Then F ⊆ cl*(A) ∩ Ac, since (A) – A

Then F ⊆ cl*(A) ∩ Ac, since (A) – A = (A) ∩ Ac.
Therefore F ⊆ cl*(A) and F ⊆ Ac. Since Fc is a τ*-open set and A is a -g-closed, *(A) ⊆ Fc. That is F ⊆ [cl*(A)]c.
Hence F ⊆ (A) ∩ [*(A)]c = φ. That is F = φ, a contradiction. Thus cl*(A) – A contain no non-empty *-closed set in X.
Conversely, assume that (A) – A contains no non-empty -closed set. Let A ⊆ G, G is τ*-open. Suppose that cl*(A) is not contained in G, then cl*(A) ∩ Gc is a non-empty τ*-closed set (A) – A which is a contradiction. Therefore cl*(A) ⊆ G and hence A is τ*-g-
Corollary 3.11. A subset A of X is g-closed if and only if cl*(A) – A contain no non-empty closed set in X.
Proof : The proof follows from the Theorem 3.10. and the fact that every closed set is τ*- closed set in X.
Corollary 3.12. A subset A of X is τ*-g-closed if and only if cl*(A) – A contain no non-empty open set in X.
Proof: The proof follows from the Theorem 3.10. and the fact that every open set is τ*-open set in
Theorem 3.13. If a subset A of X is -g-closed and A ⊆ B ⊆ cl*(A), then B -g-closed set in X.
Proof : Let A be a τ*-g-closed set such that A ⊆ B ⊆ (A). Let U be a τ*-open set of X such that B ⊆ U. Since A -g-closed,we have cl*(A) ⊆ U. Now *(A) ⊆ cl*(B) ⊆ cl*[ (A)] = cl*(A) ⊆ U. That (B) ⊆ U, U is τ*-open.
Therefore B is τ*-g-closed set in X.
The converse of the above theorem need not be true as seen from the following example..
Example 3.14. Consider the topological space (X, τ), where X = {a, b, c} and the topology τ = {X, φ,{a},{a, b}} Let
A = {c} and B = {a, c}.Then A and B are τ*-g-closed sets (X, τ). But A ⊆ B is not a subset of (A).
Theorem 3.15. Let A be a τ*-g-closed in (X, τ). Then A is g-closed if and only if cl*(A) – A is τ*-open.
Proof : Suppose A is g-closed in X. Then cl*(A) = A and (A) – A = φ which is τ*- open in X. Conversely,
suppose cl*(A) –A is τ*-open in X. Since A is τ*-g-closed, by the
Theorem 3.10, cl*(A) – A contains no non-empty τ*-closed in X. Then (A) – A = φ Hence A is g-closed.
Theorem 3.16. For x ∈ X, the set X – {x} is τ*-g-closed or *-open.
Proof: Suppose X – {x} is not -open. Then X is the only *-open set containing X – {x}. This implies ( {x}) ⊆ X. Hence {x}
is a τ*-g-closed in X.
Remark 3.17. From the above discussion, we obtain the
