Table 1 The ratio of computing time

Table 1 The ratio of computing time of Algorithm 4 to the built-in matrix product for various problems with n = 1,000 (Intel Core 2 Duo)
φ nA nB Ratio (no sparse)
1 4 4 18.7 5 6 6 40.9 10 9 9 85.0 15 12 12 151
Ratio (using sparse)
13.0 29.8 42.1 66.1
and nB floating-point matrices, respectively. Let t1 be computing time for dense matrix multiplication AB by pure floating-point arithmetic, t2 be computing time for Algorithm 4. The examples in Table 1 are tested using Intel Core 2 Duo 1.2 GHz and MATLAB 2009a, n = 1,000. We set δ in Algorithm 4 as 0.1. The examples in Table 2 use Intel Core 2 Extreme 3.0 GHz and MATLAB 2007b, n = 2,000. Again, δ in Algorithm 4 is taken as 0.1. The item ‘ratio’ in Tables 1 and 2 denotes t2/t1. When φ in (25) increases, nA and nB become larger. When φ = 1, both A and B are divided into an unevaluated sum of four floating-point matrices. This means 16 matrix products in Algorithm 4. Since we use the MATLAB built-in sparse format, the ratio becomes 13.0, which is less than 16. When φ becomes much larger, applying sparse routine can reduce the computing time significantly.
Remark 5 Sparse matrix multiplication by MATLAB is executed with a single thread. If this point is improved in the future, the performance of our method is also improved.
3 Application of the error-free transformation of a matrix product
The algorithm in the previous section first transforms a matrix product into an unevaluated sum of floating-point matrices. Applying accurate summation algorithms, for example [10–12], produces an accurate approximation of the product independent of the condition number. In this section, we apply only a partial error-free transformation in order to compute an approximation of the product with improved accuracy (compared to the ordinary product). We also present numerical results. Mathematical properties of the proposed algorithm will be discussed in the next section.
Table 2 The ratio of computing time of Algorithm 4 to the built-in matrix product for various problems with n = 2,000 (Intel Core 2 Extreme)
φ nA nB Ratio (no sparse) Ratio (using sparse)
1 4 4 19.7 20.8 5 6 6 41.5 32.8 10 9 9 89.0 74.9 151212154 108

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตารางที่ 1 อัตราส่วนของเวลาของขั้นตอนวิธีที่ 4 การคำนวณกับผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ในตัวสำหรับปัญหาต่างๆที่มี n = 1,000 (Intel Core 2 Duo)
φ nA NB อัตราส่วน (ไม่เบาบาง)
1 4 4 18.7 5 6 6 40.9 10 9 9 85.0 15 12 12 151
อัตราส่วน (ใช้เบาบาง)
13.0 29.8 42.1 66.1
และ NB เมทริกซ์จุดลอยตัวตามลำดับ ให้ T1 จะมีเวลาสำหรับความหนาแน่นคูณเมทริกซ์ AB คำนวณโดยบริสุทธิ์เลขคณิตจุดลอยตัว T2 จะมีเวลาสำหรับขั้นตอนวิธีการ 4. ตัวอย่างในตารางที่ 1 จะมีการทดสอบการคำนวณโดยใช้ Intel Core 2 Duo 1.2 GHz และ MATLAB 2009a, N = 1,000 เราตั้งδในขั้นตอนวิธีการ 4 0.1 ตัวอย่างในตารางที่ 2 การใช้ Intel Core 2 มาก 3.0 GHz และ MATLAB 2007B, N = 2,000 อีกครั้งในขั้นตอนวิธีการδ 4 จะมาเป็น 0.1 รายการ 'อัตราส่วนในตารางที่ 1 และ 2 หมายถึง T2 / T1 เมื่อφใน (25) เพิ่มขึ้นและ NA NB กลายเป็นใหญ่ เมื่อφ = 1 ทั้ง A และ B จะแบ่งออกเป็นผลรวม unevaluated สี่เมทริกซ์จุดลอยตัว ซึ่งหมายความว่า 16 ผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ในอัลกอริทึม 4. เนื่องจากเราใช้ตัวในรูปแบบ MATLAB เบาบางอัตราส่วนกลายเป็น 13.0 ซึ่งน้อยกว่า 16. เมื่อφกลายเป็นขนาดใหญ่มากใช้ประจำเบาบางสามารถลดเวลาการประมวลผลอย่างมีนัยสำคัญ.
หมายเหตุ 5 เบาบาง คูณเมทริกซ์โดย MATLAB จะถูกดำเนินการกับหัวข้อเดียว หากจุดนี้จะดีขึ้นในอนาคตผลการดำเนินงานของวิธีการของเราจะดีขึ้นยัง.
3 การประยุกต์ใช้การเปลี่ยนแปลงปราศจากข้อผิดพลาดของผลิตภัณฑ์เมทริกซ์
อัลกอริทึมในส่วนก่อนหน้าแรกเปลี่ยนสินค้าเมทริกซ์เป็นผลรวม unevaluated ของเมทริกซ์จุดลอยตัว . การประยุกต์ใช้ขั้นตอนวิธีการที่ถูกต้องบวกเช่น [10-12], ผลิตประมาณที่ถูกต้องของสินค้าที่เป็นอิสระจากจำนวนเงื่อนไข ในส่วนนี้เราจะใช้เฉพาะการเปลี่ยนแปลงที่ปราศจากข้อผิดพลาดบางส่วนในการสั่งซื้อในการคำนวณประมาณของผลิตภัณฑ์ที่มีความถูกต้องดี (เมื่อเทียบกับผลิตภัณฑ์สามัญ) เราผลตัวเลขยังคงอยู่ คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของอัลกอริทึมที่นำเสนอจะมีการหารือในส่วนถัดไป.
ตารางที่ 2 อัตราส่วนของเวลาของขั้นตอนวิธีที่ 4 การคำนวณกับผลิตภัณฑ์แมทริกซ์ในตัวสำหรับปัญหาต่างๆที่มี n = 2,000 (Intel Core 2 มาก)
φ nA NB อัตราส่วน (ไม่มี เบาบาง) อัตรา (ใช้เบาบาง)
1 4 4 19.7 20.8 5 6 6 41.5 32.8 10 9 9 89.0 74.9 151,212,154 108

