- ข้อความ
- ประวัติศาสตร์
How does platonic realism affect th
How does platonic realism affect the status of axiomatic set theory?
From the point of view of
platonic realism, mathematical objects are given to us ready-made, with all their features and all their
properties. It follows that to say a mathematical theorem is true means it expresses a correct
statement about the relevant mathematical objects. (For example, the proposition 2 + 2 = 4 is not
merely a formal statement provable in arithmetic; it states an actual fact about numbers.) Now—if
we admit that mathematical objects are given to us with all their properties, it follows, in particular,
that the notion of set is a fixed, well-defined concept which we are not free to alter for our own
convenience. Thus the “sets” created by Zermelo and von Neumann do not exist, and theorems which
purport to describe these nonexistent objects are false! In conclusion, if we were to accept a strict
interpretation of platonic realism, we would be forced to reject the systems of Zermelo and von
Neumann as mathematically invalid.
Fortunately, the trend, for some time now, has been away from platonism and toward a more
flexible, more “agnostic” attitude toward mathematical “truth.” For one thing, developments in
mathematics have been conforming less and less to the pattern dictated by platonic philosophy. For
another, the cardinal requirement of platonism—that every mathematical object correspond to a
definite, distinct object of our intuition (just as “point” and “line” refer to well-defined objects of our
spatial intuition)—came to be an almost unbearable burden on the work of creative mathematicians
by the nineteenth century. They were dealing with a host of new concepts (such as complex numbers,
abstract laws of composition, and the general notion of function) which did not lend themselves to a
simple interpretation in concrete terms. The case of the complex numbers is a good illustration of
what was happening. Classical mathematics never felt at ease with the complex numbers, for it lacked
a suitable “interpretation” of them, and as a result there were nagging doubts as to whether such things
really “existed.” Real numbers may be interpreted as lengths or quantities, but the square root of a
negative real number—this did not seem to correspond to anything in the real world or in our intuition
of number. Yet the system of the complex numbers arises in a most natural way—as the smallest
number system which contains the real numbers and includes the roots of every algebraic equation
with real coefficients; whether or not the complex numbers have a physical or psychological
counterpart seems irrelevant.
The case of the complex numbers strikes a parallel with the problem of axiomatic set theory. For
the “sets” created by Zermelo and von Neumann arise quite naturally in a mathematical context. They
give us the simplest notion of set which is adequate for mathematics and yields a consistent axiomatic
theory. Whether or not we can interpret them intuitively may be relatively unimportant.
Be that as it may, many mathematicians in the early 1900’s were reluctant to make so sharp a break
with tradition as axiomatic set theory seemed to demand. Furthermore, they felt, on esthetic grounds,
that a mathematical theory of sets should describe all the things—and only those things—which our
intuition recognizes to be sets. Among them was Bertrand Russell; in his efforts to reinstate intuitive
set theory, Russell was led to the idea that we may consider sets to be ordered in a hierarchy of
“levels,” where, if A and are sets and A is an element of , then is “one level higher” than A.
For example, in plane geometry, a circle (regarded as a set of points) is one level below a family of
circles, which, in turn, is one level below a set of families of circles. This basic idea was built by
Russell into a theory called the theory of types, which can be described, in essence, as follows.
Every set has a natural number assigned to it, called its level. The simplest sets, those of level 0,
are called individuals—they do not have elements. A collection of individuals is a set of level 1; a
collection of sets of level 1 is a set of level 2; and so on. In the theory of types the expression a ∈ B
is only meaningful if, for some number n, a is a set of level n and B is a set of level n + 1. It follows
that the statement x ∈ x has no meaning in the theory of types, and as a result, Russell’s paradox
vanishes for the simple reason that it cannot even be formulated.
From the point of view of
platonic realism, mathematical objects are given to us ready-made, with all their features and all their
properties. It follows that to say a mathematical theorem is true means it expresses a correct
statement about the relevant mathematical objects. (For example, the proposition 2 + 2 = 4 is not
merely a formal statement provable in arithmetic; it states an actual fact about numbers.) Now—if
we admit that mathematical objects are given to us with all their properties, it follows, in particular,
that the notion of set is a fixed, well-defined concept which we are not free to alter for our own
convenience. Thus the “sets” created by Zermelo and von Neumann do not exist, and theorems which
purport to describe these nonexistent objects are false! In conclusion, if we were to accept a strict
interpretation of platonic realism, we would be forced to reject the systems of Zermelo and von
Neumann as mathematically invalid.
