Ramsey NumbersParty Problem: Find t

Ramsey Numbers
Party Problem: Find the minimum number R(k, l) of guests that must be
invited so that at least k will know each other or at least l will not know
each other (we assume that if A knows B, then B knows A as well).
Let us rephrase this problem in graph theoretical terms:
Definition 1.1: A complete graph G is a graph in which each pair of vertices
is connected by one edge (no loops). We denote the complete graph with n
vertices as Kn.
Definition 1.2: The Ramsey Number R(k, l) is defined as the minimum
number N such that for any coloring c of the set of edges of KN, denoted as
E(KN), KN contains a red Kk or a blue Kl as a subgraph. A coloring c is a
function from {(i, j)|i 6= j and i, j ∈ {1, . . . ,N}} to {red, blue}.
Some obvious properties are: R(s, t) = R(t, s) and R(s, 2) = s.
Theorem 1.1 (Ramsey 1930): R(s, t) is finite for all s, t ≥ 2 and for s, t > 2
we have R(s, t) ≤ R(s − 1, t) + R(s, t − 1).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แรมซีย์หมายเลขปัญหาของบุคคล: พบขั้นต่ำหมายเลข R (k, l) ของผู้เข้าพักที่ต้องเชิญได้ที่ k น้อยจะรู้กัน หรืออย่างน้อย l จะไม่ทราบกัน (เราสมมติว่า ถ้า A รู้ B แล้ว B รู้ A ด้วย)ให้เราเรียบเรียงปัญหานี้ในแง่ทฤษฎีกราฟ:ข้อกำหนดที่ 1.1: สมบูรณ์กราฟ G เป็นกราฟในซึ่งแต่ละคู่ของจุดยอดเชื่อมต่อ โดยขอบด้านหนึ่ง (ไม่มีลูป) เราแสดงกราฟสมบูรณ์ ด้วย nจุดยอดเป็น Knข้อกำหนดที่ 1.2: R(k, l) เลขแรมซีย์ถูกกำหนดเป็นขั้นต่ำจำนวน N ดังกล่าวที่ c ใด ๆ สีของชุดของขอบของ KN ตามE(KN), KN ประกอบด้วยเคเคเป็นสีแดงหรือ Kl เป็นสีน้ำเงินเป็น subgraph ที่ C ระบายสีคือการทำงานจาก {(i, j) | ฉัน 6 = j และ i, j ∈ {1,..., N } } กับ {สีแดง สีน้ำเงิน}คุณสมบัติบางอย่างเห็นได้ชัดจะ: R (s, t) = R (t, s) และ R (s, 2) = sทฤษฎีบทที่ 1.1 (Ramsey 1930): R (s, t) คือมีจำกัดสำหรับทั้ง s, t ≥ 2 และ s, t > 2เรามี R (s, t) ≤ R (s − 1, t) + R (s, t − 1)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

แรมซีย์หมายเลข
ปัญหาปาร์ตี้: พบจำนวน R ขั้นต่ำ (K, L) ของผู้เข้าพักที่จะต้อง
ได้รับเชิญเพื่อให้อย่างน้อย K จะได้รู้ว่าแต่ละอื่น ๆ หรืออย่างน้อย L จะไม่ทราบว่า
แต่ละอื่น ๆ (เราคิดว่าถ้ารู้ B แล้ว B รู้เช่นกัน)
ขอให้เราใช้ถ้อยคำปัญหานี้ในแง่ทฤษฎีกราฟ:
นิยาม 1.1: สมบูรณ์กราฟ G เป็นกราฟที่คู่ของแต่ละจุด
เชื่อมต่อหนึ่งขอบ (ไม่มีลูป) เราแสดงให้เห็นถึงรูปแบบของกราฟสมบูรณ์ด้วย n
จุดเป็น Kn
นิยาม 1.2: แรมซีย์หมายเลข R (K, L) ถูกกำหนดให้เป็นขั้นต่ำ
จำนวน N เช่นว่าสีใด ๆ C ชุดของขอบของ KN ที่แสดงเป็น
อี (KN) KN มี Kk สีแดงหรือสีฟ้า Kl เป็น subgraph สี C คือ
ฟังก์ชั่นจาก {(I, J) | ฉัน 6 = J และฉัน∈ J {1, . . , N}} เป็น {สีแดง, สีฟ้า}
บางคุณสมบัติที่เห็นได้ชัดคือ: R (S, T) = R (T, S) และอาร์ (S, 2) = s
ทฤษฎีบท 1.1 (แรมซีย์ 1930): r (S, T) มี จำกัด สำหรับทุก s, t ≥ 2 และ S, T> 2
เรามี r (S, T) ≤ R (s - 1, T) + R (s t - 1)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แรมซี่ย์ หมายเลขปัญหาพรรค : ค้นหา R จำนวนขั้นต่ำ ( K ( , L ) ของผู้ที่ต้องชวนเพื่อที่อย่างน้อย k จะรู้จักกัน หรืออย่างน้อยผมก็ไม่รู้แต่ละอื่น ๆ ( สมมติว่าถ้าเรารู้ว่า B แล้ว B จะเป็นด้วย )ขอให้เราพูดใหม่นะปัญหานี้ในทางทฤษฎีเงื่อนไข : กราฟนิยาม 1.1 : สมบูรณ์กราฟ g คือกราฟที่แต่ละคู่ของจุดยอดเชื่อมต่อโดยหนึ่งขอบ ( ไม่มีห่วง ) เราแสดงกราฟสมบูรณ์ด้วยจุดตามที่ราบคำนิยามที่ 1.2 : แรมซีย์หมายเลข r ( K ( , L ) หมายถึง น้อยที่สุดจำนวน n เช่น สําหรับระบายสี C ของชุดของขอบของ KN เขียนแทน เช่นE ( KN ) จักประกอบด้วยสีแดง KK หรือ KL สีฟ้าเป็น subgraph . สี C คือฟังก์ชันจาก { ( i , j ) | ชั้น 6 = J และฉัน , J ∈ { 1 . . . . . . . . , n } } { แดง }ชัดเจน คุณสมบัติ : R ( , t ) = r ( t , s ) และ R ( , 2 ) = .1.1 ( ทฤษฎีบทแรมซีย์ 1930 ) : R ( S , t ) จำกัดสำหรับทุก s , t ≥ 2 และ S , t > 2ขณะนี้มี R ( , t ) ≤ R ( s − 1 t + r ( S , T − 1 )