The proof starts from the Peano Pos

The proof starts from the Peano Postulates, which define the natural
numbers N. N is the smallest set satisfying these postulates:

P1. 1 is in N.
P2. If x is in N, then its "successor" x' is in N.
P3. There is no x such that x' = 1.
P4. If x isn't 1, then there is a y in N such that y' = x.
P5. If S is a subset of N, 1 is in S, and the implication
(x in S => x' in S) holds, then S = N.

Then you have to define addition recursively:
Def: Let a and b be in N. If b = 1, then define a + b = a'
(using P1 and P2). If b isn't 1, then let c' = b, with c in N
(using P4), and define a + b = (a + c)'.

Then you have to define 2:
Def: 2 = 1'

2 is in N by P1, P2, and the definition of 2.

Theorem: 1 + 1 = 2

Proof: Use the first part of the definition of + with a = b = 1.
Then 1 + 1 = 1' = 2 Q.E.D.

Note: There is an alternate formulation of the Peano Postulates which
replaces 1 with 0 in P1, P3, P4, and P5. Then you have to change the
definition of addition to this:
Def: Let a and b be in N. If b = 0, then define a + b = a.
If b isn't 0, then let c' = b, with c in N, and define
a + b = (a + c)'.

You also have to define 1 = 0', and 2 = 1'. Then the proof of the
Theorem above is a little different:

Proof: Use the second part of the definition of + first:
1 + 1 = (1 + 0)'
Now use the first part of the definition of + on the sum in
parentheses: 1 + 1 = (1)' = 1' = 2 Q.E.D.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การพิสูจน์เริ่มจาก Postulates Peano ซึ่งเป็นตัวกำหนดธรรมชาติ
หมายเลข N. N เป็นชุดที่เล็กที่สุดภิรมย์ postulates เหล่านี้:

P1 1 เป็น N.
p 2 ถ้า x เป็น N แล้วของ "สืบ" x' ใน N.
P3 เป็น x ไม่เช่นนั้น x' = 1.
P4 ถ้า x ไม่ได้ 1 แล้วมีเป็นแบบ y N เช่นที่ y' =ไฟร์
P5 ถ้า S เป็นเซตย่อยของ N, 1 อยู่ใน S และเนื่องจาก
(x ใน S => x' ใน S) ถือ แล้ว S = N.

จาก นั้นคุณต้องกำหนดนี้ recursively:
Def: ให้เป็น และ b อยู่ใน N. ถ้า b = 1 แล้วกำหนดเป็น b =เป็น '
(ใช้ P1 และ p 2) ถ้าบีไม่ 1 จากนั้นให้ซี ' = b, c ใน N ด้วย
(ใช้ P4), และกำหนด b เป็น = (แบบ c)'

แล้วคุณต้องกำหนด 2:
Def: 2 = 1'

2 เป็น N โดย P1, p 2 และข้อกำหนดของ 2

ทฤษฎีบท: 1 1 = 2

พิสูจน์: ใช้ส่วนแรกของคำนิยามกับการ = b = 1
1 แล้ว 1 = 1' = 2 Q.E.D.

Note: มี Peano กำหนดเป็นอื่น Postulates ที่
แทน 1 กับ 0 ใน P1, P3, P4, P5 แล้วคุณต้องเปลี่ยนการ
คำจำกัดความนี้นี้:
Def: ให้เป็น และ b อยู่ใน N. ถ้า b = 0 แล้วกำหนด b เป็น = a.
ถ้า b ไม่ใช่ 0 แล้วให้ c' = b กับ c ใน N และกำหนด
b เป็น = (แบบ c)'.

คุณยังต้องกำหนด 1 = 0', และ 2 = 1' แล้วหลักฐานของการ
ทฤษฎีบทข้างต้นจะต่าง:

พิสูจน์: ใช้ส่วนสองของคำนิยามแรก:
1 1 = (1 0)'
ตอนนี้ ใช้ส่วนแรกของคำนิยามของผลรวมใน
วงเล็บ: 1 1 = (1)' = 1' = 2 Q.E.D.

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

หลักฐานเริ่มจากเปอาโนสมมุติฐานซึ่งกำหนดธรรมชาติ
. n คือหมายเลขที่กำหนดเพียงสมมุติฐานเหล่านี้ :

P1 . 1 ใน N .
P2 . ถ้า x เป็น N แล้ว " ทายาท " x ' ใน N .
P3 . ไม่มี X เช่น x ' = 1
P4 . ถ้า x ไม่ 1 ก็ Y n เช่น Y ' = x
P5 . ถ้า S เป็นเซตย่อยของ 1 ใน s และนัย
( x S = > x ' s ) ถือแล้ว S = =

)จากนั้นคุณต้องกำหนดนอกจากนี้ recursively :
Sample : ให้ a และ b เป็น และถ้า b = 1 แล้วกำหนด B = '
( ใช้ P1 กับ P2 ) ถ้า B ไม่ 1 ก็ให้ C = B กับ C n
( ใช้ P4 ) และกำหนด B = ( c ) '

แล้วคุณต้องกำหนด Sample : 2 :
2 = 1 '
2 n โดย P1 , P2 และนิยาม 2 . ทฤษฎี

: 1 1 = 2

หลักฐาน : ใช้ส่วนแรกของคำนิยามของด้วย =
b = 1แล้ว 1 1 = 1 = 2 QED

หมายเหตุ : มีการกำหนดทางเลือกของเปอาโนสมมุติฐานซึ่ง
แทนที่ 1 กับ 0 ใน P1 , P3 P4 , P5 . แล้วคุณต้องเปลี่ยน
นิยามนอกจากนี้ :
Sample : ให้ a และ b เป็น และถ้า b = 0 แล้วกำหนด b = a .
ถ้า B ไม่ 0 ก็ให้ C = B กับ C N และกําหนด
B = ( c ) ’

คุณยังต้องกำหนด 1 = 0 , 2 = 1แล้วหลักฐาน
ทฤษฎีบทข้างต้นแตกต่างกันเล็กน้อย :

หลักฐาน : ใช้ส่วนที่สองของนิยามแรก :
1 1 = 1 0 ) '
ตอนนี้ใช้ส่วนแรกของคำนิยามของผลรวมใน
) : 1 1 = ( ' 1 ) = 1 = ซึ่งต้องพิสูจน์ .
2