Fortunately, the trend, for some time now, has been away from platonism and toward a more
flexible, more “agnostic” attitude toward mathematical “truth.” For one thing, developments in
mathematics have been conforming less and less to the pattern dictated by platonic philosophy. For
another, the cardinal requirement of platonism—that every mathematical object correspond to a
definite, distinct object of our intuition (just as “point” and “line” refer to well-defined objects of our
spatial intuition)—came to be an almost unbearable burden on the work of creative mathematicians
by the nineteenth century. They were dealing with a host of new concepts (such as complex numbers,
abstract laws of composition, and the general notion of function) which did not lend themselves to a
simple interpretation in concrete terms. The case of the complex numbers is a good illustration of
what was happening. Classical mathematics never felt at ease with the complex numbers, for it lacked
a suitable “interpretation” of them, and as a result there were nagging doubts as to whether such things
really “existed.” Real numbers may be interpreted as lengths or quantities, but the square root of a
negative real number—this did not seem to correspond to anything in the real world or in our intuition
of number. Yet the system of the complex numbers arises in a most natural way—as the smallest
number system which contains the real numbers and includes the roots of every algebraic equation
with real coefficients; whether or not the complex numbers have a physical or psychological
counterpart seems irrelevant.
The case of the complex numbers strikes a parallel with the problem of axiomatic set theory. For
the “sets” created by Zermelo and von Neumann arise quite naturally in a mathematical context. They
give us the simplest notion of set which is adequate for mathematics and yields a consistent axiomatic
theory. Whether or not we can interpret them intuitively may be relatively unimportant.
Be that as it may, many mathematicians in the early 1900’s were reluctant to make so sharp a break
with tradition as axiomatic set theory seemed to demand. Furthermore, they felt, on esthetic grounds,
that a mathematical theory of sets should describe all the things—and only those things—which our
intuition recognizes to be sets. Among them was Bertrand Russell; in his efforts to reinstate intuitive
set theory, Russell was led to the idea that we may consider sets to be ordered in a hierarchy of
“levels,” where, if A and are sets and A is an element of , then is “one level higher” than A.
For example, in plane geometry, a circle (regarded as a set of points) is one level below a family of
circles, which, in turn, is one level below a set of families of circles. This basic idea was built by
Russell into a theory called the theory of types, which can be described, in essence, as follows.
Every set has a natural number assigned to it, called its level. The simplest sets, those of level 0,
are called individuals—they do not have elements. A collection of individuals is a set of level 1; a
collection of sets of level 1 is a set of level 2; and so on. In the theory of types the expression a ∈ B
is only meaningful if, for some number n, a is a set of level n and B is a set of level n + 1. It follows
that the statement x ∈ x has no meaning in the theory of types, and as a result, Russell’s paradox
vanishes for the simple reason that it cannot even be formulated.
