Let L be a real vector space with d

Let L be a real vector space with dimension greater than 1 and || , || ⋅⋅ be a real function on LL × which satisfies the following:
1648 Risto Malčeski and Katerina Anevska
a) || , || 0 xy≥ , for every , x yL ∈ и || , || 0 xy= if and only if the set {,} x y is linearly dependent; b) || , || || , ||, x y y x = for every , x yL ∈ ; c) || , || | | || , ||, x y x y α α = ⋅ for every , x yL ∈ and for every α ∈R; d) || , || || , || || , ||, x y z x z y z + ≤ + for every , , . x y z L ∈ The function || , || ⋅ ⋅ is called as 2-norm on L, and ( ,|| , ||) L ⋅ ⋅ is called as vector 2-normed space. ([13]).
Let 1 n> be a natural number, L be a real vector space, dimLn ≥ and (, | ) ⋅⋅⋅ be a real function on LLL × × such that: i) ( , | ) 0 xxy≥ , for every , x yL ∈ и ( , | ) 0 xxy= if and only if a and bare linearly dependent ; ii) ( , | ) ( , | ) x y z y x z = , for every , , x y z L ∈ , iii) ( , | ) ( , | ) x x y y y x = , for every , x yL ∈ ; iv) ( , | ) ( , | ) x y z x y z α α = , for every , , . x y z L ∈ and for every α ∈R; and v) 11 ( , | ) ( , | ) ( , | ) x x y z x y z x y z +=+, for every 1,,, x x y z L ∈ . The function (, | ) ⋅ ⋅⋅ is called as 2-inner product, and ( ,(, | )) L ⋅ ⋅⋅ is called as 2-pre-Hilbert space ([2]).
Concepts of 2-norm and 2-inner product are two-dimensional analogies of the concepts of a norm and an inner product. R. Ehret proved ([11]), if ( ,(, | )) L ⋅⋅⋅ be a 2-pre-Hilbert space, then the equality 1/2|| , || ( , | ) x y x x y = , (1) for every , x yL ∈ d еfines a 2-norm, and so, we get vector 2-normed space ( ,|| , ||) L ⋅⋅ in which for every , , x y z L ∈ hold the following equality : 22 || , || || , || 4( , | ) x y z x y zxyz + − −= , (2) 2 2 2 2 || , || || , || 2(|| , || || , || ) x y z x y z x z y z + + − = + , (3) In fact, equality (3) is two-dimensional analogy of the parallelogram equality, and is called as parallelepiped equality ([9]). Further, if ( ,|| , ||) L ⋅ ⋅ is vector 2-normed space, such that for every , , x y z L ∈ holds (3), than (2) defines 2-inner product on L, and again (1) holds.
In [2] C. Diminnie and A. White gave characterization of 2-pre-Hilbert space by partial derivatives of 2-functionals, i.e. prove the following: if ( ,(, | )) L ⋅⋅⋅ be a 2-pre-Hilbert space in which the norm is defined by (1), then for every , , x y z L ∈ holds the following equality || , || || , || 20( , | ) lim x ty z x z ttxyz + − → = .
