In this paper, we present an altern

In this paper, we present an alternative means for solving the ODE (1) based on recent work in [18]. The general
solution we give appears in the standard form
y = yh + yp, (2)
where yh, commonly termed the complementary function, is the solution of
y
h + p(x)y
h + q(x)yh = 0 (3)
which is clearly of the form (1) with r(x) ≡ 0. It is well known that if y1 and y2 are two linearly independent solutions
of (3) we may write
yh = Ay1 + By2, (4)
where of course A and B are arbitrary constants. Finally, the function yp in (2), referred to often as the particular
integral, is a particular solution of (1) and, in our formulation, is expressible as a function of r(x) and either of y1
or y2 but never both.
It should be noted at this point that, though the solution we are to present herein does assume the same form as
taken by classical methods (i.e. variation of parameters etc.), there exist not uncommon instances where there is an
appreciable difference between our method and these classical ones in terms of ease of computation. This difference
results from the fact that yp, in the novel form that we give it, is computed from the knowledge of but one of the
linearly independent solutions of the equivalent homogeneous problem. This allows us to choose either y1 or y2 to
be used in the evaluation of yp and that choice can be made with the intention of simplifying the process of that
evaluation.
An outline of this paper is as follows: in Section 2 we will present and prove our main result pertaining to the
explicit solution of (1) which amounts to an alternative method for solving the general inhomogeneous linear ODE
of order two. In Section 3 we will apply our results by giving a general treatment of the inhomogeneous ODE of
order two with constant coefficients. Finally, in Section 4 we will explicitly demonstrate the utility of our work by
employing our method in the solution two example problems, the first of which being purely academic and the latter
being the inhomogeneous Klein–Gordon equation.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในบทความนี้เรานำเสนอทางเลือกในการแก้ ODE นี้ (1) บนพื้นฐานการทำงานที่ผ่านมาใน [18] ทั่วไปวิธีการแก้ปัญหาที่เราให้ปรากฏในรูปแบบมาตรฐานy ที่ยงฮวา + = YP (2) ที่ยงฮวา, มักเรียกว่าฟังก์ชั่นเสริมเป็นวิธีการแก้ของ?? วายเอช+ P (x) Y? H + Q (x) ยงฮวา = 0 (3) ซึ่งเป็นที่ชัดเจนของรูปแบบ (1) กับอาร์ (x) ≡ 0. เป็นที่ทราบกันดีว่าถ้า y1 และ y2 สองโซลูชั่นที่เป็นอิสระเป็นเส้นตรงของ(3) เราอาจจะเขียนYH = Ay1 + By2 ( 4) ที่แน่นอน A และ B มีค่าคงที่โดยพลการ ในที่สุด YP ฟังก์ชั่น (2) มักเรียกกันว่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งหนึ่งเป็นวิธีการแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งของ(1) และในสูตรของเราคือการแสดงออกเป็นหน้าที่ของอาร์ (x) และทั้งของ y1 หรือ y2 แต่ไม่เคย ทั้งสอง. มันควรจะสังเกตที่จุดนี้แม้ว่าการแก้ปัญหาที่เราจะนำเสนอในที่นี้จะไม่ถือว่าเป็นรูปแบบเดียวกับที่ดำเนินการโดยวิธีคลาสสิก (เช่นการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์ ฯลฯ ) ที่มีอยู่กรณีไม่ใช่เรื่องแปลกที่จะมีความแตกต่างที่เห็นได้ระหว่างวิธีการของเราและคนที่คลาสสิกเหล่านี้ในแง่ของความสะดวกในการคำนวณ ความแตกต่างนี้เป็นผลมาจากความจริงที่ว่า YP ในรูปแบบใหม่ที่เราให้มันคำนวณจากความรู้ของ แต่หนึ่งในการแก้ปัญหาที่เป็นอิสระเป็นเส้นตรงของปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นเนื้อเดียวกันเทียบเท่า นี้ช่วยให้เราเลือกอย่างใดอย่าง y1 หรือ y2 ที่จะนำมาใช้ในการประเมินผลYP และทางเลือกที่สามารถทำด้วยความตั้งใจที่ลดความซับซ้อนของกระบวนการของการที่ได้ประเมินผล. ร่างของบทความนี้คือดังนี้ในส่วนที่ 2 เราจะนำเสนอและ พิสูจน์ผลหลักของเราที่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาที่ชัดเจนของ(1) ซึ่งจะมีจำนวนวิธีทางเลือกในการแก้ปัญหาทั่วไป inhomogeneous ODE เชิงเส้นของการสั่งซื้อสอง ในส่วนที่ 3 เราจะใช้ผลของเราโดยการให้การรักษาทั่วไปของ ODE inhomogeneous ของสองคำสั่งที่มีสัมประสิทธิ์คงที่ สุดท้ายในส่วนที่ 4 อย่างชัดเจนเราจะแสดงให้เห็นประโยชน์ของการทำงานของเราโดยการใช้วิธีการของเราในการแก้ปัญหาสองปัญหาตัวอย่างเช่นคนแรกที่เป็นนักวิชาการอย่างหมดจดและหลังเป็นinhomogeneous สมไคลน์กอร์ดอน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในกระดาษนี้เราเสนอวิธีการทางเลือกสำหรับการแก้บทกวี ( 1 ) ขึ้นอยู่กับผลงานล่าสุดใน [ 18 ] นายพล
โซลูชั่นเราให้ปรากฏในแบบฟอร์มมาตรฐาน
y = YH YP ( 2 )
ที่ยงฮวา มักเรียกว่าฟังก์ชันซึ่งเป็นทางออกของ  

