We need to enclose a field with a r

We need to enclose a field with a rectangular fence. We have 500 ft of fencing material and a building is on one side of the field and so won’t need any fencing. Determine the dimensions of the field that will enclose the largest area.
Solution: We first draw a picture that illustrates the general case:
The next step is to create a corresponding mathematical model: Maximize: A = xy
Constraint: x + 2y = 500
We now solve the second equation for x and substitute the result into the first equation to
express A as a function of one variable:
x+2y=500 =⇒ x=500−2y =⇒ A=xy=(500−2y)y=500y−2y2
To find the absolute maximum value of A = 500y − 2y2, we use the Closed Interval Method. We first note that 0 ≤ y ≤ 250. The derivative of A(y) is
A′(y) = (500y − 2y2)′ = 500y′ − 2(y2)′ = 500 − 4y so to find the critical numbers we solve the equation
500−4y=0 =⇒ 500=4y =⇒ y=500=125 4
To find the maximum value of A(y) we evaluate it at the end points and critical number: A(0)=0, A(125)=500·125−2·1252 =31,250, A(250)=0
The Closed Interval Method gives the maximum value as A(125) = 31, 250 ft2 and the dimen- sions are y = 125 ft, x = 500 − 2 · 125 = 250 ft.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราต้องใส่เขตข้อมูลที่ มีกรอบสี่เหลี่ยม เรามี 500 ฟุตของฟันดาบวัสดุ และอาคารอยู่บนด้านหนึ่งของฟิลด์ และดังนั้น ไม่ต้องมีรั้ว กำหนดขนาดของฟิลด์ที่จะใส่ว่าแก้ปัญหา: เราต้องวาดรูปที่แสดงให้เห็นถึงกรณีทั่วไป:ขั้นตอนถัดไปคือการ สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง: ขยาย: A = xyข้อจำกัด: x + 2y = 500เราตอนนี้แก้สมการ 2 x และแทนค่าผลลัพธ์ลงในสมการแรกจะA ด่วนเป็นฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่ง:x + 2y = 500 =⇒ x = 500−2y =⇒ A = xy = y (500−2y) = 500y−2y2หาค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ A = 500y − 2y2 เราใช้วิธีปิดช่วง เราต้องทราบที่ 0 ≤ y ≤ 250 เป็นอนุพันธ์ของ A(y)A′(y) =′ (500y − 2y2) = 500y′ − 2 (y2) ′ = 500 − 4y เพื่อหาตัวเลขสำคัญ เราแก้สมการ500−4y = 0 =⇒ 500 = 4y =⇒ y = 500 = 125 4หาค่าสูงสุดของ A(y) เราประเมินได้ที่จุดสิ้นสุดและหมายเลขสำคัญ: (0) = 0 (125) = 500·125−2·1252 = 31,250 (250) = 0วิธีปิดช่วงให้ค่าสูงสุดเป็น A(125) = 31, 250 ft2 และ dimen sions คือ y = 125 ฟุต x = 500 − 2 · 125 = 250 ฟุต

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราจำเป็นต้องใส่ข้อมูลที่มีรั้วสี่เหลี่ยม เรามี 500 ฟุตของวัสดุรั้วและอาคารที่อยู่บนด้านหนึ่งของสนามและเพื่อจะไม่ต้องรั้วใด ๆ กำหนดขนาดของข้อมูลที่จะปิดล้อมพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุด.
แก้ไข: ก่อนอื่นเราวาดภาพที่แสดงให้เห็นกรณีทั่วไป:
ขั้นตอนต่อไปคือการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง: Maximize: = XY
จำกัด : x + 2y = 500
เรา ตอนนี้แก้สมการที่สองสำหรับ x และทดแทนผลลงในสมการแรกที่จะ
แสดงความเป็นหน้าที่ของตัวแปรหนึ่ง:
x + 2y = 500 = ⇒ x = 500-2y = ⇒ = XY = (500-2y) y = 500Y-2Y2
เพื่อหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ = 500Y - 2Y2 เราจะใช้วิธีการปิดให้บริการในช่วงเวลา ก่อนอื่นเราทราบว่า 0 ≤≤ 250 และอนุพันธ์ของ (Y) เป็น
'(Y) = (500Y - 2Y2)' = 500Y '- 2 (y2)' = 500 - 4 ขมากที่จะหาตัวเลขที่สำคัญเรา แก้สม
500-4y = 0 = ⇒ 500 = 4y = ⇒ y = 500 = 125 4
เพื่อหาค่าสูงสุด (y) ที่เราประเมินไว้ที่จุดสิ้นสุดและหมายเลขที่สำคัญ: (0) = 0 (125) = 500 125-2 ·· 1,252 = 31,250, (250) = 0
วิธีช่วงปิดให้ค่าสูงสุด (125) = 31 250 ft2 และ sions ขนาดวัดเป็น y = 125 ฟุต x = 500-2 · 125 = 250 ฟุต

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราต้องใส่เป็นสนามที่มีรั้วสี่เหลี่ยม เรามี 500 ฟุตของวัสดุรั้วและอาคารบนด้านหนึ่งของเขตข้อมูลและเพื่อจะไม่ต้องมีรั้ว กำหนดขนาดของเขตข้อมูลจะโอบล้อมพื้นที่ใหญ่ที่สุด โซลูชั่น :
ก่อนอื่นเราวาดเป็นภาพที่แสดงให้เห็นถึงกรณีทั่วไป :
ขั้นตอนต่อไปคือการสร้างตามแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ : เพิ่ม :
: XY = จำกัด500
x = 2y ตอนนี้เราแก้สมการที่สองของ x และทดแทนผลในสมการแรก

แสดงเป็นฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่ง :
x 500 = x = 2y = ⇒ 500 − 2y = ⇒ = xy = ( 500 Y = −− 2y ) 500y 2y2
หา แน่นอนมูลค่าสูงสุด = 500y − 2y2 เราใช้วิธีช่วงปิด แรกที่เราทราบว่า 0 ≤ Y ≤ 250 อนุพันธ์ของ ( Y )
เป็น MBC ( y ) = ( − 500y 2y2 ) = − 2 500y ’’’ ( 2 ) = 500 − 4y เพื่อหาตัวเลขที่สำคัญเราแก้สมการ
500 − 4y = 0 = ⇒ 500 = = ⇒ 4y Y = 500 = 125 4
หาค่าสูงสุดของ ( Y ) เราประเมินได้คะแนน และหมายเลขที่สำคัญ : ( 0 ) = 0 ( 125 ) = 500 ด้วย 125 − 2 = 31250 Suite 1 , 252 , ( 250 ) = 0 =
วิธีช่วงปิดให้คุณค่าสูงสุดเป็น ( 125 ) = 31 , 250 ft2 และไดเม็น - sions คือ Y = 125 ฟุตX = 500 − 2 ด้วย 125 = 250 ฟุต