Characterization of 2-inner product

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ให้ L เป็นเวกเตอร์จริง มีมากกว่า 1 มิติ และ || , || ⋅⋅เป็นฟังก์ชั่นที่แท้จริงในการจะซื้อซึ่งตรงต่อไปนี้: 1648 Risto Malčeski และแคเทอรินา Anevska a) || , || 0 xy≥ สำหรับทุก x yL ∈и || , || 0 xy =ถ้า และถ้าชุด { } x y เป็นอิสระเชิงเส้น b) || , || || , ||, x y y x =สำหรับทุก x yL ∈ c) || , || | | || , ||, x y x y ด้วยกองทัพด้วยกองทัพ =⋅ สำหรับทุก x yL ∈ และทุกด้วยกองทัพ ∈R d) || , || || , || || , ||, x y z x z y z + ≤ + สำหรับทุก, x y z L ∈ฟังก์ชัน || , || ⋅⋅จะเรียกเป็นปกติ 2 L และ (, ||, ||) L ⋅⋅เรียกว่าเป็นเวกเตอร์ 2 normed ([13]) N ให้ 1 > จำนวนธรรมชาติ L เป็นเวกเตอร์จริง dimLn ≥ และ (, |) ⋅⋅⋅ได้ทำงานจริงบน LLL ××ที่: ฉัน) (, |) 0 xxy≥ สำหรับทุก x yL ∈и (, |) 0 xxy =ถ้า และเมื่อเป็น และเอาขึ้นเชิงเส้น ii) ( , | ) ( , | ) x y z y x z =, สำหรับทุก x y z L ∈ iii) (, |) ( , | ) x x y y y =, x สำหรับทุก x yL ∈ iv) ( , | ) ( , | ) x y z x y z ด้วยกองทัพด้วยกองทัพ =, สำหรับทุก, x y z L ∈ และทุกด้วยกองทัพ ∈R และ v) 11 (, |) ( , | ) ( , | ) x x z y x y z x y z += + สำหรับทุก 1, x x ∈ y z L ฟังก์ชัน (, |) ⋅⋅⋅จะเรียกว่าเป็นสินค้าภายใน 2 (,(,_|)) L ⋅⋅⋅เรียกว่าเป็นพื้นที่ 2-ก่อนฮิลแบร์ท ([2]) แนวคิดของผลิตภัณฑ์ 2 ปกติ และภาย ใน 2 เป็น analogies สองมิติของแนวคิดของบรรทัดฐานและการคูณภายใน R. Ehret พิสูจน์ ([11]), ถ้าพรม (,(,_|)) L ⋅⋅⋅มีพื้นที่ 2-ก่อนฮิลแบร์ท แล้วความเสมอภาค 1/2|| , || ( , | ) x y x x y =, (1) สำหรับทุก x yL ∈ еfines d 2-บรรทัดฐาน และดังนั้น เราได้เวกเตอร์ 2 normed (, ||, ||) L ⋅⋅ซึ่งสำหรับทุก x y z L ∈ถือความเสมอภาคต่อไปนี้: 22 || , || || , || 4 (, |) x y z x y zxyz + −− =, (2) 2 2 2 2 || , || || , || 2 (||, || ||, ||) x z y x y z x z y z ++ − = +, (3) ในความจริง ความเสมอภาค (3) เปรียบเทียบสองความเสมอภาคสี่เหลี่ยมด้านขนาน และจะเรียกว่าเป็น parallelepiped ความเสมอภาค ([9]) ถ้าเพิ่มเติม (, ||, ||) L ⋅⋅เป็น 2 normed เวกเตอร์ ที่สำหรับทุก x y z L ∈เก็บ (3), กว่า (2) กำหนดภายใน 2 ผลิตภัณฑ์ L และอีกครั้ง (1) ถือ ใน [2] C. Diminnie และอ.ขาวให้คุณสมบัติของพื้นที่ 2-ก่อนฮิลแบร์ท โดยอนุพันธ์บางส่วนของ 2 functionals พิสูจน์เช่นต่อไปนี้: ถ้า (,(,_|)) L ⋅⋅⋅มีพื้นที่ 2-ก่อนฮิลแบร์ทในซึ่ง ปกติจะถูกกำหนดโดย (1), แล้วสำหรับทุก x y z L ∈ถือความเสมอภาคต่อ || , || || , || 20 (, |) lim x ty z x z ttxyz + −→ = คุณสมบัติของสินค้าภายใน 2

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ให้ L เป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติมากกว่า 1 || , || ⋅⋅จะเป็นฟังก์ชั่นที่แท้จริงใน LL ×ซึ่งตอบสนองความต่อไปนี้:
1648 Risto Malčeskiและ Katerina Anevska
ก) || , || 0 xy≥สำหรับทุก x YL ∈и || , || 0 เซ็กซี่ = ถ้าหากชุด {} เซ็กซี่เป็นเส้นตรงขึ้น; ข) || , || || , ||, xyyx = สำหรับทุก x ∈ YL; c) || , || | | || , ||, xyxy αα = ⋅สำหรับทุก x ∈ YL และทุกα∈R; d) || , || || , || || , ||, xyzxzyz ≤ + + สำหรับทุกคน, xyz L ∈ || ฟังก์ชั่น , || ⋅⋅เรียกว่าเป็น 2 บรรทัดฐานใน L และ (||, ||) L ⋅⋅เรียกว่าเป็นเวกเตอร์ที่ 2 เกณฑ์พื้นที่ . ([13])
ให้ 1 n> เป็นจำนวนธรรมชาติ, L เป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง dimLn ≥และ (|) ⋅⋅⋅จะเป็นฟังก์ชั่นที่แท้จริงใน LLL ××ดังกล่าวว่า i) (|) 0 xxy≥สำหรับทุก x ∈и YL (|) = 0 XXY ถ้าหากเปล่าและเส้นตรงขึ้น; ii) (|) (|) = xyzyxz สำหรับทุก, xyz L ∈, iii) (|) (|) = xxyyyx สำหรับทุก x ∈ YL; iv) (|) (|) xyzxyz αα = สำหรับทุกคน, xyz L ∈และทุกα∈R; และโวลต์) 11 (|) (|) (|) xxyzxyzxyz + = + สำหรับทุก 1 ,,, xxyz L ∈ ฟังก์ชั่น (|) ⋅⋅⋅เรียกว่าเป็นสินค้าที่มี 2 ด้านและ ((|)). L ⋅⋅⋅เรียกว่าเป็น 2 ก่อน Hilbert พื้นที่ ([2])
แนวคิดของ 2 บรรทัดฐานและ สินค้าที่ 2 ภายในมีอุปมาสองมิติของแนวคิดของบรรทัดฐานและผลิตภัณฑ์ภายใน อาร์ Ehret พิสูจน์แล้ว ([11]) ถ้า ((|)) L ⋅⋅⋅จะเป็นพื้นที่ 2 ก่อน Hilbert แล้วเสมอภาค 1/2 || , || (|) xyxxy = (1) สำหรับทุก x ∈ d YL еfines 2 บรรทัดฐานและเพื่อให้เราได้รับเวกเตอร์ 2 เกณฑ์พื้นที่ (||, ||) L ⋅⋅ที่สำหรับทุกคน, xyz L ∈ถือเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: 22 || , || || , || 4 (|) xyzxy zxyz + - - = (2) 2 2 2 2 || , || || , || 2 (||, || ||, ||) xyzxyzxzyz + - + = (3) ในความเป็นจริงความเท่าเทียมกัน (3) คือการเปรียบเทียบสองมิติของความเสมอภาคสี่เหลี่ยมด้านขนานและจะเรียกว่าเป็นความเสมอภาค parallelepiped ([9] ) นอกจากนี้ถ้า (||, ||) L ⋅⋅เป็นเวกเตอร์พื้นที่ 2 เกณฑ์เช่นว่าทุก, xyz L ∈ถือ (3) กว่า (2) กำหนดสินค้า 2 ด้านบน L และอีกครั้ง ( 1.)
ถือหุ้นใน[2] ซีเอ Diminnie และสีขาวให้ลักษณะของ 2 ก่อน Hilbert พื้นที่โดยการอนุพันธ์ย่อยของ 2 functionals คือพิสูจน์ต่อไปนี้: ถ้า ((|)) L ⋅⋅⋅เป็น 2 ก่อน Hilbert พื้นที่ซึ่งปกติจะถูกกำหนดโดย (1) แล้วสำหรับทุกคน, xyz L ∈ถือเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ || , || || , || 20 (|). ลิ้ม x ไท zxz ttxyz + - → =
ลักษณะของผลิตภัณฑ์ 2 ชั้น