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตารางที่ 1 อัตราส่วนของเวลาในการคำนวณของขั้นตอนวิธี 4 ผลิตภัณฑ์เมตริกซ์ในปัญหาต่างๆกับ N = 1 , 000 ( Intel Core 2 Duo )φ na อัตราส่วน NB ( ไม่บาง )1 3 4 5 6 7 9 10 ลดลงร้อยละ 85.0 15 9 12 12 151อัตราส่วน ( ใช้มาก )ผลการพิจารณา 66.1 29.8NB จุดลอยและเมทริกซ์ ตามลำดับ ให้ T1 เป็นเวลาคอมพิวเตอร์สำหรับการคูณเมทริกซ์หนาแน่น AB โดยจุด - คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ , T2 เป็นเวลาในการคำนวณของขั้นตอนวิธีแบบ 4 ตัวอย่างตารางที่ 1 ทดสอบการใช้ อินเทล คอร์ 2 ดูโอ 1.2 GHz และ Matlab 2009a , N = 1 , 000 เราตั้งδในขั้นตอนวิธี 4 เป็น 0.1 ตัวอย่างในตารางที่ 2 ใช้ Intel Core 2 Extreme 3.0 GHz และ Matlab 2007b , N = 2000 อีกδในขั้นตอนวิธีที่ 4 ถ่ายเป็น 0.1 รายการ " สัดส่วน " ในตารางที่ 1 และ 2 แสดง / T1 T2 . เมื่อφ ( 25 ) เพิ่มขึ้น และ NB เป็นขนาดใหญ่ เมื่อφ = 1 ทั้ง A และ B จะแบ่งออกเป็นผลรวม unevaluated 4 จุด - เมทริกซ์ นี้หมายถึง 16 เมตริกซ์ผลิตภัณฑ์ในขั้นตอนที่ 4 เนื่องจากเราใช้ MATLAB ในบางรูปแบบ สัดส่วนเป็น 3.2 ซึ่งน้อยกว่า 16 เมื่อφกลายเป็นขนาดใหญ่มาก ใช้เป็นประจำสามารถลดเบาบางเวลาในการคำนวณลดลงหมายเหตุ 5 การคูณเมทริกซ์หร็อมแหร็มโดย Matlab ถูกประหารชีวิตด้วยด้ายเดี่ยว ถ้าจุดนี้จะดีขึ้นในอนาคต ประสิทธิภาพของวิธีการของเราก็จะดีขึ้น3 การประยุกต์ใช้การแปลงข้อผิดพลาดฟรีของผลิตภัณฑ์เมตริกซ์ขั้นตอนวิธีการในส่วนก่อนหน้าแรกเปลี่ยนสินค้าเป็นจำนวนจุดลอย unevaluated ของเมทริกซ์เมทริกซ์ การประยุกต์ใช้ขั้นตอนวิธีการที่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่น [ 10 – 12 ] ผลิตประมาณความถูกต้องของผลิตภัณฑ์ที่เป็นอิสระของเงื่อนไขตัวเลขที่ . ในส่วนนี้เราใช้เฉพาะข้อผิดพลาดบางส่วนฟรีแปลงเพื่อ คำนวณหาค่าประมาณของสินค้าที่มีความถูกต้องดีขึ้น ( เมื่อเทียบกับผลิตภัณฑ์ทั่วไป ) นอกจากนี้เรายังนำเสนอผลลัพธ์เชิงตัวเลข คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของวิธีที่เสนอจะกล่าวถึงในหัวข้อถัดไปตารางที่ 2 อัตราส่วนของเวลาในการคำนวณของขั้นตอนวิธี 4 ผลิตภัณฑ์เมตริกซ์ในปัญหาต่าง ๆด้วย n = 2 , 000 ( Intel Core 2 Extreme )φ na อัตราส่วน NB ( ไม่บาง ) อัตราส่วน ( ใช้มาก )1 4 5 6 6 4 19.7 20.8 41.5 32.8 10 9 9 89.0 74.9 151212154 108