Jeffreys interval. Beta distributio

Jeffreys interval. Beta distributions are the
standard conjugate priors for binomial distributions
and it is quite common to use beta priors for inference
on p (see Berger, 1985).
Suppose X ∼ Binn p and suppose p has a prior
distribution Beta a1 a2; then the posterior distribution
of p is BetaX + a1 n − X + a2. Thus a
1001 − α% equal-tailedBayesian interval is given
by
Bα/2 X + a1 n − X + a2
B1 − α/2 X + a1 n − X + a2
where Bα m1 m2 denotes the α quantile of a
Beta m1 m2 distribution.
The well-known Jeffreys prior and the uniform
prior are each a beta distribution. The noninformative
Jeffreys prior is of particular interest to us.
Historically, Bayes procedures under noninformative
priors have a track record of good frequentist
properties; see Wasserman (1991). In this problem
the Jeffreys prior is Beta1/2 1/2 which has the
density function
fp = π−1p−1/21 − p
−1/2
The 1001 − α% equal-tailed Jeffreys prior interval
is defined as
(6) CIJ = LJx UJx
where LJ0 = 0 UJn = 1 and otherwise
(7) LJx = Bα/2 X + 1/2 n − X + 1/2
(8) UJx = B1 − α/2 X + 1/2 n − X + 1/2
The interval is formed by taking the central 1 − α
posterior probability interval. This leaves α/2 posterior
probability in each omitted tail. The exception
is for x = 0n where the lower (upper) limits are
modified to avoid the undesirable result that the
coverage probability Cp n → 0 as p → 0 or 1.
The actual endpoints of the interval need to be
numerically computed. This is very easy to do using
softwares such as Minitab, S-PLUS or Mathematica.
In Table 5 we have provided the limits for the case
of the Jeffreys prior for 7 ≤ n ≤ 30.
The endpoints of the Jeffreys prior interval are
the α/2 and 1−α/2 quantiles of the Betax+1/2 n−
x + 1/2 distribution. The psychological resistance
among some to using the interval is because of the
inability to compute the endpoints at ease without
software.
We provide two avenues to resolving this problem.
One is Table 5 at the end of the paper. The second
is a computable approximation to the limits of the
Jeffreys prior interval, one that is computable with
just a normal table. This approximation is obtained
after some algebra from the general approximation
to a Beta quantile given in page 945 in Abramowitz
and Stegun (1970).
The lower limit of the 1001 − α% Jeffreys prior
interval is approximately
x + 1/2
n + 1 + n − x + 1/2e2ω − 1 (9) 
where
ω = κ
4pˆq/n ˆ + κ2 − 3/6n2
4pˆqˆ
+ 1/2 − ˆp ˆpqˆκ2 + 2 − 1/n
6n ˆpqˆ2
The upper limit may be approximated by the same
expression with κ replaced by −κ in ω. The simple
approximation given above is remarkably accurate.