following implications.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แล้ว F ⊆ cl*(A) ∩ Ac ตั้งแต่ (A) - = Ac ∩ (A) ดังนั้น cl*(A) ⊆ F และ F ⊆ Ac Fc เป็น τเป็น * -ชุดเปิดและ A จะเป็น -g ปิด *(A) ⊆ Fc นั่นคือ F c ⊆ [cl*(A)] ดังนั้น F (A) ⊆ [*(A)] ∩ c =φ นั่นคือ F =φ ความขัดแย้ง ดังนั้น cl*(A) – A ประกอบด้วยราคาไม่ไม่ว่าง * -ปิดชุดใน X ในทางกลับกัน สมมติว่า (A) -A ประกอบด้วยไม่ไม่ว่าง - ปิดชุด ให้เป็น⊆ G, G คือ τ * -เปิด สมมติว่า G ไม่ประกอบด้วยที่ cl*(A) แล้ว cl*(A) ∩ Gc τไม่ว่างเป็น * -ปิดชุด (A) -A ซึ่งเป็นความขัดแย้ง ดังนั้น cl*(A) ⊆ G และดังนั้น คือ τ * -g - Corollary 3.11 เซตย่อย A ของ X เป็น g ปิดถ้าและเฉพาะถ้า cl*(A) – contain ที่ปิดไม่ไม่ว่างใน X หลักฐาน: การพิสูจน์ดังต่อไปนี้จาก 3.10 ทฤษฎีบท และความจริงที่ว่า ทุกชุดปิดคือ τ * -ปิดชุดใน X Corollary 3.12 เซตย่อย A ของ X คือ τ * -g-ปิดถ้าและเฉพาะถ้า cl*(A) – A ประกอบด้วยไม่ว่างเปิดการตั้งค่าใน X ไม่ หลักฐาน: การพิสูจน์ดังต่อไปนี้จาก 3.10 ทฤษฎีบท และความจริงที่ว่า ทุกชุดเปิดคือ τ * -เปิดตั้งใน ทฤษฎีบท 3.13 ถ้าเซตย่อย A ของ X เป็นปิด - g และ cl*(A) เป็น⊆⊆ B แล้ว B -g ปิดตั้งใน X หลักฐาน: ให้ A มีτเป็น * -g-ปิดชุดดังกล่าวที่⊆⊆ B A (A) ให้ U เป็นτเป็น * -เปิดชุดของ X ดังกล่าวที่ B ⊆ U. ตั้งแต่เป็น -g ปิด มี cl*(A) ⊆สหรัฐ ตอนนี้ *(A) ⊆ cl*(B) ⊆ cl * [(A)] = cl*(A) ⊆สหรัฐ ⊆ (B) ที่ U, U คือ τ * -เปิด ดังนั้น B เป็นτ * -g-ปิดชุดใน X ตรงกันข้ามของทฤษฎีบทข้างต้นไม่จำเป็นจริงเท่าที่เห็นจากตัวอย่างต่อไปนี้... ตัวอย่างที่ 3.14 พิจารณาพื้นที่ topological (X τ), ซึ่ง X = {a, b, c } และτโทโพโลยี = { X φ, {a }, {a, b } } ให้ = {C } และ B = {a, c } แล้ว A และ B มีτ * -g-ปิดชุด (X τ) แต่⊆ B ไม่เป็นเซตย่อยของ (A) ทฤษฎีบท 3.15 ให้ A เป็นτเป็น * -g-ปิดใน (X τ) แล้ว A เป็น g-ปิดถ้าและเฉพาะว่า cl*(A) – A τ * -เปิด หลักฐาน: สมมติว่า A เป็น g-ปิดใน X แล้ว cl*(A) = A และ (A) -A =φซึ่งเป็นτ * - เปิด x. อัพตรงกันข้าม สมมติว่า cl*(A) – ต้องมีτ * -เปิดใน X เนื่องจากเป็นτ * -g-ปิด โดย ทฤษฎีบทที่ 3.10, cl*(A) – A ประกอบด้วยτไม่ว่างไม่ * -ปิดใน X แล้ว (A) -A =φดังนั้น A g-ปิด ทฤษฎีบทที่ 3.16 สำหรับ x ∈ X ชุด X – {x } คือ τ * -g-ปิด หรือ * -เปิด หลักฐาน: สมมติว่า X – {x } ไม่ - เปิด แล้ว X เป็นการเฉพาะ * -เปิดตั้งประกอบด้วย X – {x } นี้หมายถึง ({x }) ⊆ x. อัพ Hence {x }มีτเป็น * -g-ปิดใน X หมายเหตุที่ 3.17 จากการสนทนาข้างต้น เราได้รับการ ผลต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

จากนั้น F ⊆ CL * (A) ∩ Ac ตั้งแต่ (A) - A = (A) ∩ Ac.
ดังนั้น F ⊆ CL * (A) และ F ⊆ Ac ตั้งแต่ Fc เป็นτ * ชุด -open และเป็น -g ปิด * (A) ⊆ Fc นั่นคือ F ⊆ [CL * (A)] c.