0/5000
How does platonic realism affect the status of axiomatic set theory? From the point of view ofplatonic realism, mathematical objects are given to us ready-made, with all their features and all theirproperties. It follows that to say a mathematical theorem is true means it expresses a correctstatement about the relevant mathematical objects. (For example, the proposition 2 + 2 = 4 is notmerely a formal statement provable in arithmetic; it states an actual fact about numbers.) Now—ifwe admit that mathematical objects are given to us with all their properties, it follows, in particular,that the notion of set is a fixed, well-defined concept which we are not free to alter for our ownconvenience. Thus the “sets” created by Zermelo and von Neumann do not exist, and theorems whichpurport to describe these nonexistent objects are false! In conclusion, if we were to accept a strictinterpretation of platonic realism, we would be forced to reject the systems of Zermelo and vonNeumann as mathematically invalid.Fortunately, the trend, for some time now, has been away from platonism and toward a moreflexible, more “agnostic” attitude toward mathematical “truth.” For one thing, developments inmathematics have been conforming less and less to the pattern dictated by platonic philosophy. Foranother, the cardinal requirement of platonism—that every mathematical object correspond to adefinite, distinct object of our intuition (just as “point” and “line” refer to well-defined objects of our
spatial intuition)—came to be an almost unbearable burden on the work of creative mathematicians
by the nineteenth century. They were dealing with a host of new concepts (such as complex numbers,
abstract laws of composition, and the general notion of function) which did not lend themselves to a
simple interpretation in concrete terms. The case of the complex numbers is a good illustration of
what was happening. Classical mathematics never felt at ease with the complex numbers, for it lacked
a suitable “interpretation” of them, and as a result there were nagging doubts as to whether such things
really “existed.” Real numbers may be interpreted as lengths or quantities, but the square root of a
negative real number—this did not seem to correspond to anything in the real world or in our intuition
of number. Yet the system of the complex numbers arises in a most natural way—as the smallest
number system which contains the real numbers and includes the roots of every algebraic equation
with real coefficients; whether or not the complex numbers have a physical or psychological
counterpart seems irrelevant.
The case of the complex numbers strikes a parallel with the problem of axiomatic set theory. For
the “sets” created by Zermelo and von Neumann arise quite naturally in a mathematical context. They
give us the simplest notion of set which is adequate for mathematics and yields a consistent axiomatic
theory. Whether or not we can interpret them intuitively may be relatively unimportant.
Be that as it may, many mathematicians in the early 1900’s were reluctant to make so sharp a break
with tradition as axiomatic set theory seemed to demand. Furthermore, they felt, on esthetic grounds,
that a mathematical theory of sets should describe all the things—and only those things—which our
intuition recognizes to be sets. Among them was Bertrand Russell; in his efforts to reinstate intuitive
set theory, Russell was led to the idea that we may consider sets to be ordered in a hierarchy of
“levels,” where, if A and are sets and A is an element of , then is “one level higher” than A.
For example, in plane geometry, a circle (regarded as a set of points) is one level below a family of
circles, which, in turn, is one level below a set of families of circles. This basic idea was built by
Russell into a theory called the theory of types, which can be described, in essence, as follows.
Every set has a natural number assigned to it, called its level. The simplest sets, those of level 0,
are called individuals—they do not have elements. A collection of individuals is a set of level 1; a
collection of sets of level 1 is a set of level 2; and so on. In the theory of types the expression a ∈ B
is only meaningful if, for some number n, a is a set of level n and B is a set of level n + 1. It follows
that the statement x ∈ x has no meaning in the theory of types, and as a result, Russell’s paradox
vanishes for the simple reason that it cannot even be formulated.
spatial intuition)—came to be an almost unbearable burden on the work of creative mathematicians
by the nineteenth century. They were dealing with a host of new concepts (such as complex numbers,
abstract laws of composition, and the general notion of function) which did not lend themselves to a
simple interpretation in concrete terms. The case of the complex numbers is a good illustration of
what was happening. Classical mathematics never felt at ease with the complex numbers, for it lacked
a suitable “interpretation” of them, and as a result there were nagging doubts as to whether such things
really “existed.” Real numbers may be interpreted as lengths or quantities, but the square root of a
negative real number—this did not seem to correspond to anything in the real world or in our intuition
of number. Yet the system of the complex numbers arises in a most natural way—as the smallest
number system which contains the real numbers and includes the roots of every algebraic equation
with real coefficients; whether or not the complex numbers have a physical or psychological
counterpart seems irrelevant.
The case of the complex numbers strikes a parallel with the problem of axiomatic set theory. For
the “sets” created by Zermelo and von Neumann arise quite naturally in a mathematical context. They
give us the simplest notion of set which is adequate for mathematics and yields a consistent axiomatic
theory. Whether or not we can interpret them intuitively may be relatively unimportant.
Be that as it may, many mathematicians in the early 1900’s were reluctant to make so sharp a break
with tradition as axiomatic set theory seemed to demand. Furthermore, they felt, on esthetic grounds,
that a mathematical theory of sets should describe all the things—and only those things—which our
intuition recognizes to be sets. Among them was Bertrand Russell; in his efforts to reinstate intuitive
set theory, Russell was led to the idea that we may consider sets to be ordered in a hierarchy of
“levels,” where, if A and are sets and A is an element of , then is “one level higher” than A.
