(this chair, a table, etc.). This a

(this chair, a table, etc.). This also occurs when we analyse mathematical practices (the letter x on the board, the function f(x) = 3x + 2, etc.). The extensive/intensive facet (exemplar/type; particular/general) acts upon these objects.
Another form which mathematical objects can take in mathematical practices is thus related to the extensive/intensive duality. They may be participating as particular or general objects and, depending on the language game, they may shift from being particular to general or vice-versa.
Mathematical reasoning, going from the general to the general, introduces an intermediate phase that consists in contemplating a particular object. However, this fact poses a serious dilemma: the reasoning has to be carried out on a specific object (for example, a triangle), but this object refers to a generalisation. Furthermore, since the specific object is linked to its representation there is also the problem of whether the representation refers to a specific object or a general concept (Font, Godino & D‘Amore, 2007).
The introduction of the extensive/intensive duality in the onto-semiotic approach can help to clarify the problem of the use of generic elements (Font & Contreras, 2008). This duality becomes an essential instrument in analysing the complexity associated with the use of the generic element. Expressed differently, the use of the generic element is associated with a complex network of semiotic functions (and, therefore, representations) that relate intensive with extensive objects. What these semiotic functions have in common is that they are all of the representational type, in the sense that they facilitate the representation of the expression of content; however, they can also be of different types according to whether the expression or the content are extensive or intensive, and according to the correspondence criterion between the expression and the content. For example, when a subject relates an object with the class to which it belongs, this semiotic function is, on one hand, representational, in the sense that the particular case can be taken as a representative of the class. However, on the other hand, it is of the metonymic type (in particular, a synecdoche [Presmeg, 1998b]) since an extensive (a part) is taken for the whole (the class); in this case the correspondence criterion is that of ―belonging‖. In some cases the semiotic functions are exclusively representational.
Representation in relation to the duality ‗expression/content’
In order to apply the facet ‗extensive/intensive‘ to objects, these require a sign that enunciates them (in a certain way, it accompanies them). Although small children may not differentiate between sign and object, adults do make this distinction. Peirce (1978, §2.228) mentions this idea:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

(เก้าอี้นี้ แบบตาราง ฯลฯ) นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นเมื่อเราวิเคราะห์ปฏิบัติการทางคณิตศาสตร์ (ตัวอักษร x บนกระดาน f (x)ฟังก์ชัน = 3 x + 2 ฯลฯ .) กระทำกว้างขวาง/เร่งรัดแง่ (ผู้ทรง/ชนิด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง/ทั่วไป) เมื่อวัตถุเหล่านี้แบบฟอร์มอื่นที่วัตถุทางคณิตศาสตร์สามารถใช้ในการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์จึงเกี่ยวข้องกับเป็นคู่ครอบ/เร่งรัด พวกเขาอาจเข้าร่วมเป็นวัตถุเฉพาะ หรือทั่วไป และ ขึ้นอยู่กับเกมภาษา พวกเขาอาจเปลี่ยนจากการเฉพาะทั่วไปหรือกลับให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ไปจากทั่วไปที่ทั่วไป แนะนำระยะกลางที่ประกอบด้วยการใคร่ครวญวัตถุเฉพาะเจาะจง อย่างไรก็ตาม ข้อเท็จจริงนี้โพสและผลลัพธ์ร้ายแรง: มีเหตุผลที่จะดำเนินการบนวัตถุ (เช่น สามเหลี่ยม), แต่วัตถุนี้อ้างถึง generalisation ที่ นอกจากนี้ เนื่องจากวัตถุที่เชื่อมโยงกับการแสดง ที่ตั้งของว่าที่แสดงถึงวัตถุเฉพาะเจาะจงหรือแนวคิดทั่วไป (แบบอักษร Godino & D'Amore, 2007)แนะนำเป็นคู่ครอบคลุมมาก/วิธีลง semiotic สามารถช่วยในการชี้แจงปัญหาการใช้งานขององค์ประกอบทั่วไป (อักษร & Contreras, 2008) เป็นคู่นี้กลายเป็น เครื่องมือสำคัญในการวิเคราะห์ความซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับการใช้องค์ประกอบทั่วไป แสดงแตกต่างกัน การใช้องค์ประกอบทั่วไปจะเกี่ยวข้องกับเครือข่ายที่ซับซ้อนของ semiotic ฟังก์ชัน (และ ดังนั้น แทน) ที่เกี่ยวข้องเร่งรัดกับวัตถุหลากหลาย ฟังก์ชันเหล่านี้ semiotic มีเหมือนกันไม่ว่า จะทั้งหมดของชนิด representational ในแง่ที่ว่า พวกเขาให้การแสดงของการแสดงออกของเนื้อหา อย่างไรก็ตาม พวกเขายังสามารถที่แตกต่าง ตามว่านิพจน์หรือเนื้อหาจะครอบคลุม หรือเร่ง รัด และ ตามเกณฑ์ติดต่อระหว่างนิพจน์และเนื้อหา เช่น เมื่อเรื่องเกี่ยวข้องกับวัตถุที่ มีคลาสซึ่งจะเป็นสมาชิก semiotic ฟังก์ชันนี้มี มือหนึ่ง representational ในแง่ที่สามารถดำเนินการเฉพาะกรณีเป็นตัวแทนของระดับชั้น นั้น อย่างไรก็ตาม คง เป็นชนิด metonymic (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สัมพจนัย [Presmeg, 1998b]) ตั้งแต่การ (ส่วน) จะนำมาทั้งหมด (ชั้น); ในกรณีนี้ เงื่อนไขติดต่อได้ที่ ―belonging‖ ในบางกรณี ฟังก์ชัน semiotic มีเฉพาะ representationalแสดงเป็นคู่ ‗expression/เนื้อหา เกี่ยวกับ 'เพื่อที่จะใช้แง่มุม ‗extensive/เร่ง รัด ' วัตถุ เหล่านี้ต้องลงที่ enunciates พวกเขา (ในทางหนึ่ง มันมาพร้อมกับพวกเขา) ถึงแม้ว่าเด็กเล็กอาจได้แยกลงและวัตถุ ผู้ใหญ่ทำความแตกต่างนี้ Peirce (1978, §2.228) กล่าวถึงแนวความคิดนี้:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

