Since b_n≥0 for all n, the sequence

Since b_n≥0 for all n, the sequence (t_n) of partial sums of ∑ b_n is an increasing sequence. In part (a) this sequence is bounded above by the sum of series ∑ a_n , so (t_n) converges by the monotone convergence theorem (16.3). Thus ∑ b_n converges. In part (b) the sequence (t_n) must be unbounded, for otherwise ∑ a_n would have to converge. But then lim t_n=+∞ by Theorem 16.8, so that ∑ b_n=+∞.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตั้งแต่ b_n≥0 สำหรับทุก n ลำดับ (t_n) ของผลรวมบางส่วนของ∑ b_n เป็นลำดับที่เพิ่มขึ้น ในส่วน (a) ลำดับนี้ล้อมรอบข้าง โดยผลรวมของชุด∑ a_n เพื่อ converges (t_n) โดยทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียว (16.3) ดังนั้น ∑ b_n converges ในส่วน (ข) ลำดับ (t_n) ต้องงที่ สำหรับอื่น ๆ ∑ a_n จะต้องมาบรรจบกัน แต่แล้วริม t_n = + ∞ โดยทฤษฎีบท 16.8 ให้∑ b_n = + ∞

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตั้งแต่b_n≥0ทั้งหมด n ลำดับ (t_n) ของผลรวมบางส่วนของ b_n Σเป็นลำดับเพิ่มขึ้น ในส่วน (ก) ลำดับนี้ตั้งอยู่ทางทิศเหนือด้วยผลรวมของชุดΣ a_n ดังนั้น (t_n) ลู่โดยทฤษฎีบทการลู่เดียว (16.3) ดังนั้นΣลู่ b_n ในส่วน (ข) ตามลำดับ (t_n) จะต้องมากมายสำหรับมิฉะนั้น a_n Σจะต้องมาบรรจบกัน แต่แล้วลิ t_n = + ∞โดยทฤษฎีบท 16.8 เพื่อให้Σ b_n​​ = + ∞

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตั้งแต่ b_n ≥ 0 ทั้งหมด N , ลำดับ ( t_n ) ของผลรวมบางส่วนของ∑ b_n เพิ่มขึ้นตามลำดับ ในส่วน ( ) ลำดับนี้เป็นที่สิ้นสุดดังกล่าวข้างต้น โดยผลรวมของชุด∑ a_n ดังนั้น ( t_n ) มารวมกันโดยโมโนโทนทฤษฎีบทการลู่เข้า ( 9 ) ดังนั้น∑ b_n ๆ . ในส่วน ( ข ) ลำดับ ( t_n ) จะต้องไม่จำกัด เพราะมิฉะนั้น∑ a_n จะต้องมาบรรจบกัน แต่แล้ว ลิม t_n = ∞โดยทฤษฎีบท 16.8 ,เพื่อให้∑ b_n = ∞ .