1. IntroductionThe auxiliary inform

1. Introduction
The auxiliary information is frequently used to increase precision of the estimates by taking advantage of correlation between
the study variable and the auxiliary variable. Another way to increase the efficiency of the ratio estimator is to use the
information on the auxiliary attributes. Several authors, including Koyuncu [3], Shabbir and Gupta [6], [7] Naik and Gupta
[5], Abd-Elfattah et al. [1], have proposed improved estimators of finite population mean using information on an auxiliary
attribute.
Consider X ¼ fX1; X2; :::; Xi:::; XNg be a finite population of size N. A sample of size n is selected from X by using simple
random sampling without replacement. Let yi and ui denote the values of the study variable and the binary auxiliary attribute
for the ith unit of the population, respectively. Here it is assumed that ui can take only two possible values, depending
on the presence of an attribute, say u, i.e.,
ui ¼ 1; if the ith unit of the population possesses attribute u;
ui ¼ 0; otherwise:
Let P ¼ PN
i¼1ui and p ¼ Pn
i¼1ui denote the total number of units in the population and in the sample, respectively,
possessing an auxiliary attribute u. The corresponding population and sample proportions are P ¼ P
N and p ¼ p
n, respectively.
Similarly, let Y ¼ 1
N
PN
i¼1yi and y ¼ 1
n
Pn
i¼1yi be the population and the sample means of the study variable y, respectively. In
order to estimate the population mean Y, we assume that P is known. Let s2
y ¼ 1
n1
Pn
i¼1ðyi yÞ
2 and s2
u ¼ npð1pÞ
n1 be the sample
variances corresponding to the population variances S2
y ¼ 1
N1
PN
i¼1ðyi YÞ
2
and S2
u ¼ NPð1PÞ
N1 , respectively. Let qpb be the correlation
coefficient between the study variable y and the auxiliary attribute u. Let Cy ¼ Sy
Y and Cu ¼ Su
P be the coefficients of
variation of y and u, respectively. In order to find the biases and mean squared errors (MSEs) of the estimators, we define the
following relative error terms.
0096-3003/$ - see front matter 2013 Elsevier Inc. All rights reserved.
http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2013.12.113
⇑ Corresponding author.
E-mail address: [e-mail] (A. Haq).
Applied Mathematics and Computation 230 (2014) 336–341
Contents lists available at ScienceDirect
Applied Mathematics and Computation
journal homepage: www.elsevier.com/locate/amc
Let n0 ¼ y
Y 1 and n1 ¼ p
P 1, such that E(ni) = 0, for i = 0, 1, where E( ) represents the mathematical expectation. Let
Eðn2
0Þ ¼ hC2
y ¼ V20; Eðn2
1Þ ¼ hC2
u ¼ V02 and Eðn0n1Þ ¼ hqpbCyCu ¼ V11, where Vrs ¼ EfðyYÞ
r
ðpPÞ
s
g
YrPs , for r; s ¼ 0; 1; 2; h ¼ 1f
n ; f ¼ n
N.
In this paper, we have proposed two improved estimators of finite population mean by modifying the estimators suggested
by Koyuncu [3]. The biases and MSEs of the proposed estimators are derived up to the first order of approximation.
Two real data sets are used for numerical comparisons. It is worth mentioning that the proposed estimators are more effi-
cient than the estimators suggested by Koyuncu [3].
The rest of the paper is as follows: Section 2 includes several estimators of finite population mean based on an auxiliary
attribute. In Section 3, we find the biases and MSEs of the proposed estimators. Section 4 contains numerical comparisons of
the proposed and the existing estimators. Section 5 finally summarizes the main findings.
2. E

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. บทนำข้อมูลเสริมมักใช้เพื่อเพิ่มความแม่นยำของการประเมิน โดยใช้ประโยชน์จากความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่ศึกษาและตัวแปรเสริม การเพิ่มประสิทธิภาพของการประมาณอัตราส่วนอีกวิธีคือการ ใช้การข้อมูลเกี่ยวกับคุณลักษณะเสริม หลายผู้เขียน Koyuncu [3], บรรจง และกุปตา [6], [7] ริษรีโบและคุปตะ[5], ชิวชิว Elfattah et al. [1], ได้เสนอปรับปรุง estimators ของประชากรจำกัดหมายถึง โดยใช้ข้อมูลที่ช่วยเสริมแอตทริบิวต์พิจารณา X ¼ fX1 X2 :::; ซี:::; XNg มีประชากรจำกัดขนาด n เลือกตัวอย่างขนาด n จาก X โดยใช้ง่ายสุ่มตัวอย่างโดยไม่ต้องเปลี่ยน ให้ yi และ ui แสดงค่าของตัวแปรที่ศึกษาและแอตทริบิวต์เสริมไบนารีสำหรับหน่วยระยะของประชากร ตามลำดับ นี่มันจะสันนิษฐานว่า ui สามารถใช้เพียงสองค่าที่เป็นไป ขึ้นอยู่กับในการปรากฏตัวของแอตทริบิวต์ พูด u เช่นui ¼ 1 ถ้าระยะหน่วยของประชากรมีแอตทริบิวต์ uui ¼ 0 เป็นอย่างอื่น:ให้ P ¼ PNi¼1ui และ p ¼ Pni¼1ui แสดงจำนวนหน่วย ในประชากร และตัว อย่าง ตามลำดับมี u เป็นคุณลักษณะเสริม ประชากรที่สอดคล้องกันและสัดส่วนอย่าง P P ¼N และ p p ¼n ตามลำดับในทำนองเดียวกัน ให้ Y ¼ 1Nหมายเลขสินค้าi¼1yi และ y ¼ 1nหมายเลขสินค้าi¼1yi มีประชากร และตัวอย่างวิธีการศึกษาตัวแปร y ตามลำดับ ในเพื่อประมาณค่าเฉลี่ยประชากร Y เราสมมติว่า P เป็น ให้ s2y ¼ 1n1หมายเลขสินค้าi¼1ðyi yÞ2 และ s2npð1pÞ u ¼n1 เป็นตัวอย่างผลต่างที่สอดคล้องกับผลต่างประชากร S2y ¼ 1N1หมายเลขสินค้าi¼1ðyi YÞ2และ S2u NPð1PÞ ¼N1 ตามลำดับ ให้ qpb มีความสัมพันธ์ค่าสัมประสิทธิ์ระหว่างตัวแปร y ศึกษา u คุณลักษณะเสริม ให้ Cy ¼ SyY และ Cu ¼ SuP เป็นสัมประสิทธิ์ของความผันแปรของ y และคุณ ตามลำดับ เพื่อหาความอคติ และหมายถึง ข้อผิดพลาดที่ยกกำลังสอง (MSEs) ของ estimators ที่ เรากำหนดปฏิบัติตามเงื่อนไขข้อผิดพลาดสัมพัทธ์0096-3003 / $ - ดูหน้าเรื่อง 2013 Elsevier อิงค์ สงวนลิขสิทธิ์http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2013.12.113ผู้ได่⇑ที่อยู่อีเมล์: [e-mail] (A. Haq)ใช้คณิตศาสตร์และการคำนวณ 230 (2014) 336-341เนื้อหารายการ ScienceDirectคณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณหน้าแรกของสมุดรายวัน: www.elsevier.com/locate/amcให้ n0 ¼ yY 1 และ n1 p ¼1 P เช่นที่ E(ni) = 0 สำหรับ i = 0, 1 ที่(E)หมายถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ปล่อยให้Eðn20Þ ¼ hC2y ¼ V20 Eðn21Þ ¼ hC2u ¼ V02 และ Eðn0n1Þ hqpbCyCu ¼¼ V11 ที่ EfðyYÞ ยม¼rðpPÞsกรัมYrPs สำหรับ r s ¼ 0 1 2 ชั้น 1 h ¼n n f ¼N.