(เก้าอี้นี้โต๊ะ ฯลฯ ) นี้ยังเกิดขึ้นเมื่อเราวิเคราะห์การปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ (ตัวอักษร X บนกระดานฟังก์ชัน f (x) = 3x + 2, ฯลฯ ) กว้างขวาง / แง่มุมมาก ๆ (แบบ / ประเภท; โดยเฉพาะอย่างยิ่ง / ทั่วไป) ทำหน้าที่บนสิ่งของเหล่านี้.
รูปแบบวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้ในการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์อีกจึงมีความเกี่ยวข้องกับความเป็นคู่ที่กว้างขวาง / เข้มข้น พวกเขาอาจจะเข้าร่วมเป็นวัตถุที่เฉพาะเจาะจงหรือทั่วไปและขึ้นอยู่กับเกมภาษาที่พวกเขาอาจจะเปลี่ยนจากการเป็นโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการทั่วไปหรือในทางกลับกัน.
เหตุผลทางคณิตศาสตร์ไปจากทั่วไปให้โดยทั่วไปแนะนำขั้นตอนกลางที่ประกอบด้วยในการใคร่ครวญ วัตถุโดยเฉพาะอย่างยิ่ง แต่ความเป็นจริงนี้ poses ขึ้นเขียงร้ายแรง: เหตุผลที่จะต้องมีการดำเนินการเกี่ยวกับวัตถุที่เฉพาะเจาะจง (ตัวอย่างเช่นรูปสามเหลี่ยม) แต่วัตถุนี้หมายถึงลักษณะทั่วไป นอกจากนี้เนื่องจากวัตถุที่เฉพาะเจาะจงมีการเชื่อมโยงกับการเป็นตัวแทนของตนนอกจากนี้ยังมีปัญหาของการไม่ว่าจะเป็นตัวแทนหมายถึงวัตถุที่เฉพาะเจาะจงหรือแนวคิดทั่วไป (อักษร Godino & D'Amore, 2007). the
แนะนำของที่กว้างขวางคู่ / แบบเร่งรัดใน วิธีการเข้าสู่สัญญะวิทยาสามารถช่วยในการชี้แจงปัญหาที่เกิดจากการใช้องค์ประกอบทั่วไป (ตัวอักษรและ Contreras, 2008) ที่ คู่นี้จะกลายเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการวิเคราะห์ซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับการใช้งานขององค์ประกอบทั่วไป แสดงความแตกต่างกัน, การใช้องค์ประกอบทั่วไปมีความเกี่ยวข้องกับเครือข่ายที่ซับซ้อนของการทำงานเชิงสัญญะ (และดังนั้นการแสดง) ที่เกี่ยวข้องอย่างเข้มข้นกับวัตถุที่กว้างขวาง สิ่งที่ฟังก์ชั่นสัญญะวิทยาเหล่านี้มีเหมือนกันคือว่าพวกเขาทั้งหมดของชนิดดำเนินการในแง่ที่ว่าพวกเขาอำนวยความสะดวกในการเป็นตัวแทนของการแสดงออกของเนื้อหานั้น แต่พวกเขายังสามารถที่แตกต่างกันตามไปไม่ว่าการแสดงออกหรือเนื้อหาที่มีมากมายหรืออย่างเข้มข้นและเป็นไปตามเกณฑ์การติดต่อระหว่างการแสดงออกและเนื้อหา ตัวอย่างเช่นเมื่อเป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องกับวัตถุที่มีระดับชั้นที่มันเป็นฟังก์ชั่นสัญญะวิทยานี้เป็นหนึ่งในมือดำเนินการในแง่ที่ว่ากรณีโดยเฉพาะอย่างยิ่งสามารถนำมาเป็นตัวแทนของชั้นเรียน แต่ในทางกลับกันมันเป็นเรื่องของชนิด metonymic (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Synecdoche [Presmeg, 1998b]) ตั้งแต่กว้างขวาง (ส่วนหนึ่ง) เป็นที่สำหรับทั้ง (ชั้น); ในกรณีนี้เกณฑ์การติดต่อเป็นที่ของ-belonging‖ ในบางกรณีการทำงานเชิงสัญญะเป็นดำเนินการเฉพาะ.
แทนในความสัมพันธ์กับคู่‗expression / เนื้อหา '
เพื่อที่จะนำไปใช้ในแง่‗extensive / เข้มข้น' วัตถุเหล่านี้จำเป็นต้องมีสัญญาณว่า enunciates พวกเขา (ในทางหนึ่งก็มาพร้อมกับ พวกเขา) แม้ว่าเด็กเล็ก ๆ อาจจะไม่แตกต่างระหว่างการเข้าสู่ระบบและวัตถุผู้ใหญ่จะทำให้ความแตกต่างนี้ เพียรซ (1978, §2.228) กล่าวถึงความคิดนี้: