In general, the students agreed tha

In general, the students agreed that the method of multiplying and dividing by 2 was useful because it seemed to work and because it did not require knowing the nth term in order to find the (n + 1)th term. However, some students were not convinced that the method was correct. It lacked the intuitive appeal of the recursive method they used first, and it did not appear to have a mathematical basis. The teacher decided that it was worth additional class time to develop a mathematical argument to support Tamika's method. She began by asking students to notice that each triangular number is the sum of consecutive whole numbers, which they readily saw from the dot triangles. Then the teacher demonstrated Gauss's method for finding the sum of consecutive whole numbers, applying it to the first seven whole numbers. She asked the students to add the numbers from 1 to 7 to those in the reversed sequence, 7 to 1, as shown in figure 6.33, to see that the seventh triangular number—1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7—could also be expressed as (7)(8)/2. After the students completed this exercise, the teacher asked them to express the general relationship in words. They struggled, but they came up with this general rule: If you want to find a particular triangular number, you multiply your number by the next number and divide by 2. The students wrote the rule this way:
(number)(number + 1)/2.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทั่วไป นักเรียนเห็นว่า วิธีการคูณ และการหาร ด้วย 2 ไม่มีประโยชน์ เพราะเหมือนการทำงาน และเนื่อง จากไม่ต้องรู้ว่าคำที่เพื่อค้นหาคำว่า th (n + 1) อย่างไรก็ตาม นักเรียนบางคนก็ไม่เชื่อว่า วิธีการถูกต้อง มันขาดอุทธรณ์ง่ายของวิธีการเกิดซ้ำจะใช้ครั้งแรก และไม่ปรากฏให้มีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ครูตัดสินใจว่า มันคุ้มเวลาเรียนเพิ่มเติมเพื่อพัฒนาอาร์กิวเมนต์ทางคณิตศาสตร์เพื่อสนับสนุนวิธีของ Tamika เธอเริ่ม โดยขอให้นักเรียนสังเกตว่า จำนวนรูปสามเหลี่ยมแต่ละผลรวมของหมายเลข ที่พวกเขาเห็นจากสามเหลี่ยมจุดพร้อม จากนั้น ครูแสดงวิธีของเกาส์หาผลรวมของเลขจำนวนเต็มต่อเนื่อง ใช้จำนวนเต็มก่อนเจ็ด เธอถามนักเรียนที่จะเพิ่มหมายเลข 1 ผู้ที่อยู่ในลำดับที่กลับรายการ 7 กับ 1, 7 ดังแสดงในรูป 6.33 จะเห็นว่าเลขสามเจ็ด — 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ซึ่งสามารถแสดงเป็น (7) (8) / 2 หลังจากเรียนเสร็จสมบูรณ์นี้ออกกำลังกาย ครูถามให้แสดงความสัมพันธ์ทั่วไปในคำ พวกเขาต่อสู้ แต่พวกเขามากับกฎทั่วไปนี้: ถ้าคุณต้องการหาจำนวนเฉพาะสามเหลี่ยม คุณคูณหมายเลข โดยหมายเลขถัดไป และหาร ด้วย 2 นักเรียนเขียนกฎวิธีนี้:(หมายเลข) (หมายเลข + 1) / 2

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โดยทั่วไปนักเรียนที่ตกลงกันไว้ว่าวิธีการของการคูณและหารด้วย 2 มีประโยชน์เพราะมันลำบากในการทำงานและเพราะมันไม่จำเป็นต้องรู้ระยะที่ n เพื่อหา (n + 1) ครั้งที่ระยะ อย่างไรก็ตามนักเรียนบางคนไม่เชื่อว่าวิธีการที่ถูกต้อง มันขาดการอุทธรณ์ที่ใช้งานง่ายของวิธีการเวียนเกิดที่พวกเขาใช้เป็นครั้งแรกและมันก็ไม่ปรากฏว่ามีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ครูตัดสินใจว่ามันก็คุ้มค่าเวลาเรียนเพิ่มเติมเพื่อพัฒนาข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์เพื่อสนับสนุนวิธีการ Tamika ของ เธอเริ่มโดยขอให้นักเรียนที่จะแจ้งให้ทราบว่าแต่ละจำนวนรูปสามเหลี่ยมเป็นผลรวมของตัวเลขทั้งหมดติดต่อกันซึ่งพวกเขาได้อย่างง่ายดายเห็นจากรูปสามเหลี่ยมจุด จากนั้นครูแสดงให้เห็นถึงวิธีการของเกาส์สำหรับการหาผลรวมของตัวเลขทั้งหมดติดต่อกันนำไปใช้กับเจ็ดครั้งแรกตัวเลขทั้งหมด เธอถามนักเรียนที่จะเพิ่มตัวเลข 1-7 ผู้ที่อยู่ในลำดับที่กลับ 7-1 ดังแสดงในรูปที่ 6.33 จะเห็นว่าจำนวน 1 รูปสามเหลี่ยมที่เจ็ด + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 ยัง -could จะแสดงเป็น (7) (8) / 2 หลังจากที่นักเรียนเสร็จสิ้นการออกกำลังกายนี้ครูขอให้พวกเขาที่จะแสดงความสัมพันธ์ทั่วไปในคำพูด พวกเขาพยายาม แต่พวกเขามากับกฎทั่วไปนี้: ถ้าคุณต้องการที่จะหาจำนวนรูปสามเหลี่ยมโดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณคูณจำนวนของจำนวนต่อไปและหารด้วย 2. นักเรียนเขียนกฎแบบนี้:
(จำนวน) (จำนวน 1 + ) / 2

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

โดยทั่วไปนักเรียนเห็นด้วยว่าวิธีการคูณและหารด้วย 2 ได้ประโยชน์ เพราะมันดูเหมือนจะทำงาน เพราะมันไม่ต้องรู้อื่น ๆเพื่อหา ( 1 ) . . . อย่างไรก็ตาม นักเรียนบางคนยังไม่มั่นใจว่าวิธีที่ถูกต้อง มันไม่มีการอุทธรณ์ของผู้ใช้งานง่ายวิธีที่พวกเขาใช้ครั้งแรกและมันไม่ได้ปรากฏมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ ครูตัดสินใจว่ามันคุ้มค่าเวลาเรียนเพิ่มเติมเพื่อพัฒนาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อสนับสนุนอาร์กิวเมนต์ tamika เป็นวิธี เธอเริ่มโดยถามนักเรียนที่จะสังเกตเห็นว่า แต่ละหมายเลขสามเหลี่ยมคือผลรวมของตัวเลขทั้งหมดติดต่อกัน ซึ่งพวกเขาพร้อมจะเห็นจากจุดสามเหลี่ยมจากนั้นครูให้เกาส์เป็นวิธีการในการหาผลรวมของตัวเลขทั้งหมดติดกัน ใช้กับเลขเจ็ดทั้งหมดก่อน เธอถามนักเรียนเพื่อเพิ่มตัวเลขจาก 1 ถึง 7 เพื่อผู้ที่อยู่ในขั้นตอนที่ 7 ต่อ 1 ดังแสดงในรูปที่ 6.33 , เพื่อดูว่าถูกสามเหลี่ยม 1 2 3 4 5 6 7-could ยังสามารถแสดงเป็น ( 7 ) ( 8 ) / 2หลังจากที่นักเรียนเสร็จสิ้นการออกกำลังกายนี้ครูขอแสดงความสัมพันธ์ทั่วไปในคำพูด พวกเขาต่อสู้ แต่พวกเขามีกฎทั่วไปนี้ : ถ้าคุณต้องการที่จะหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งจำนวนสามเหลี่ยม คุณทวีเบอร์ตามหมายเลขหน้าและหารด้วย 2 นักเรียนเขียนกฎแบบนี้ :
( ตัวเลข ) ( หมายเลข 1 ) / 2