ดังนั้น F ⊆ (A) ∩ [* (A)] c = φ นั่นคือ F = φ, ความขัดแย้ง ดังนั้น CL * (A) - เป็นมีไม่ที่ไม่ว่างเปล่า * -closed
ตั้งอยู่ในเอ็กซ์ตรงกันข้ามสมมติว่า(A) - เป็นไม่มีชุด -closed ไม่ว่างเปล่า ให้⊆ G A, G เป็นτ * -open สมมติว่าเ * (A) ไม่ได้มีอยู่ใน G แล้ว CL * (A) ∩ Gc เป็นτไม่ว่างเปล่า * -closed ตั้ง (A) - เป็นซึ่งเป็นความขัดแย้ง ดังนั้น CL * (A) ⊆ G และด้วยเหตุนี้เป็นτ * -g-
ควันหลง 3.11 ส่วนหนึ่งของ X คือกรัมปิดถ้าหาก CL * (A) - เป็นมีไม่ที่ไม่ว่างเปล่าปิดการตั้งค่าใน X.
พิสูจน์: หลักฐานดังต่อไปนี้จากทฤษฎีบท 3.10 และความจริงที่ว่าทุกชุดที่ปิดคือτ * -
การปิดการตั้งค่าในเอ็กซ์ควันหลง3.12 ส่วนหนึ่งของ X คือτ * -g ปิดถ้าหาก CL * (A) - เป็นมีไม่ที่ไม่ว่างเปล่าชุดเปิดใน X.
พิสูจน์: หลักฐานดังต่อไปนี้จากทฤษฎีบท 3.10 และความจริงที่ว่าทุกชุดเปิดτ * ชุด -open
ในทฤษฎีบท3.13 หากส่วนย่อยของ X คือ -g ปิดและ A ⊆ B ⊆ CL * (A) ชุดแล้ว B-g ปิดใน X.
พิสูจน์: ให้ A เป็นτ * -g ปิดชุดดังกล่าวว่า⊆ B ⊆ (A) Let U เป็นτ * ชุด -open ของ X เช่นที่ B ⊆ U. ตั้งแต่ -g ปิดเรามีเ * (A) ⊆ U. ตอนนี้ * (A) ⊆ CL * (B) ⊆ CL * [( A)] = CL * (A) ⊆ U. นั่น (B) ⊆ U, U คือτ * เปิด.
ดังนั้น B เป็นτ * -g
ปิดในชุดเอ็กซ์สนทนาทฤษฎีบทดังกล่าวข้างต้นไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเห็นได้จากตัวอย่างต่อไปนี้ ..
ตัวอย่าง 3.14 พิจารณาพื้นที่ทอพอโลยี (x, τ) ที่ X = {b, c} และโครงสร้างτ = {x, φ, {a}, {A, B}} ให้
A = {c} และ B = { A, C} จากนั้น A และ B มีτ * ชุด -g ปิด (x, τ) แต่⊆ B ไม่ได้เป็นส่วนย่อยของ (A).
ทฤษฎีบท 3.15 ให้ A เป็นτ * -G-ปิด (x, τ) จากนั้นจะปิดกรัมถ้าหาก CL * (A) - เป็นτ * -open.
พิสูจน์: สมมติว่าเป็น G-ปิดใน X. แล้ว CL * (A) = A และ (A) - A = φ ซึ่งเป็นที่τ * - เปิดในเอ็กซ์ตรงกันข้าม
CL * สมมติ (A) -A คือτ * เปิดใน X. ตั้งแต่เป็นτ * -g
ปิดโดยทฤษฎีบท3.10, CL * (A) - ประกอบด้วย ไม่มีτไม่ว่างเปล่า * -closed ใน X. แล้ว (A) -. A =
φดังนั้นจะกรัมปิดทฤษฎีบท3.16 สำหรับ x ∈ X ชุด X - {x} เป็นτ * -g ปิดหรือเปิด *.
พิสูจน์: สมมติว่า X - {x} ไม่ได้เปิด จากนั้น X คือชุดเท่านั้น * -open มี X - {x} นี้มีความหมาย ({x}) ⊆ X. ดังนั้น {x}
เป็นτ * -g ปิดใน X.
หมายเหตุ 3.17
จากการสนทนาดังกล่าวข้างต้นเราได้รับผลกระทบต่อไปนี้

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แล้ว F ⊆ CL * ( ) ∩ AC เนื่องจาก ( a ) ) = ( ) ∩ .
ดังนั้น F ⊆ CL * ( ) และ F ⊆ . ตั้งแต่ เอฟซี เป็นτ * - ชุดเปิดและเป็น g-closed - , * ( ) ⊆ FC ที่ F ⊆ [ CL ] C .