For example, in plane geometry, a circle (regarded as a set of points) is one level below a family of
circles, which, in turn, is one level below a set of families of circles. This basic idea was built by
Russell into a theory called the theory of types, which can be described, in essence, as follows.
Every set has a natural number assigned to it, called its level. The simplest sets, those of level 0,
are called individuals—they do not have elements. A collection of individuals is a set of level 1; a
collection of sets of level 1 is a set of level 2; and so on. In the theory of types the expression a ∈ B
is only meaningful if, for some number n, a is a set of level n and B is a set of level n + 1. It follows
that the statement x ∈ x has no meaning in the theory of types, and as a result, Russell’s paradox
vanishes for the simple reason that it cannot even be formulated.
การแปล กรุณารอสักครู่..
ส่งผลกระทบต่อความเป็นธรรมชาติไม่สงบสถานะของจริงทฤษฎีเซต? จากมุมมองของความเป็นธรรมชาติสงบวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีให้กับเราพร้อมทำที่มีคุณสมบัติทั้งหมดของพวกเขาและพวกเขาทั้งหมดคุณสมบัติ มันตามที่จะบอกว่าทฤษฎีบทคณิตศาสตร์เป็นความจริงหมายความว่ามันเป็นการแสดงออกถึงความถูกต้องคำสั่งเกี่ยวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง (ยกตัวอย่างเช่นเรื่องที่ 2 + 2 = 4 ไม่ได้เป็นเพียงคำสั่งอย่างเป็นทางการสามารถพิสูจน์ได้ในการคำนวณ. ระบุความเป็นจริงเกี่ยวกับตัวเลข) ตอนนี้ถ้าเรายอมรับว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีให้กับเราด้วยคุณสมบัติทั้งหมดของพวกเขาก็ดังต่อไปนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ความคิดของชุดจะได้รับการแก้ไขที่ดีที่กำหนดแนวความคิดที่เราไม่ได้ฟรีที่จะปรับเปลี่ยนของเราเองสำหรับความสะดวกสบาย ดังนั้น "ชุด" สร้างขึ้นโดย Zermelo และ von Neumann ไม่อยู่และทฤษฎีบทซึ่งตั้งใจที่จะอธิบายไม่มีวัตถุเหล่านี้เป็นเท็จ! สรุปได้ว่าถ้าเราจะยอมรับการเข้มงวดการตีความของความสมจริงสงบเราจะถูกบังคับให้ปฏิเสธระบบ Zermelo และฟอนนอยมันน์เป็นไม่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์. โชคดี, แนวโน้มสำหรับเวลาในขณะนี้บางส่วนได้รับออกไปจาก platonism และต่อ อื่น ๆ อีกมากมายที่มีความยืดหยุ่นมากขึ้นทัศนคติ "ไม่เชื่อเรื่องพระเจ้า" ไปทางคณิตศาสตร์ "ความจริง". สำหรับสิ่งหนึ่งที่การพัฒนาในวิชาคณิตศาสตร์ได้รับสอดคล้องน้อยลงและน้อยกับรูปแบบการกำหนดโดยปรัชญาสงบ สำหรับอีกหนึ่งความต้องการสำคัญของ platonism ที่ทุกวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกับที่แน่นอนของวัตถุที่แตกต่างของสัญชาตญาณของเรา (เช่นเดียวกับ "จุด" และ "สาย" หมายถึงวัตถุที่ดีที่กำหนดของเราปรีชาเชิงพื้นที่) -came