Berry (1996, page 222) suggests using a simpler normal
approximation, but this will not be sufficiently
accurate unless npˆ1 − ˆp is rather large.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ช่วงฟรีย์ การกระจาย Beta
เป็นไพรเออร์ผันมาตรฐานการแจกแจงทวินามและมันก็เป็นเรื่องธรรมดาที่จะใช้ไพรเออร์รุ่นเบต้าสำหรับข้อสรุปในพี(ดูเบอร์เกอร์ 1985). สมมติว่า X ~ ถัง? n? พี? และสมมติว่ามีพีก่อนกระจายเบต้า? a1? a2 ?; แล้วกระจายหลังของพีเป็น Beta? X + a1? n - X + a2 ?. ดังนั้น100 1? - แอลฟา% เท่ากับช่วง tailedBayesian จะได้รับโดยB α / 2? X + a1? n - X + a2 ?? บี 1 - α / 2 หรือไม่? X + a1? n - X + a2 ??? ที่ไหน B แอลฟา? m1? m2? หมายถึง quantile αของเบต้า? m1? m2? การกระจาย. ฟรีย์ที่รู้จักกันดีก่อนและชุดก่อนที่แต่ละกระจายเบต้า noninformative. ฟรีย์ก่อนเป็นที่น่าสนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับเราในอดีตวิธีเบส์ภายใต้noninformative ไพรเออร์มีประวัติของ frequentist ดีคุณสมบัติ; เห็น Wasserman (1991) ในปัญหานี้ฟรีย์ก่อนเป็น Beta? 1/2? 1/2? ซึ่งมีฟังก์ชั่นความหนาแน่นf? หน? = π-1p-1/2 1? - พี-1/2 100 1? - แอลฟา% เท่ากับนกฟรีย์ช่วงเวลาก่อนที่จะถูกกำหนดเป็น? (6) CIJ = LJ x ?? UJ? x ??? ที่ LJ? 0? = 0? UJ? n? = 1 และอื่น ๆ(7) LJ? x? = B? α / 2 หรือไม่? X + 1/2? n - X + 1/2 ??? (8) UJ x? B = 1? - α / 2 หรือไม่? X + 1/2? n? - X + 1/2 ช่วงจะเกิดขึ้นโดยการกลาง 1 - αช่วงเวลาน่าจะเป็นหลัง ใบนี้α ​​/ 2 หลังน่าจะเป็นในแต่ละหางละเว้น ยกเว้นสำหรับ x = 0? n? ที่ต่ำกว่า (บน) ข้อ จำกัด ที่มีการปรับเปลี่ยนเพื่อหลีกเลี่ยงผลที่ไม่พึงประสงค์ว่าน่าจะเป็นความคุ้มครองC? หน? n? → 0 เป็นพี→ 0 หรือ 1 ปลายทางที่แท้จริงของช่วงเวลาที่จะต้องมีการคำนวณตัวเลข นี้เป็นเรื่องง่ายมากที่จะทำโดยใช้โปรแกรมเช่น Minitab, S-PLUS หรือ Mathematica. ในตารางที่ 5 เราได้ให้ข้อ จำกัด สำหรับกรณีของฟรีย์ก่อน7 ≤ n ≤ 30 ปลายทางของฟรีย์ช่วงก่อนมีα / 2 และ 1-α / 2 quantiles ของเบต้า? x + 1/2 หรือไม่? n- x + 1/2? การกระจาย ความต้านทานทางด้านจิตใจในบางส่วนที่จะใช้ช่วงเวลาเป็นเพราะไม่สามารถที่จะคำนวณปลายทางที่ง่ายโดยไม่ต้องใช้ซอฟแวร์. เรามีสองลู่ทางที่จะแก้ไขปัญหานี้. หนึ่งคือตารางที่ 5 ในตอนท้ายของกระดาษ อย่างที่สองคือประมาณคำนวณข้อ จำกัด ของฟรีย์ช่วงเวลาก่อนที่หนึ่งที่มีการคำนวณที่มีเพียงโต๊ะปกติ ประมาณนี้จะได้รับหลังจากพีชคณิตจากการประมาณทั่วไปที่จะได้รับเบต้าquantile ในหน้า 945 ใน Abramowitz และ Stegun (1970). ขีด จำกัด ล่างของ 100 1? - แอลฟา% ฟรีย์ก่อนที่ช่วงเวลาประมาณx + 1/2 n + 1 + n - x + 1/2 ?? e2ω - 1? (9)? ที่ω = κ 4pq / n + κ2? - 3 / 6n2? 4pq + 1/2? - พี ?? PQ? κ2 + 2? - 1 / n? 6n? PQ 2 ขีด จำกัด บนอาจจะห้วงเดียวกันการแสดงออกกับκแทนที่ด้วย-κในω ง่ายประมาณดังกล่าวข้างต้นมีความถูกต้องน่าทึ่ง. แบล็กเบอร์ (1996, หน้า 222) แสดงให้เห็นการใช้ง่ายปกติประมาณแต่นี้จะไม่เพียงพอที่ถูกต้องเว้นแต่เอ็นพี 1? - พี? ค่อนข้างใหญ่

