In mathematical logic, the Peano ax

In mathematical logic, the Peano axioms, also known as the Dedekind–Peano axioms or the Peano postulates, are a set of axioms for the natural numbers presented by the 19th century Italian mathematician Giuseppe Peano. These axioms have been used nearly unchanged in a number of metamathematical investigations, including research into fundamental questions of consistency and completeness of number theory.
The need for formalism in arithmetic was not well appreciated until the work of Hermann Grassmann, who showed in the 1860s that many facts in arithmetic could be derived from more basic facts about the successor operation and induction.[1] In 1881, Charles Sanders Peirce provided an axiomatization of natural-number arithmetic.[2] In 1888, Richard Dedekind proposed a collection of axioms about the numbers, and in 1889 Peano published a more precisely formulated version of them as a collection of axioms in his book, The principles of arithmetic presented by a new method (Latin: Arithmetices principia, nova methodo exposita).
The Peano axioms contain three types of statements. The first axiom asserts the existence of at least one member of the set "number". The next four are general statements about equality; in modern treatments these are often considered axioms of the "underlying logic".[3] The next three axioms are first-order statements about natural numbers expressing the fundamental properties of the successor operation. The ninth, final axiom is a second order statement of the principle of mathematical induction over the natural numbers. A weaker first-order system called Peano arithmetic is obtained by explicitly adding the addition and multiplication operation symbols and replacing the second-order induction axiom with a first-order axiom schema.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ในตรรกะทางคณิตศาสตร์อาโน่สัจพจน์ยังเป็นที่รู้จักสัจพจน์ Dedekind-อาโน่อาโน่หรือสมมุติฐานที่เป็นชุดของสัจพจน์สำหรับจำนวนธรรมชาติที่นำเสนอโดยศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์อิตาลีจูเซปเป้อาโน่ หลักการเหล่านี้ได้ถูกนำมาใช้เก​​ือบไม่เปลี่ยนแปลงในจำนวนของการสืบสวน metamathematical,รวมทั้งการวิจัยเป็นคำถามพื้นฐานของความสอดคล้องและครบถ้วนของทฤษฎีจำนวน.
จำเป็นที่จะต้องเป็นพิธีในการคำนวณที่ไม่ได้รับการชื่นชมเป็นอย่างดีจนการทำงานของแฮร์มันน์ Grassmann ซึ่งแสดงให้เห็นในยุค 1860 ว่าข้อเท็จจริงจำนวนมากในการคำนวณอาจจะมาจากข้อเท็จจริงพื้นฐานเพิ่มเติมเกี่ยวกับ การดำเนินงานสืบและเหนี่ยวนำ. [1] ใน 1881,ชาร์ลส์แซนเดอร์เพียรซให้ axiomatization ของเลขคณิตธรรมชาติจำนวน. [2] ในปี 1888 ริชาร์ด Dedekind เสนอของสะสมของหลักการเกี่ยวกับตัวเลขและใน 1889 อาโน่ตีพิมพ์รุ่นสูตรอย่างแม่นยำมากขึ้นของพวกเขาเป็นชุดของหลักการในหนังสือของเขา, หลักการของคณิตศาสตร์ที่นำเสนอโดยวิธีการใหม่ (ละติน: arithmetices Principia, โนวาส methodo exposita).
อาโน่สัจพจน์มีสามประเภทของงบ ความจริงครั้งแรกที่ยืนยันการมีชีวิตอยู่อย่างน้อยหนึ่งในสมาชิกของชุด "จำนวน" ต่อไปสี่งบทั่วไปเกี่ยวกับความเท่าเทียมกัน; ในการรักษาที่ทันสมัย​​เหล่านี้มักจะคิดว่าหลักการของ "ตรรกะพื้นฐาน"[3] ต่อไปสามสัจพจน์เป็นงบลำดับแรกเกี่ยวกับตัวเลขธรรมชาติที่แสดงคุณสมบัติพื้นฐานของการดำเนินการสืบ เก้าความจริงสุดท้ายคือคำสั่งที่สองของหลักการของอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์กว่าจำนวนธรรมชาติระบบลำดับแรกปรับตัวลดลงเรียกว่าอาโน่คณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจนโดยการเพิ่มนอกเหนือจากการดำเนินงานและสัญลักษณ์การคูณและการเปลี่ยนความจริงเหนี่ยวนำลำดับที่สองด้วยจริงเค้าร่างลำดับแรก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ในตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ สัจพจน์ Peano เรียกว่า สัจพจน์ Dedekind–Peano หรือ Peano การ postulates เป็นชุดของสัจพจน์สำหรับหมายเลขธรรมชาติที่นำเสนอ โดยนักคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 19 อิตาลี Giuseppe Peano สัจพจน์เหล่านี้ได้ใช้เกือบเท่าเดิมจำนวน metamathematical สืบสวน รวมทั้งงานวิจัยเป็นคำถามพื้นฐานของความสอดคล้องและความสมบูรณ์ของหมายเลขทฤษฎี
formalism ในคณิตศาสตร์จำเป็นต้องมีไม่ดีนิยมจนการทำงานของ Grassmann มันน์ ที่พบใน 1860s ให้ข้อเท็จจริงในทางคณิตศาสตร์ อาจได้มาจากพื้นฐานข้อเท็จจริงเกี่ยวกับการดำเนินการสืบและเหนี่ยวนำ[1] ใน 1881 ชาร์ลส์แซนเดอร์ส์ Peirce ให้การ axiomatization ของเลขคณิตของจำนวนธรรมชาติ[2] ใน 1888, Richard Dedekind เสนอกลุ่มของสัจพจน์เกี่ยวกับหมายเลข และในจาก 1889 Peano รุ่น formulated ได้แม่นยำมากของพวกเขาเป็นกลุ่มของสัจพจน์ในหนังสือของเขา หลักการทางคณิตศาสตร์ที่นำเสนอ โดยวิธีใหม่ที่เผยแพร่ (ละติน: Arithmetices principia, exposita methodo โนวา) .