จะเป็นเกือบ ภาระเหลือทนในการทำงานของนักคณิตศาสตร์สร้างสรรค์โดยศตวรรษที่สิบเก้า พวกเขาได้รับการติดต่อกับโฮสต์ของแนวคิดใหม่ (เช่นตัวเลขที่ซับซ้อนกฎหมายนามธรรมขององค์ประกอบและความคิดทั่วไปของฟังก์ชั่น) ซึ่งไม่ได้ยืมตัวให้ตีความง่ายในแง่ที่เป็นรูปธรรม กรณีของตัวเลขที่ซับซ้อนเป็นภาพที่ดีของสิ่งที่เกิดขึ้น คณิตศาสตร์คลาสสิกไม่เคยรู้สึกสบายใจกับตัวเลขที่ซับซ้อนสำหรับมันขาดความเหมาะสม "ตีความ" ของพวกเขาและเป็นผลให้มีข้อสงสัยจู้จี้เป็นไปได้ว่าสิ่งนั้นจริงๆ "อยู่." ตัวเลขจริงอาจตีความได้ว่ายาวหรือปริมาณ แต่รากที่สองของจำนวนนี้จริงเชิงลบไม่ได้ดูเหมือนจะสอดคล้องกับสิ่งที่อยู่ในโลกแห่งความจริงหรือในสัญชาตญาณของเราจำนวน แต่ระบบการทำงานของตัวเลขที่ซับซ้อนที่เกิดขึ้นในทางที่เป็นธรรมชาติมากที่สุดเล็กที่สุดระบบตัวเลขที่มีตัวเลขจริงและรวมถึงรากของทุกสมการพีชคณิตที่มีสัมประสิทธิ์จริง หรือไม่ว่าจะมีตัวเลขที่ซับซ้อนทางร่างกายหรือจิตใจคู่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้อง. กรณีของตัวเลขที่ซับซ้อนนัดขนานกับปัญหาของจริงทฤษฎีเซต สำหรับ"ชุด" สร้างขึ้นโดย Zermelo และ von Neumann เกิดขึ้นค่อนข้างเป็นธรรมชาติในบริบททางคณิตศาสตร์ พวกเขาทำให้เรามีความคิดที่ง่ายที่สุดของชุดซึ่งเป็นที่เพียงพอสำหรับการคณิตศาสตร์และอัตราผลตอบแทนจริงที่สอดคล้องทฤษฎี หรือไม่เราสามารถแปลความหมายได้อย่างสังหรณ์ใจอาจจะไม่สำคัญค่อนข้าง. เป็นไปได้ว่ามันอาจคณิตศาสตร์จำนวนมากในช่วงต้นปี 1900 ไม่เต็มใจที่จะให้ความคมชัดเพื่อแบ่งกับประเพณีเป็นจริงทฤษฎีเซตดูเหมือนจะเรียกร้อง นอกจากนี้พวกเขารู้สึกว่าในบริเวณงามที่ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของชุดควรจะอธิบายสิ่งและทุกสิ่งเท่านั้นซึ่งผู้ที่เราตระหนักถึงสัญชาตญาณที่จะเป็นชุด ในหมู่พวกเขาเป็นเบอร์ทรานด์รัสเซล; ในความพยายามของเขาที่จะกลับไปใช้งานง่ายตั้งทฤษฎี, รัสเซลนำไปสู่ความคิดที่ว่าเราอาจจะพิจารณาชุดที่จะสั่งซื้อในลำดับชั้นของ"ระดับ" ที่ถ้าและเป็นชุดและเป็นองค์ประกอบของแล้วคือ "หนึ่งระดับ ที่สูงขึ้น "กว่า A. ตัวอย่างเช่นในรูปทรงเรขาคณิตเครื่องบินวงกลม (ถือได้ว่าเป็นชุดของจุด) เป็นระดับที่ต่ำกว่าครอบครัวของวงการซึ่งในที่สุดก็เป็นระดับที่ต่ำกว่าชุดของครอบครัวของวงการ ความคิดพื้นฐานนี้ถูกสร้างขึ้นโดยรัสเซลเข้าไปในทฤษฎีที่เรียกว่าทฤษฎีของชนิดซึ่งสามารถอธิบายได้ในสาระสำคัญดังต่อไปนี้. ชุดทุกคนมีจำนวนธรรมชาติกำหนดให้มันเรียกว่าระดับ ชุดง่ายผู้ที่ระดับ 0, จะเรียกว่าบุคคลที่พวกเขาไม่ได้มีองค์ประกอบ คอลเลกชันของบุคคลที่เป็นชุดของระดับที่ 1; คอลเลกชันของชุดระดับที่ 1 คือชุดของระดับ 2; เป็นต้น ในทางทฤษฎีประเภทแสดงออก∈ B เป็นเพียงความหมายถ้าจำนวน n บางคือชุดของระดับ n และ B เป็นชุดของระดับ n + 1 ต่อไปว่าคำสั่ง x ∈ x ไม่มีความหมายใน ทฤษฎีของชนิดและเป็นผลให้ความขัดแย้งของรัสเซลหายไปด้วยเหตุผลง่ายๆว่ามันจะไม่ได้ถูกกำหนด
การแปล กรุณารอสักครู่..