ในกระดาษนี้ เรามีเสนอ estimators ปรับสองของค่าเฉลี่ยประชากรจำกัด โดยการปรับเปลี่ยน estimators แนะนำโดย Koyuncu [3] อคติและ MSEs ของ estimators เสนอมาถึงลำดับแรกของประมาณสองชุดข้อมูลจริงที่ใช้สำหรับเปรียบเทียบตัวเลข มันเป็นมูลค่าการกล่าวขวัญว่า เป็น estimators เสนอเพิ่มเติม effi-cient กว่า estimators แนะนำ โดย Koyuncu [3]ส่วนเหลือของกระดาษจะเป็นดังนี้: ส่วนที่ 2 รวม estimators หลายของค่าเฉลี่ยประชากรจำกัดอิงช่วยเสริมแอตทริบิวต์ ในส่วนที่ 3 เราพบอคติและ MSEs ของ estimators เสนอ 4 ส่วนประกอบด้วยตัวเลขเปรียบเทียบนำเสนอและ estimators อยู่ ส่วนที่ 5 สุดท้ายสรุปประเด็นหลัก2. E

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1. บทนำ
ข้อมูลเสริมมักจะถูกใช้เพื่อเพิ่มความแม่นยำของการประมาณการโดยการใช้ประโยชน์จากความสัมพันธ์ระหว่าง
ตัวแปรการศึกษาและการตัวแปรเสริม วิธีที่จะเพิ่มประสิทธิภาพของการประมาณการอัตราส่วนก็คือการใช้
ข้อมูลเกี่ยวกับคุณลักษณะเสริม ผู้เขียนหลายคนรวมทั้ง Koyuncu [3], Shabbir และแคนด์ [6] [7] Naik และ Gupta
[5], อับดุล Elfattah et al, [1] ได้เสนอตัวประมาณที่ดีขึ้นของประชากร จำกัด หมายถึงการใช้ข้อมูลเกี่ยวกับผู้ช่วย
แอตทริบิวต์.
พิจารณา X ¼ FX1; X2; :::; Xi :::; XNg เป็นประชากร จำกัด ของขนาด N. ตัวอย่างของขนาด n ถูกเลือกจาก X โดยใช้ง่าย
สุ่มแบบโดยไม่ต้องเปลี่ยน ให้ Yi และ UI แสดงค่าของตัวแปรการศึกษาและแอตทริบิวต์เสริมไบนารี
สำหรับหน่วย ith ของประชากรตามลำดับ นี่มันจะสันนิษฐานว่า UI สามารถใช้เวลาเพียงสองค่าที่เป็นไปได้ขึ้นอยู่
กับสถานะของแอตทริบิวต์พูด U คือ
UI ¼ 1; ถ้าหน่วย ith ของประชากรที่มีคุณสมบัติแอตทริบิวต์ U;
ui ¼ 0; มิฉะนั้น:
Let P ¼ PN
i¼1uiและ P ¼ Pn
i¼1uiแสดงว่าจำนวนหน่วยในประชากรและในกลุ่มตัวอย่างตามลำดับ
ที่มีคุณลักษณะที่ช่วย U ที่สอดคล้องกันของประชากรและกลุ่มตัวอย่างที่มีสัดส่วน P ¼ P
ไนโตรเจนและฟอสฟอรัส¼ P
n. ตามลำดับ
ในทำนองเดียวกันให้ Y ¼ 1
N
PN
i¼1yiและ Y ¼ 1
n
Pn
i¼1yiเป็นประชากรและกลุ่มตัวอย่างวิธีการของตัวแปร Y ศึกษาตามลำดับ ใน
การสั่งซื้อที่จะประเมินค่าเฉลี่ยประชากร Y ที่เราคิดว่า P เป็นที่รู้จักกัน Let S2
Y ¼ 1
N1
Pn
i¼1ðyi YTH
ที่ 2 และ S2
U ¼npð1pÞ
N1 เป็นตัวอย่าง
แปรปรวนสอดคล้องกับประชากรที่แปรปรวน S2
Y ¼ 1
N1
PN
i¼1ðyi YTH
2
และ S2
U ¼NPð1PÞ
N1 ตามลำดับ ให้ QPB เป็นความสัมพันธ์
ค่าสัมประสิทธิ์ระหว่างตัวแปร y ศึกษาและแอตทริบิวต์เสริม U ให้ภาวะ¼ Sy
Y และ Cu ¼ซู
P จะมีค่าสัมประสิทธิ์ของ
การเปลี่ยนแปลงของ Y และ u ตามลำดับ เพื่อที่จะหาอคติและหมายถึงข้อผิดพลาด Squared (mses) ของตัวประมาณค่าที่เรากำหนด
แง่ความผิดพลาดต่อไปนี้.
