Concluding remarksWe have proposed

Concluding remarks
We have proposed a new model of finite mixture of bivariate Poisson regressions. The idea is that the data consist of subpopulations of different regression structures. A potential use for such a model is for examining the clustering of observations, taking into consideration the effect of certain covariates while also taking into account the dependence between the response variables. The model corrects for the zero inflation and overdispersion present in the real automobile insurance data set used in the application. The model can also be used to model negative correlation.


The AIC reported here indicates that the 2-finite mixture of bivariate Poisson regression with covariates in the mixing proportion is the best model for describing the data set. This model has a number of interesting features:
Firstly, being a finite mixture it has a nice cluster interpretation. Secondly it is semi-parametric, in the sense that we avoid a parametric assumption on the mixing distribution. Thirdly, it is flexible enough allowing for overdispersion, zero inflation but also for negative correlation. Finally, our EM algorithm makes its fit straightforward while for other models their fitting procedure is not easy for large samples and many covariates as in our case. Such an example is the bivariate Poisson lognormal model which needs the evaluation of a bivariate integral for each observation, and of course each iteration during maximization which leads to a lot of computational problems. Concluding the proposed model provides a very interesting structure while being computationally feasible.
The problem of overdispersion arises because of the presence of unobserved heterogeneity in many real data sets. In insurance data sets, an insurance company cannot keep track of the many differences between policyholders. However, the model proposed in this paper accounts for unobserved heterogeneity by choosing a finite number of subpopulations. We assume the existence of two types of policyholder described separately according to each component in the mixture.
The phenomenon of excess of zeros may also be seen as a consequence of this unobserved heterogeneity. The model proposed here, as a finite mixture of bivariate Poisson regression model, embraces the zero-inflated bivariate Poisson regression model as a special case. The main difference with zero-inflated models is that the two-component mixture model reported here allows mixing with respect to both zeros and positives. This interpretation is more flexible and holds better in our application. The group separation is characterized by low mean (policyholders considered as a ‘‘good’’ drivers) and high mean (policyholders considered as a ‘‘bad’’ drivers).


Moreover, as it seems that the data set may have been generated from two distinct subpopulations, the model allows for a net interpretation of each cluster separately. Note that different regression coefficients can be used to account for the ‘‘observed’’ heterogeneity within each population.