สัจพจน์ Peano ประกอบด้วยสามชนิดของคำ สัจพจน์แรกยืนยันการมีอยู่ของสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งของชุด "เลข" 4 ถัดไปเป็นคำสั่งทั่วไปเกี่ยวกับความเสมอภาค ในการรักษาที่ทันสมัย เหล่านี้มักจะถูกพิจารณาสัจพจน์ของ "ตรรกะแบบ"[3] สัจพจน์ที่สามถัดไปเป็นคำสั่งแรกสั่งเกี่ยวกับธรรมชาติเลขที่แสดงคุณสมบัติพื้นฐานของการสืบ สัจพจน์เก้า สุดท้ายคือ คำสั่งที่สองหลักของคณิตศาสตร์จำนวนธรรมชาติ ระบบใบสั่งแรกแกร่งเรียกว่าเลขคณิต Peano ได้รับ โดยการเพิ่มสัญลักษณ์การดำเนินการบวกและการคูณ และแทนสัจพจน์เหนี่ยวนำสองสั่งกับเค้าร่างสัจพจน์แรกสั่งการอย่างชัดเจน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ในเชิงตรรกะทางคณิตศาสตร์ไม่ต้องพิสูจน์) peano ที่ยังรู้จักกันในชื่อไม่ต้องพิสูจน์) dedekind-peano หรือ postulates peano ได้รับการตั้งค่าที่ไม่ต้องพิสูจน์)สำหรับตัวเลขธรรมชาติที่นำเสนอโดยเมอร์ริลล์เกิด peano นักคณิตศาสตร์แบบอิตาเลียนแห่งศตวรรษที่ 19 ไม่ต้องพิสูจน์)เหล่านี้ได้รับการใช้งานโดยไม่ต้องเปลี่ยนแปลงเกือบในจำนวนที่ของการสืบสวน metamathematicalรวมถึงการวิจัยเข้าสู่คำถามพื้นฐานของความสอดคล้องและความสมบูรณ์ของทฤษฎีจำนวน.
จำเป็นต้องให้ประพฤติในเลขในไม่ได้รวมถึงค่าเงินบาทแข็งค่าขึ้นจนกว่างานของ Hermann grassmann ที่แสดงให้เห็นในทศวรรษที่ 1860 ที่ว่าข้อเท็จจริงจำนวนมากในวิชาเลขไม่สามารถมีที่มาจากข้อเท็จจริงเพิ่มเติมพื้นฐานเกี่ยวกับเตาแม่เหล็กไฟฟ้าและการใช้งานที่ผู้สืบราชสันตติวงศ์.[ 1 ]ใน 1881คำที่จัดให้บริการ axiomatization ของธรรมชาติ - หมายเลขธรรมดา.[ 2 ]ใน 1888 ,ริชาร์ด dedekind ที่เสนอคอลเลคชั่นของไม่ต้องพิสูจน์)เกี่ยวกับหมายเลขและในปี 1889 peano เผยแพร่ได้อย่างแม่นยำมากขึ้นกำหนดเวอร์ชันของเขาเป็นคอลเลคชั่นของเขาไม่ต้องพิสูจน์)ในสมุด,หลักการคำนวณเลขจำนวนเต็มนำเสนอโดยวิธีการใหม่(ละติน: arithmetices แหล่ง, Nova methodo exposita )..
ไม่ต้องพิสูจน์) peano ที่ประกอบด้วยสาม ประเภท ของข้อความ ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ครั้งแรกที่รับรองการดำรงอยู่ของสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งรายในการตั้งค่า"จำนวน" ถัดไปสี่มีงบทั่วไปที่เกี่ยวกับความเท่าเทียมกันในการบำบัดที่ทันสมัยเหล่านี้ได้รับการพิจารณาให้เป็นไม่ต้องพิสูจน์)ของ"ตรรกะพื้นฐานที่มักจะ"[ 3 ]สามไม่ต้องพิสูจน์)ถัดไปที่มีงบครั้งแรกเกี่ยวกับหมายเลขการสั่งซื้อเป็นธรรมชาติแสดงคุณสมบัติพื้นฐานของการทำงานผู้สืบราชสันตติวงศ์ ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์สุดท้ายที่เก้าเป็นคำแถลงการสั่งซื้อที่สองของหลักการของเตาแม่เหล็กไฟฟ้าทางคณิตศาสตร์มากกว่าตัวเลขที่เป็นธรรมชาติระบบอ่อนตัวลงครั้งแรก - การสั่งซื้อที่เรียกว่า peano ธรรมดาอย่างชัดเจนโดยได้รับการเพิ่มสัญลักษณ์การทำงานเพิ่มขึ้นและการเพิ่มและการใส่ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์เตาแม่เหล็กไฟฟ้าที่สองที่สั่งซื้อที่มีค่าไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ครั้งแรกที่สั่งซื้อ