0096-3003 / $ - เห็นหน้าเรื่อง 2013 เอลส์อิงค์สงวนลิขสิทธิ์.
http: //dx.doi org / 10.1016 / j.amc.2013.12.113
. ⇑ผู้รับผิดชอบ
E-mail address: [e-mail] (กลัค).
คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 230 (2014) 336-341
สารบัญรายการสามารถดูได้ที่ ScienceDirect
คณิตศาสตร์ประยุกต์และ คำนวณ
หน้าแรกวารสาร: www.elsevier.com/locate/amc
ให้ N0 ¼ Y
Y ที่ 1 และ N1 ¼ P
P 1 เช่นว่าอี (NI) = 0 สำหรับ i = 0, 1, ที่ E () หมายถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ . ให้
Eðn2
0TH ¼ HC2
Y ¼ V20; Eðn2
1th ¼ HC2
U ¼ V02 และEðn0n1Þ¼ hqpbCyCu ¼ V11 ที่ Vrs ¼EfðyYÞ
R
ðpPÞ
s
G
YrPs สำหรับ R; s ¼ 0; 1; 2; H ¼ 1F
n; F ¼ n
เอ็น
ในบทความนี้เราได้นำเสนอสองประมาณที่ดีขึ้นของประชากร จำกัด หมายถึงโดยการปรับเปลี่ยนประมาณค่าที่แนะนำ
โดย Koyuncu [3] อคติและ mses ของประมาณที่นำเสนอจะได้มาถึงลำดับแรกของการประมาณ.
สองชุดข้อมูลจริงถูกนำมาใช้สำหรับการเปรียบเทียบตัวเลข เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญว่าประมาณเสนอที่มีประสิทธิภาพการเพิ่มเติม
ประสิทธิภาพกว่าประมาณค่าที่แนะนำโดย Koyuncu [3].
ส่วนที่เหลือของกระดาษมีดังนี้ส่วนที่ 2 รวมถึงหลายตัวประมาณของประชากร จำกัด หมายถึงขึ้นอยู่กับผู้ช่วย
แอตทริบิวต์ ในข้อ 3 เราพบอคติและ mses ของประมาณที่นำเสนอ มาตรา 4 ให้มีการเปรียบเทียบตัวเลขของ
ที่นำเสนอและการประมาณค่าที่มีอยู่ มาตรา 5 ในที่สุดก็สรุปผลการวิจัยหลัก.
2 E

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . แนะนำข้อมูลเสริมมักใช้เพื่อเพิ่มความแม่นยำในการประมาณการ โดยประโยชน์ของความสัมพันธ์ระหว่างการศึกษาตัวแปรและตัวแปรเสริม อีกวิธีหนึ่งที่จะช่วยเพิ่มประสิทธิภาพของตัวประมาณอัตราส่วนคือการใช้ข้อมูลเกี่ยวกับคุณสมบัติที่ช่วย ผู้เขียนหลาย รวมทั้ง koyuncu [ 3 ] และ shabbir Gupta [ 6 ] [ 7 ] โดย Gupta , และ[ 5 ] , อับดุล elfattah et al . [ 1 ] , มีการเสนอปรับปรุงประมาณการประชากรจำกัดหมายถึงใช้ข้อมูลบน เสริมคุณลักษณะพิจารณา x ¼ fx1 ; x2 ; : : : ; ซี : : : ; xng เป็นจำนวนจำกัดของขนาดได้ ตัวอย่างของขนาด n x โดยเลือกใช้ง่ายการสุ่มตัวอย่างโดยไม่เปลี่ยน ปล่อยยีและ UI แสดงถึงคุณค่าของการศึกษาตัวแปรและคุณสมบัติเสริมไบนารีสำหรับ จ. หน่วยของประชากรตามลำดับ ที่นี่เป็นสันนิษฐานว่า UI สามารถใช้เพียงสองเป็นไปได้ค่าขึ้นในการแสดงตนของแอตทริบิวต์ พูด คุณ เช่นUI ¼ 1 ; ถ้า ith หน่วยของประชากรมีคุณลักษณะ U ;UI ¼ 0 ; อย่างอื่น :ให้ P ¼ ?