* ( ) ดังนั้น f ⊆ ( ) ∩ [ * ( ] ) C = φ . นั่นคือ F = φ , ความขัดแย้ง ดังนั้น Cl * ( ) ซึ่งประกอบด้วยไม่มีว่าง * - ปิดการตั้งค่าใน X .
ในทางกลับกันสมมติว่า ( ) ซึ่งประกอบด้วยไม่มีว่างเปล่า - ปิดการตั้งค่า ให้⊆ G , G * - เปิดτ .สมมติว่า CL * ( ) คือ ไม่ได้อยู่ใน ก. แล้ว CL * ( ) ∩ GC เป็นไม่ใช่เปล่าτ * - ปิดการตั้งค่า ( ) ผู้ซึ่งมีความขัดแย้ง ดังนั้น Cl * ( ) ⊆กรัม จึงเป็นτ * - g -
ควันหลง 3.11 . เป็นเซตย่อยของ X คือ g-closed ถ้าและเพียงถ้า CL * ( ) ซึ่งประกอบด้วยไม่มีว่างปิดชุด X .
: หลักฐานพิสูจน์ว่าทฤษฎีบท 3.10 . และความจริงที่ว่าทุกชุดปิดคือปิดการตั้งค่าในτ * -
Xควันหลง 3.12 . เป็นเซตย่อยของ X คือτ * - g-closed ถ้าและเพียงถ้า CL * ( ) ซึ่งประกอบด้วยไม่มีตั้งค่าเปิดว่างใน X .
: หลักฐานพิสูจน์ว่าทฤษฎีบท 3.10 . และความจริงที่ว่าทุกเซตเปิดเป็นτ * - เซตเปิดใน
ทฤษฎีบท 3.13 . ถ้าเป็นเซตย่อยของ X - g-closed และ⊆ B ⊆ CL * ( ) , B - g-closed ชุด X .
พิสูจน์ให้เป็นτ * - g-closed ชุดดังกล่าวที่⊆ B ⊆ ( )ให้ u เป็นτ * - ชุดเปิด X เช่น B ⊆ U ตั้งแต่ - g-closed เรามี Cl * ( ) ⊆ U * ( ) ⊆ CL * ( b ) ⊆ CL * [ ( ) ] = CL * ( ) ⊆ U ( B ) ⊆วู คุณเป็น * * * * เปิดτ .
ดังนั้น B τ * - g-closed ชุด X .
ของทฤษฎีบทสนทนาข้างต้นไม่ต้องจริงเท่าที่เห็นจากตัวอย่างต่อไปนี้ . .
ตัวอย่าง 3.14 . พิจารณาพื้นที่ทอพอโลยี ( x , τ ) เมื่อ x = { a , b , c } และโครงสร้างτ = { x φ , ,{ } , { a , b } }
{ C } ให้ a = b = { C } แล้ว A และ B τ * - g-closed ชุด ( x , τ ) แต่⊆ B ไม่ใช่ย่อย ( )
ทฤษฎีบท 3.15 . ปล่อยให้เป็นτ * - g-closed ( x , τ ) แล้วจะ g-closed ถ้าและเพียงถ้า CL * ( ) ซึ่งเป็น * * * * เปิดτ .
หลักฐาน : สมมติว่าเป็น g-closed ใน X แล้ว CL * ( ) = ( ) = φ ) ซึ่งเป็นτ * - เปิดใน X . ในทางกลับกัน
ว่า CL * ( ) ซึ่งเป็นτ * - เปิดใน เอ็กซ์ ตั้งแต่เป็นτ g-closed * - ,โดย
ทฤษฎีบท 3.10 , CL * ( ) ซึ่งประกอบด้วยไม่มีว่างτ * - ปิดแล้ว ( X ) ) = φจึงเป็น g-closed .
ทฤษฎีบทพิสูจน์ . สำหรับ x ∈ x , x ) { x } เป็นเซตτ * - * - g-closed หรือเปิด
หลักฐานว่า { x } : X - ไม่ - เปิด แล้ว X เป็นเซตเปิดที่มีเพียง * - X - { x } นี้หมายถึง ( { x } ) X . { x }
⊆จึงเป็นτ * - g-closed ใน X .
หมายเหตุ 3.17 . จากการสนทนาข้างต้นเราขอรับ
ตามความหมาย .