้วนจริงหรือน้อยทรัพย์สินขอบเขตบนเป็นหนึ่งในคุณสมบัติพื้นฐานของตัวเลขจริง
คุณสมบัติที่เหลือเป็นผลของความสมบูรณ์ความจริงและคุณรู้วิธีที่จะอนุมานพวกเขาจากความสมบูรณ์
ความจริง คุณสมบัติเหล่านี้อาจดูเหมือนชัดเจน (และคุณสามารถใช้พวกเขาโดยไม่มีเหตุผลต่อไปเมื่อทำ Epsilon พิสูจน์)
แต่พวกเขาจะเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับตัวเลขจริงและมีอยู่โดเมนในคุณสมบัติที่ล้มเหลว (ดูการใช้สิทธิ 13.40 สำหรับ
ตัวอย่าง).
สมบูรณ์จริง : เซตย่อยว่างของ R ที่ตั้งอยู่ทางทิศเหนือมีน้อยบนปก.
ในคำอื่น ๆ ครบถ้วนความจริงรับประกันว่าสำหรับชุด nonempty ใด ๆ ของตัวเลขจริงของที่ตั้งอยู่ทางทิศเหนือเป็น SUP
อยู่ (ในทางตรงกันข้ามกับแม็กซ์ซึ่ง หรืออาจจะไม่อยู่ (ดูตัวอย่างข้างต้น) คุณสมบัติที่คล้ายคลึงถือสำหรับ S INF:.
ใดกลุ่มย่อยว่างของ R ที่มีขอบเขตด้านล่างมีที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่ถูกผูกไว้ที่ต่ำกว่า.
ทรัพย์สิน Archimedean: ที่กำหนดจำนวนจริง x มีอยู่ n ∈ n ดังกล่าว ที่ n> x.
ในคำอื่น ๆ นี้กล่าวว่าชุดของตัวเลขธรรมชาติที่ไม่ได้ล้อมรอบ (จากด้านบน).
สมบูรณ์จริงหมายถึง Archimedian อสังหาริมทรัพย์ (Idea หลักฐาน): สมมติ n ตั้งอยู่ทางทิศเหนือโดยสมบูรณ์.
ความจริงไม่มีต้องมี SUP พูดα = N. SUP ตอนนี้แสดงให้เห็นว่าα - 1 นอกจากนี้ยังต้องมีขีด จำกัด สำหรับ N, ขัดแย้งกับคำนิยาม
ของ SUP ได้.
สมบูรณ์จริงหมายถึง Monotone ทฤษฎีบทการลู่ (IDEA หลักฐาน): สมมติลำดับ {} สอดคล้องกับ
สมมติฐานของ เสียงเดียวทฤษฎีบทการลู่คือเป็นที่สิ้นสุดและเสียงเดียวพูดเสียงเดียวที่เพิ่มขึ้น ตั้งแต่ลำดับ
เป็นที่สิ้นสุดโดยสมบูรณ์ความจริงจะต้องมี SUP พูดα = SUP {นี้: n ∈ N} ตอนนี้ใช้ -definition ของ SUP ที่จะ
อนุมานว่าลำดับลู่ไปแอลฟา