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ช่วง Jeffreys . การแจกแจงเบต้าเป็นมาตรฐานสำหรับการแจกแจงทวินามลำดับเบส

และมันค่อนข้างทั่วไปที่จะใช้เบต้าประวัติสำหรับการอนุมาน
เมื่อ P ( ดู Berger , 1985 ) .
สมมติ x ∼บิน  N  P  และสมมติ P ได้ก่อน
 A1 A2   การแจกแจงเบต้า แล้วด้านหลังกระจาย
ของ P คือ เบต้า  x A1  n − x A2  . ดังนั้น
100  1 −α  % เท่ากับ tailedbayesian ช่วงเวลาให้

โดย B  α / 2  x A1  n − x A2  
b  1 −α / 2  x A1  n − x A2   
ที่ B  α  M1 M2   แสดงทศนิยมควอนไทล์αของเบต้า  M1 M2

  แจกจ่าย ที่รู้จักกันดี เจฟฟรี่ ก่อนและเครื่องแบบ
ก่อนที่แต่ละเบต้ากระจาย การ noninformative
Jeffreys ก่อนเป็นประโยชน์เฉพาะกับเรา
ในอดีต กระบวนการ Bayes ภายใต้ noninformative
เริ่มมีการบันทึกติดตามดี frequentist
คุณสมบัติ ดูวา ซอร์แมน ( 1991 ) ในปัญหานี้
 Jeffreys ก่อนเป็นเบต้า 1 / 2  1 / 2  ซึ่งมีความหนาแน่นของฟังก์ชัน f

 P  π− 1P = − 1 / 2  1 −− 1 / 2 P 

100  1 −α  % เท่ากัน หาง เจฟฟรี่ ก่อนที่ช่วงเวลา
หมายถึง
( 6 ) cij =  แอลเจ  x   UJ  x   
ที่แอลเจ  0  = 0  UJ  N  = 1 และมิฉะนั้น
( 7 ) แอล  x  = b  α / 2  x 1 / 2  n − 1 / 2  
x ( 8 ) UJ  x  = b  1 −α / 2  x 1 / 2  n − 1 / 2 
xช่วงก่อตั้งขึ้นโดยการรวม 1 −α
ด้านหลังน่าจะเป็นช่วง ใบนี้α / 2 ด้านหลัง
ความน่าจะเป็นในแต่ละตัดหาง ข้อยกเว้น
คือ x = 0  N  ที่ล่าง ( Upper ) จํากัด
แก้ไขเพื่อหลีกเลี่ยงผลที่ไม่พึงประสงค์
ครอบคลุมความน่าจะเป็น C  P  N  → keyboard - key - name 0 เป็น P → keyboard - key - name 0 หรือ 1 .
ข้อมูลที่แท้จริงของช่วงเวลาต้อง
ตัวเลขคำนวณ .นี้เป็นเรื่องง่ายที่จะทำให้การใช้ซอฟต์แวร์เช่น Photoshop s-plus
, หรือ Mathematica .
ในตารางที่ 5 เราได้ให้ข้อ จำกัด สำหรับกรณี
ของเจฟฟรี่ ก่อน 7 ≤ N ≤ 30 .
เหล่านี้ช่วงเวลาก่อนที่เจฟฟรี่อยู่
α / 2 และ 1 / 2 −α quantiles ของเบต้า  x 1 / 2  n −
x การ  1 / 2 การต่อต้านทางจิตวิทยา
ในบางช่วง เพราะใช้ของ
ไม่สามารถหาข้อมูลที่ง่ายโดยไม่ต้อง

เราให้ซอฟต์แวร์สองลู่ทางที่จะแก้ไขปัญหานี้ หนึ่งคือโต๊ะ
5 ที่ส่วนท้ายของกระดาษ 2
คือการประมาณคำนวณจน
เจฟฟรี่ ช่วงก่อน ที่คำนวณด้วย
เพียงปกติตาราง ประมาณนี้ได้

หลังจากพีชคณิตจากการประมาณค่าทั่วไป