Y H P ( x ) Y 
H Q ( x ) YH = 0 ( 3 )
ที่ชัดเจนของ แบบฟอร์ม ( 1 ) กับ R ( x ) ≡ 0มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าถ้า y1 y2 และเป็นอิสระเป็นเส้นตรงสองโซลูชั่น
( 3 ) เราอาจเขียน
YH = ay1 by2 ( 4 )
ที่แน่นอนให้ a และ b เป็นค่าคงที่โดยพลการ สุดท้ายฟังก์ชัน YP ( 2 ) เรียกว่ามักจะเป็นเฉพาะ
integral เป็นเฉพาะโซลูชั่น ( 1 ) และในสูตรของเรา expressible เป็นฟังก์ชันของ R ( x ) และอย่างใดอย่างหนึ่งหรือ y1

Y2 แต่ไม่ทั้งสองมันควรจะสังเกตที่จุดนี้ , แม้ว่าเราจะนำเสนอโซลูชั่นดังกล่าวไม่ถือว่าฟอร์มเดียวกับ
ถ่ายโดยวิธีคลาสสิก ( เช่นการเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์ ฯลฯ ) แล้ว ยังมีกรณี ไม่ใช่เรื่องแปลกที่มีความแตกต่างระหว่างวิธีการ
ชดช้อยพวกนี้คลาสสิกในแง่ของความสะดวกในการคำนวณของเรา ความแตกต่างนี้เป็นผลจากความจริงที่ว่า YP
,ในรูปแบบใหม่ที่เราให้นั้น จะคำนวณจากความรู้ของแต่หนึ่งในโซลูชั่นของเทียบเท่า
เส้นตรงอิสระ เป็นปัญหา นี้ช่วยให้เราสามารถเลือก y1 y2

หรือจะใช้ในการประเมินผลของ YP และทางเลือกที่สามารถทำได้กับความตั้งใจของลการกระบวนการประเมินผลที่
.
เค้าร่างของเอกสารนี้จะเป็นดังนี้ :ในส่วนที่ 2 เราจะนำเสนอผลและพิสูจน์หลักของเราเกี่ยวข้องกับ
ชัดเจน โซลูชั่น ( 1 ) ยอดเงินที่เป็นวิธีทางเลือกสำหรับการแก้ปัญหาทั่วไป inhomogeneous เส้นบทกวี
ลำดับสอง ในตอนที่ 3 เราจะใช้ผลของเรา โดยการให้การรักษาทั่วไปของบทกวี inhomogeneous
สั่งสองคงที่ของค่าสัมประสิทธิ์ ในที่สุดในส่วนที่ 4 เราจะอย่างชัดเจนแสดงให้เห็นถึงประโยชน์ของการใช้วิธีการทำงานของเราด้วย
ของเราในการแก้ปัญหาสองตัวอย่างปัญหา แรกซึ่งเป็นแบบวิชาการ และหลัง
เป็น inhomogeneous Klein –กอร์ดอนสมการ