Finally, we would like to mention various ways in which this paper might be extended. Although in the present paper we limit our analysis to the bivariate case, it could be extended to include larger dimensions. Following the general model presented by Karlis and Meligkotsidou (2007), covariates might be added and this finite mixture of multivariate Poisson regressions could be used to cluster high-dimensional data. A particularly interesting case occurs if we consider there to be no dependence within a cluster, whereby within-cluster independent Poisson regressions are considered.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หมายเหตุปิดท้ายเราได้เสนอแบบจำลองใหม่ของส่วนผสมที่มีจำกัดของ Poisson bivariate แสดง ความคิดว่า ข้อมูลประกอบด้วย subpopulations ถดถอยต่าง ๆ โครงสร้าง สำหรับรูปแบบดังกล่าวอาจมีการใช้สำหรับการตรวจสอบคลัสเตอร์ของการสังเกต การคำนึงถึงผลกระทบของ covariates บางในขณะที่ยัง คำนึงถึงการพึ่งพาระหว่างตัวแปรตอบสนองได้ แบบแก้ไขสำหรับศูนย์อัตราเงินเฟ้อและ overdispersion ปัจจุบันในรถยนต์จริงประกันชุดข้อมูลใช้ในแอพลิเคชัน ยังสามารถใช้แบบจำลองการโมเดลความสัมพันธ์เชิงลบAIC รายงานที่นี่บ่งชี้ว่า ส่วนผสม 2 จำกัดของ Poisson ถดถอย bivariate กับ covariates ในสัดส่วนผสมแบบที่ดีที่สุดสำหรับการอธิบายชุดข้อมูล รุ่นนี้มีจำนวนของคุณสมบัติที่น่าสนใจ:ประการแรก การจำกัดส่วนผสมมีการตีความของคลัสเตอร์ที่ดี ประการที่สอง มันเป็นกึ่งคณิตศาสตร์ ในแง่ที่ว่า เราหลีกเลี่ยงสมมติฐานแบบพาราเมตริกในการกระจายผสม ประการที่สาม มันเป็นการช่วยให้ยืดหยุ่นพอ สำหรับ overdispersion อัตราเงินเฟ้อเป็นศูนย์ แต่ สำหรับความสัมพันธ์เชิงลบ ในที่สุด อัลกอริทึมของเรา EM ทำให้ตามความตรงไปตรงมาในขณะที่รุ่นอื่นๆ ของพวกเขากระบวนการกระชับไม่ง่ายสำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่และ covariates ต่าง ๆ เช่นในกรณีของเรา ตัวอย่างเป็นรุ่นแบบ lognormal bivariate Poisson ซึ่งต้องการการประเมินผลสำคัญ bivariate สังเกตแต่ละครั้ง และแน่นอนแผนระหว่าง maximization ซึ่งนำไปสู่ปัญหาการคำนวณมาก สรุปรูปแบบนำเสนอให้เป็นโครงสร้างที่น่าสนใจขณะกระทำ computationallyปัญหาของ overdispersion ที่เกิดขึ้นเนื่องจากการปรากฏตัวของ heterogeneity unobserved ในชุดข้อมูลที่จริงมากมาย ในชุดข้อมูลประกันภัย บริษัทประกันไม่ติดตามของความแตกต่างระหว่างผู้ถือกรมธรรม์ อย่างไรก็ตาม แบบเสนอในบัญชีนี้กระดาษสำหรับ unobserved heterogeneity โดยเลือกจำนวน subpopulations จำกัด เราถือว่าการดำรงอยู่ของผู้ถือกรมธรรม์ระบุไว้แยกต่างหากตามแต่ละส่วนในส่วนผสมสองชนิดก็พบปรากฏการณ์ของส่วนเกินของเลขศูนย์เป็นผลมาจาก heterogeneity นี้ unobserved แบบเสนอที่นี่ เป็นส่วนผสมมีจำกัดของแบบจำลองถดถอย Poisson bivariate โอบกอดลมศูนย์ bivariate Poisson ถดถอยแบบเป็นกรณีพิเศษ หลักที่แตกต่างรุ่นลมศูนย์คือ ว่า แบบสองส่วนผสมรายงานที่นี่ช่วยให้ผสมเกี่ยวกับศูนย์และบวก ตีความนี้มีความยืดหยุ่นมากขึ้น และถือดีในแอพลิเคชันของเรา การแยกกลุ่มเป็นลักษณะ โดยเฉลี่ยต่ำ (ถือว่าเป็นที่ไดรเวอร์ ''ดี '' ผู้ถือกรมธรรม์) และหมายถึงอะไรสูง (กรมธรรม์ถือว่าเป็นที่ไดรเวอร์ ''เลว '')นอกจากนี้ เหมือนว่า ชุดข้อมูลอาจมีการสร้างจาก subpopulations สองชั้น แบบได้สำหรับการตีความสุทธิของแต่ละคลัสเตอร์แยกต่างหาก หมายเหตุว่า สามารถใช้ค่าสัมประสิทธิ์ถดถอยที่แตกต่างกันสำหรับ heterogeneity ''สังเกต '' ภายในประชากรแต่ละในที่สุด เราอยากจะพูดถึงวิธีต่าง ๆ นี้อาจจะขยาย แม้ว่าในกระดาษปัจจุบัน เราจำกัดวิเคราะห์กับกรณี bivariate มันสามารถถูกขยายเพื่อรวมขนาดใหญ่ ต่อแบบทั่วไปโดย Karlis และ Meligkotsidou (2007), covariates อาจถูกเพิ่ม และสามารถใช้ส่วนผสมนี้มีจำกัดของตัวแปรพหุ Poisson แสดงคลัสเตอร์ข้อมูลมิติสูง กรณีน่าสนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งเกิดขึ้นถ้าเราพิจารณาจะต้องไม่พึ่งพาอาศัยกันภายในกลุ่ม โดยถือว่าแสดง Poisson อิสระภายในคลัสเตอร์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ปัจฉิม หมายเหตุเรานำเสนอรูปแบบใหม่ของการผสมโดยใช้วิธีปัวส์ซอง สังกะสี แนวคิดก็คือว่าข้อมูลประกอบด้วยสองโครงสร้างของขั้นตอนที่แตกต่างกัน การใช้งานที่มีศักยภาพเช่นรูปแบบสำหรับการตรวจสอบข้อมูลจากการสังเกต การพิจารณาผลของความรู้บางอย่างในขณะที่ยังคำนึงถึงการพึ่งพาระหว่างการตอบสนองตัวแปร รูปแบบการแก้ไขสำหรับศูนย์อัตราเงินเฟ้อและ overdispersion ในปัจจุบันข้อมูลประกันภัยรถยนต์จริงชุดที่ใช้ในการสมัคร รุ่นนี้ยังสามารถใช้กับรูปแบบความสัมพันธ์เชิงลบตามรายงานนี้ระบุว่า 2-finite ผสมโดยใช้การถดถอยปัวชงกับความรู้ในสัดส่วนผสมเป็นรุ่นที่ดีที่สุดสำหรับการอธิบายชุดข้อมูล รุ่นนี้มีหมายเลขของคุณสมบัติที่น่าสนใจ :ประการแรก เป็นส่วนผสมจำกัดมีการตีความกลุ่มดี ประการที่สองมันเป็นกึ่งพารามิเตอร์ในความรู้สึกที่เราหลีกเลี่ยงสมมติฐานพารามิเตอร์ในการกระจายสินค้า ประการที่สาม มีความยืดหยุ่นเพียงพอเพื่อให้สามารถ overdispersion , อัตราเงินเฟ้อ แต่ยังสำหรับความสัมพันธ์เชิงลบ ในที่สุด , เราทำให้มันตรงไปตรงมาขั้นตอนวิธีอีเอ็มพอดีในขณะที่อื่น ๆรูปแบบขั้นตอนที่เหมาะสมของพวกเขาไม่ง่ายสำหรับตัวอย่างขนาดใหญ่และความรู้มากมายในคดีของเรา เช่น ตัวอย่างคือ โดยใช้รูปแบบการประเมินแบบปัวส์ซอง ซึ่งความต้องการของส่วนประกอบแต่ละโดยใช้การสังเกต และแน่นอนว่าแต่ละซ้ำในช่วงสูงสุดซึ่งจะนำไปสู่ปัญหามากมายในการคำนวณ สรุปแบบมีโครงสร้างที่น่าสนใจมากในขณะที่ถูก computationally ไปได้ปัญหาของ overdispersion เกิดขึ้นเพราะการปรากฏตัวของ unobserved ผิดพวกผิดพ้องในชุดข้อมูลที่แท้จริงมาก ในชุดข้อมูลประกันภัย บริษัทประกันไม่สามารถติดตามความแตกต่างมากมายระหว่าง policyholders . อย่างไรก็ตาม รูปแบบการนำเสนอในรายงานนี้สามารถบัญชีสำหรับ unobserved โดยเลือกจำนวนที่จำกัดของแต่ละ . เราถือว่า มีอยู่สองชนิดของสิทธิที่อธิบายแยกตามแต่ละองค์ประกอบในส่วนผสมปรากฏการณ์ของส่วนเกินของศูนย์ นอกจากนี้ยังอาจจะเห็นเป็นผลมาจากความหลากหลาย unobserved นี้ รูปแบบการนำเสนอที่นี่ เป็นการผสมผสานวิธีถดถอยปัวซอ regression model , รวบรวมศูนย์พองโดยใช้แบบจำลองการถดถอยปัวซงเป็นกรณีพิเศษ ความแตกต่างหลักกับศูนย์พองแบบเป็นแบบผสมแบบรายงานที่นี่ช่วยให้ผสมด้วยความเคารพ ทั้งศูนย์และแจ้ง . การตีความนี้มีความยืดหยุ่นมากขึ้นและถือขึ้นในโปรแกรมของเรา กลุ่มแยกเป็นลักษณะหมายถึงต่ำ ( กรมธรรม์ถือว่าเป็น " ความดี " " ไดรเวอร์ ) และสูง ( กรมธรรม์ถือว่าเป็น " " " "bad ไดรเวอร์ )ยิ่งกว่านั้น ดูเหมือนชุดของข้อมูลจะถูกสร้างขึ้นจากสองที่แตกต่างกันสอง แบบให้ตีความสุทธิแยกแต่ละกลุ่ม หมายเหตุที่แตกต่างกันสัมประสิทธิ์ถดถอยสามารถใช้บัญชีสำหรับ " " " "observed ความหลากหลายในแต่ละประชากรสุดท้ายเราอยากจะกล่าวถึงวิธีการต่าง ๆ ซึ่งบทความนี้อาจต้องขยาย แม้ว่าในกระดาษปัจจุบันเราจำกัดการวิเคราะห์ของเราไปเทียบกรณี มันอาจจะขยายเพื่อรวมขนาดใหญ่ ตามทั่วไปรุ่นที่นำเสนอโดย Karlis meligkotsidou ( 2007 ) , และความรู้ อาจจะเพิ่มและส่วนผสมของปัวซงสมการถดถอยพหุตัวแปร วิธีนี้สามารถใช้กลุ่มข้อมูล - สูงขนาด . คดีที่น่าสนใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกิดขึ้น ถ้าเราพิจารณาแล้วจะไม่มีการพึ่งพาภายในกลุ่ม โดยในกลุ่มของปัวซงสมการถดถอยที่เป็นอิสระจะพิจารณา