ผม¼ 1ui และ P ¼ ?ผม¼ 1ui แสดงจำนวนหน่วยในประชากรและตัวอย่าง ตามลำดับมีแอตทริบิวต์เสริม . . ที่ประชากรและกลุ่มตัวอย่างสัดส่วน p ¼ p¼ N P pn ตามลำดับในทำนองเดียวกัน ให้¼ 1 Yn?ผม¼ 1yi และ Y ¼ 1n?ผม¼ 1yi เป็นประชากรและกลุ่มตัวอย่าง หมายถึง ตัวแปรศึกษา Y ตามลำดับ ในการประมาณค่าเฉลี่ยของประชากร Y เราสมมติว่า P คือรู้จัก ปล่อย S2¼ 1 YN1?ผม¼ 1 ð Y Þยิและ S2 2คุณ¼ NP ð 1P ÞN1 เป็นตัวอย่างสอดคล้องกับความแปรปรวนประชากร S2¼ 1 YN1?ผม¼ 1 ð Y Þยิ2และ S2คุณ¼ NP ð 1P Þ1 ) ให้ qpb เป็นสหสัมพันธ์ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรที่ศึกษา และช่วยให้คุณลักษณะ U . Y ¼ไซไซY และ Cu ¼ ซูเป็นสัมประสิทธิ์ของ pการเปลี่ยนแปลงของ Y , U ) เพื่อค้นหา biases และค่าเฉลี่ยยกกำลังสองข้อผิดพลาด ( mses ) ของประมาณการ เรากำหนดเงื่อนไขต่อไปนี้ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์0096-3003 / $ - เห็นหน้า 2013 Elsevier Inc สงวนสิทธิ์ทั้งหมดขึ้น .http://dx.doi.org/10.1016/j.amc.2013.12.113⇑ที่สอดคล้องกันของผู้เขียนอีเมล : [e-mail] ( A . Haq )คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 230 ( 2014 ) 336 – 341เนื้อหารายการของบริการคณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณหน้าแรก : www.elsevier.com/locate/amc วารสารให้¼ NO Yและ¼ P N1 y 1P 1 E ( เช่นผม ) = 0 , สำหรับฉัน = 0 , 1 ที่ E ( ) หมายถึงความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ ให้ð N2 E0 Þ¼ hc2¼ v20 N2 Y ; E ð1 Þ¼ hc2คุณ¼ v02 และ E ð n0n1 Þ¼ hqpbcycu ¼ v11 ที่ VRS ¼ EF ð YY Þอาร์ð PP Þsกรัมyrps , R ; S ¼ 0 ; 1 ; 2 ; H ¼ 1fN ; F ¼ NN .ในบทความนี้เราได้เสนอปรับปรุงตัวประมาณค่าเฉลี่ยประชากรสองวิธี โดยการปรับเปลี่ยนวิธีการแนะนำโดย koyuncu [ 3 ] และเสนอ mses biases ของ estimators จะได้มาถึงลำดับแรกของการประมาณข้อมูลสองชุดมีการใช้จริงสำหรับการเปรียบเทียบตัวเลข เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญที่เสนอเป็น effi ประมาณ .cient กว่าวิธีการที่แนะนำโดย koyuncu [ 3 ]ส่วนที่เหลือของกระดาษมีดังนี้ ส่วนที่ 1 มีหลายวิธีขึ้นอยู่กับประมาณของประชากร หมายถึง การเสริมคุณลักษณะ ในมาตรา 3 ให้เราค้นหาและเสนอ mses อคติของตัวประมาณ ส่วนที่ 4 มีการเปรียบเทียบตัวเลขของการนำเสนอและวิธีการที่มีอยู่ มาตรา 5 ได้สรุปข้อมูลหลัก2 . อี