SELF-RECIPROCAL POLYNOMIALS WITH RE

SELF-RECIPROCAL POLYNOMIALS WITH RELATED
MAXIMAL ZEROS
Jaegug Bae and Seon-Hong Kim∗
Abstract. For each real number n > 6, we prove that there is a sequence
{pk(n, z)}∞
k=1 of fourth degree self-reciprocal polynomials such that the
zeros of pk(n, z) are all simple and real, and every pk+1(n, z) has the
largest (in modulus) zero  where  and  are the first and the second
largest (in modulus) zeros of pk(n, z), respectively. One such sequence is
given by pk(n, z) so that
pk(n, z) = z4 − qk−1(n) z3 + (qk(n) + 2) z2 − qk−1(n) z + 1,
where q0(n) = 1 and other qk(n)’s are polynomials in n defined by the
severely nonlinear recurrence
4q2m−1(n) = q2
2m−2(n) − (4n + 1)
m−2
Y
j=0
q2
2j(n),
4q2m(n) = q2
2m−1(n) − (n − 2)(n − 6)
m−2
Y
j=0
q2
2j+1(n)
for m  1, with the usual empty product conventions, i.e., Q−1
j=0 bj = 1.
1. Introduction and statements of results
There are infinitely many sequences of monic integral polynomials
p1

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

POLYNOMIALS ซึ่งกันและกันเองกับที่เกี่ยวข้องศูนย์สูงสุดแบ้ Jaegug และ Hong Seon Kim∗บทคัดย่อ สำหรับทุกจำนวนจริง n > 6 เราพิสูจน์ว่า มีลำดับ∞ {คือ (n, z) }k = 1 สี่องศาซึ่งกันและกันเอง polynomials เช่นว่านี้ศูนย์คือ (n, z) มีทั้งหมดจริง และคือทุก + 1 (n, z) ได้ใหญ่ที่สุด (ในโมดูลัส) ศูนย์ และเป็นครั้งแรก และสองศูนย์ที่ใหญ่ที่สุด (ในโมดูลัส) ของพีเค (n, z), ตามลำดับ หนึ่งลำดับโดย pk (n, z) กำหนดให้คือ (n, z) = z4 − qk−1(n) z3 + (qk(n) + 2) z2 − qk−1(n) z + 1ที่ q0(n) = 1 และอื่น ๆ qk (n) ของ polynomials ใน n ที่กำหนดโดยมีการเกิดขึ้นรุนแรงไม่เชิงเส้น4q2m−1(n) = q22m−2(n) − (4n + 1)m−2Yj = 0ไตรมาสที่ 22j(n)4q2m(n) = q22m−1(n) − (n − 2)(n − 6)m−2Yj = 0ไตรมาสที่ 22j+1(n)สำหรับม. 1 พร้อมว่างเปล่าผลิตภัณฑ์ปกติ เช่น Q−1j = 0 bj = 11. แนะนำและรายงานผลเพียบมีหลายลำดับของ monic polynomials เป็นp1

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตนเองซึ่งกันและกันมีหลายชื่อที่เกี่ยวข้องกับ
MAXIMAL ศูนย์
Jaegug แบ้และซอนคิมฮง *
บทคัดย่อ สำหรับแต่ละจำนวนจริง n> 6 เราพิสูจน์ให้เห็นว่ามีลำดับ
{PK (n, ซี)} ∞
k = 1 การศึกษาระดับปริญญาที่สี่มีหลายชื่อด้วยตนเองซึ่งกันและกันเช่นที่
ศูนย์ของ PK (n, ซี) ทุกคนที่เรียบง่ายและเป็นจริง และทุก PK + 1 (n, ซี) มี
ที่ใหญ่ที่สุด (ในโมดูลัส) เป็นศูนย์? ที่ไหน และเป็นครั้งแรกและครั้งที่สอง
ที่ใหญ่ที่สุด (ในโมดูลัส) ของศูนย์ PK (n, ซี) ตามลำดับ หนึ่งลำดับดังกล่าวจะ
ได้รับจาก PK (n, ซี) เพื่อให้
PK (n, ซี) = z4 - QK-1 (n) z3 + (QK (n) + 2) z2 - QK-1 (n) Z + 1 ,
ที่ Q0 (n) = 1 และอื่น ๆ ที่ QK (n) 's มีหลายชื่อใน n กำหนดโดย
การเกิดขึ้นอีกไม่เชิงเส้นอย่างรุนแรง
4q2m-1 (n) = q2
2m-2 (n) - ​​(4n + 1)
ม. 2
Y
เจ = 0
q2
2j (n)
4q2m (n) = q2
2m-1 (n) - ​​(n - 2) (n - 6)
ม. 2
Y
= 0 เจ
q2
2j + 1 (n)
สำหรับ m? 1 กับสินค้าปกติการประชุมที่ว่างเปล่าเช่น Q-1
เจ bj = 0 = 1
1 บทนำและงบผล
มีลำดับหลายอย่างมากมายหนึ่งของพหุนาม monic
p1

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ชื่อที่ประกอบด้วยหลายคำที่เกี่ยวข้องกับ self-reciprocal
0
jaegug สูงสุดและฮองคิมซอนแบ∗
นามธรรม สำหรับแต่ละจำนวนจริง n > 6 เราพิสูจน์ว่ามีลำดับ
{ PK ( n , Z ) } ∞
k = 1 ระดับสี่พหุนามดังกล่าวว่าตนเองซึ่งกันและกัน
เลขศูนย์ของ PK ( N , Z ) จะง่ายและจริงและทุก PK 1 ( N , Z ) มี
ที่ใหญ่ที่สุด ( modulus ) ศูนย์   และที่   เป็นครั้งแรกและครั้งที่สอง
ที่ใหญ่ที่สุด ( modulus ) เลขศูนย์ของ PK ( n , Z ) ตามลำดับ ลำดับหนึ่งเช่น
ให้โดย pk ( n , Z ) ดังนั้น
pk ( n , z ) = −− 1 Z4 qk ( N ) z3 ( qk ( N ) 2 ) −− 1 qk กขึ้น ( N ) Z ,
ที่ q0 ( n ) = 1 และ qk ( N ) อื่น ๆ เป็นพหุนามใน n ที่กำหนด โดยการ 4q2m ไม่เชิง

อย่างรุนแรง− 1 ( n ) = 2
2 m ( n ) − ( − 2 5 1 )


J y m − 2 = 0 =
3
2j ( N )
4q2m ( n ) = 2
2 m − 1 ( ) − ( − 1 ) ( n − 6 )
m − 2
y
j = 0 =
3
2j 1 ( N )
m  1กับปกติว่างผลิตภัณฑ์การประชุมคือ Q − 1
j = 0 BJ = 1
1 ความรู้เบื้องต้นและรายงานผล
มีเพียบหลายลำดับพหุนาม
P1 ของโมนิกเป็นส่วนประกอบ