หัวหน้าคณะกรรมาธิการยุโรป ฌอง โคลด เกอร์ , ได้กล่าวว่าเขารู้สึก " ทรยศ " โดย " ความทะนงตัว " แสดงโดยในการเจรจาหนี้กรีซล้มเหลว
เขาบอกข่าวประชุมว่าข้อเสนอกรีกมี " ล่าช้า " หรือ " จงใจเปลี่ยน " คน " กรีกควรพูดความจริง " แต่ประตูยังเปิดให้พูดคุย
กรีซได้เรียกเซอร์ไพรส์กรีกประชามติ และธนาคารจะปิด
สำหรับสัปดาห์บิตบิตบิตบิตบิตบิตบิตบิตบิตบิตบิตหัวหน้าคณะกรรมาธิการยุโรป ฌอง โคลด เกอร์ , ได้กล่าวว่าเขารู้สึก " ทรยศ " โดย " ความทะนงตัว " แสดงโดยในการเจรจาหนี้กรีซล้มเหลว
เขาบอกข่าวประชุมว่าข้อเสนอกรีกมี " ล่าช้า " หรือ " จงใจเปลี่ยน " คน " กรีกควรพูดความจริง " แต่ประตูยังเปิดให้พูดคุย
กรีซได้เรียกเซอร์ไพรส์กรีกประชามติ และธนาคารจะปิด
สำหรับสัปดาห์
เขาบอกข่าวประชุมว่าข้อเสนอกรีกมี " ล่าช้า " หรือ " จงใจเปลี่ยน " คน " กรีกควรพูดความจริง " แต่ประตูยังเปิดให้พูดคุย
กรีซได้เรียกเซอร์ไพรส์กรีกประชามติ และธนาคารจะปิด
สำหรับสัปดาห์บิตบิตบิตบิตบิตบิตบิตบิตบิตบิตบิตหัวหน้าคณะกรรมาธิการยุโรป ฌอง โคลด เกอร์ , ได้กล่าวว่าเขารู้สึก " ทรยศ " โดย " ความทะนงตัว " แสดงโดยในการเจรจาหนี้กรีซล้มเหลว
เขาบอกข่าวประชุมว่าข้อเสนอกรีกมี " ล่าช้า " หรือ " จงใจเปลี่ยน " คน " กรีกควรพูดความจริง " แต่ประตูยังเปิดให้พูดคุย
กรีซได้เรียกเซอร์ไพรส์กรีกประชามติ และธนาคารจะปิด
สำหรับสัปดาห์
การแปล กรุณารอสักครู่..
ภาษาอื่น ๆ
การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.
- Wow baby....mmmmm, you always make me fe
- Bike Cycle Bicycle handlebar Extender Su
- สมัคร
- Sine
- Today , I'm busy all day because it is o
- Daughter
- keep waiting
- bitten
- After I
- ตอนนั้น ฉันไม่ได้ทำงานอย่างเดียว ฉันยังเ
- put
- Daughter
- saadakah kamu mandi sebelum belajar
- Sorry, you have not corrected the link a
- หัวหน้าคลังสินค้าและจัดส่ง
- What's wrong Hun
- พรุ่งนี้วันพระ
- don't hesitate to smile , because sky ia
- The accommodation and grounds form an in
- Finally
- The perpetrators of the September 11 att
- Other ingredients suitable for cold proc
- Wow baby....mmmmm, you always make me fe
- ขอเวลา
