finally, the squares of all the add

finally, the squares of all the address Numbers are Triangular Numbers. Triangular Numbers are produced with the formula Tx=X(X+1)/2. address Numbers satisfy the equation . Therefore, a restatement of the Address Problem is: Fine those Triangular Number which are perfect squares.

Proof of pattern G and K

the fact that pattern G and K generate more Address Numbers is proven easily. Knowing N and X are solutions (meaning they satisfy the equation ), let U = and V= and show that 2U2= by the follwing:

since 2U2= is equivalent to an equation we already know to be true, it must also be true.
The fact that patterns G and K will give all solutions (without missing any ) is a little more difficult to prove.
we will assume that patters G and K miss some solutions and show that this leads to a contradiction.

let (U,V) be the set of positive integeral solutions with the smallest value of V not in the sequence generated by pattern G and K. inserting (U,V) into equations (8) and (9), we have

in order to establish the contradictino we need to show:

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในที่สุด ยกกำลังสองของเลขที่อยู่ทั้งหมดเป็นตัวเลข สาม หมายเลขสามที่ผลิตกับ Tx สูตร = X(X 1)/2 หมายเลขที่อยู่ตรงกับสมการ ดังนั้น ที่อยู่ปัญหาทำงบใหม่เป็น: ปรับที่เลขสามเหลี่ยมซึ่งเป็นกำลังสองสมบูรณ์

พิสูจน์รูปแบบ G และ K

คือพิสูจน์ความจริงรูปที่ G และ K สร้างหมายเลขที่อยู่เพิ่มเติมได้ รู้ใจโซลูชั่น (หมายถึง พวกเขาตอบสนองสมการ) , N และ X ให้ U = และ V = และแสดงที่ 2U2 = โดยการ follwing:

ตั้งแต่ 2U2 =จะเท่ากับสมการที่เรารู้อยู่แล้วเป็นความจริง มันต้องเป็นจริง
ข้อเท็จจริงที่ว่า รูปแบบ G และ K จะให้โซลูชันทั้งหมด (โดยไม่มีการขาดใด ๆ) มีน้อยมากยากที่จะพิสูจน์
เราจะสมมติว่า patters G และ K คิดถึงปัญหา และแสดงนี้นำไปสู่ความขัดแย้ง

ให้ (U, V) เป็นชุดของโซลูชั่น integeral บวกกับค่าที่น้อยที่สุดของ V ไม่ได้อยู่ในลำดับที่ถูกสร้างขึ้น โดยรูปแบบ G และคุณแทรก (U, V) ลงในสมการ (8) และ (9), เรามี

เพื่อสร้าง contradictino เราจำเป็นต้องแสดง:

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในที่สุดสี่เหลี่ยมของตัวเลขทั้งหมดที่อยู่เป็นหมายเลขสามเหลี่ยม หมายเลขสามเหลี่ยมที่ผลิตด้วยสูตร Tx = เอ็กซ์ (X + 1) / 2 ตัวเลขที่อยู่พอใจสม ดังนั้นการปรับย้อนหลังของปัญหาอยู่คือผู้ดีจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่มีความสมบูรณ์แบบสี่เหลี่ยมหลักฐานการรูปแบบ G และ K ความจริงที่ว่ารูปแบบ G และ K สร้างหมายเลขที่อยู่มากขึ้นได้รับการพิสูจน์ได้อย่างง่ายดาย รู้ยังไม่มีและ X เป็นโซลูชั่น (หมายถึงพวกเขาพอใจสม) ให้ U = และ V = และแสดงให้เห็นว่า 2U2 = โดย follwing: ตั้งแต่ 2U2 = เทียบเท่ากับสมการที่เรารู้อยู่แล้วว่าจะเป็นจริงก็ยังต้องเป็นจริงความจริงที่ว่ารูปแบบ G และ K จะให้การแก้ปัญหาทั้งหมด (โดยไม่ต้องหายไปใด ๆ ) เป็นเรื่องยากน้อยมากที่จะพิสูจน์ว่าเราจะสมมติว่า patters G และ K คิดถึงการแก้ปัญหาบางอย่างและแสดงให้เห็นว่านี้นำไปสู่ความขัดแย้งให้ (U, V) ได้รับการตั้งค่าของโซลูชั่น integeral บวกกับค่าที่น้อยที่สุดของ V ไม่ได้อยู่ในลำดับที่สร้างขึ้นโดยรูปแบบ G และ K ใส่ (U, V) ในสมการ (8) และ (9) เรามีเพื่อสร้าง contradictino ที่เราต้องการ แสดง:

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สุดท้ายของตัวเลขทั้งหมดที่อยู่หมายเลขสามเหลี่ยม หมายเลขสามเหลี่ยม ผลิตด้วยสูตร TX = x ( x ) 1 / 2 หมายเลขที่อยู่ตามสมการ เพราะฉะนั้น คำสอนของปัญหา : ดีเหล่านั้นจำนวนสามเหลี่ยมซึ่งเป็นสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ

หลักฐานแบบ G และ K

ความจริงที่ว่ารูปแบบ G K สร้างหมายเลขที่อยู่เพิ่มเติมจะพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายทราบ และ x เป็นโซลูชั่น ( หมายถึงพวกเขาตอบสนองสมการ ) ให้ U = v = และแสดงให้เห็นว่า 2u2 = โดย follwing :

ตั้งแต่ 2u2 = เทียบเท่ากับสมการเราได้รู้จริง มันก็ต้องเป็นความจริง ความจริงที่ว่ารูปแบบ
G K จะให้โซลูชั่นทั้งหมด ( โดยไม่พลาดใด ๆ ) เป็นเพียงเล็กน้อยยากที่จะพิสูจน์
เราจะสมมติว่า patters G K พลาดบาง โซลูชั่น และแสดงให้เห็นว่านี้นำไปสู่ความขัดแย้งกัน

( u , v ) เป็นชุดของโซลูชั่น integeral บวกกับค่าที่น้อยที่สุดของไม่ได้อยู่ในลำดับที่สร้างขึ้นโดยรูปแบบ G ( u , v ) K . ใส่ลงในสมการ ( 8 ) และ 9 ) เราได้

เพื่อสร้าง contradictino เราต้องการที่จะแสดง