The modulo 7 detect all error invol

The modulo 7 detect all error involving a single digit except those where
b is substituted for a and |a-b| = 7. Likewise, an error of the sort ...ai ...aj
...->...aj...ai... will go undetected if |ai-aj|= 7 or if 6 divides j - i.
The modulo 9 schemes are slightly better at detecting single-digit error: Only a
substitution of a 9 for a 0 or vice versa goes undetected. On the other hand, the only
error of the form ...ai...aj...->...aj...ai... that are undetected are
those involving the check digit itself. (A quick proof of this is to observe that the
residue of a number modulo 9 is the residue of the sum of its digits modulo 9.)
Nearly all methods for assigning a check digit to a string of digit involve a scalar
product of two vectors and modular arithmetic. For a string a1a2...ak-1 and a
modulus n, many schemes assign a check digit ak so that
(a1,a2,...,ak).(w1,w2,...,wk) = 0 mod n.
We call such schemes linear and we call the vector (w1,w2,...wk) the weighting
vector. the Universal Product Code (UPC) used on grocery items employs the
weighting vector (3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1) with n = 10 ; the International Standard
Book Number (ISBN) utilizes (10,9,8,7,6,5,4,3,2,1) and n = 11; banks in the U.S.
use (7,3,9,7,3,9,7,3,9) with n = 10; many western countries use (7,3,1,7,3,1,...)
with n = 10 to assign check digits to number on passports. Notice that the division
schemes mentioned at the outset of this section are also linear with weighting vectors
of the form (10k-2,10k-3,...100,+_1).
The error-detecting capability of linear schemes is given by the following theorem.
THEOREM. Suppose a number a1a2...ak satisfies the condition (a1,a2,...ak).
(w1,w2,...wk)= 0 mod n. Then the single error occasioned by substituting ai for a1
is undetectable if and only if (ai - ai)wi is divisible by n and a sole error of the form
...ai...aj...->...aj...ai... is undetectable if and only if (ai - aj)(wi -wj) is divisible by n.
Proof. If ai is substituted for ai then the dot product of the correct number and
the incorrect number differ by (ai - aj)wi. Thus, the error is undetected if and only if
(ai - ai)wi = 0 mod n.
Now consider an error of the form ...ai ...aj ....-> ... aj ...ai... . Here
the dot product of the correct number and the incorrect number differ by
(aiwi + ajwj) - (ajwi +aiwj)=(ai - aj)(wi - wj)
The conclusion now follows as be fore.
Since the most common moduli are 10 and 11, the following corollary is worth
mention.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

การ modulo 7 ตรวจพบข้อผิดพลาดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับเลขตัวเดียวยกเว้นว่าผู้
b จะทดแทนการ และ |a-b| = 7 ทำนองเดียวกัน ข้อผิดพลาดของการเรียงลำดับ... .ai... aj
...-> aj......อาย...จะไปตรวจไม่พบถ้า |ai-aj| = 7 หรือถ้า 6 หารเจ - i.
ที่ modulo แผน 9 จะดีกว่าเล็กน้อยในการตรวจจับข้อผิดพลาดตัวเดียว: เท่า
แทนของ 9 กับ 0 หรือกลับหายไป บนมืออื่น ๆ เดียว
ข้อผิดพลาดของฟอร์ม...อาย... aj...->... aj...อาย...ที่จะหายมี
ผู้เกี่ยวข้องกับตัวเลขการตรวจสอบตัวเอง (หลักฐานอย่างรวดเร็วนี้จะสังเกตที่การ
ตกค้างจำนวน modulo 9 เป็นสารตกค้างของผลรวมของตัวเลขของ modulo 9.)
วิธีเกือบทั้งหมดสำหรับการกำหนดตัวเลขเครื่องหมายของตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับสเกลาร์
ผลิตภัณฑ์ของสองเวกเตอร์และเลขคณิตมอดุลาร์ สำหรับ a1a2 สตริ...ak-1 และ
n โมดูลัส โครงร่างหลายกำหนดให้ตัวเลขเครื่อง ak นั้น
(a1, a2,..., ak)(w1, w2,..., wk) = 0 mod n.
เราเรียกแผนดังกล่าวเชิงเส้น และเราเรียกเวกเตอร์ (w1, w2,... wk) น้ำหนัก
เวกเตอร์ ใช้การรหัสผลิตภัณฑ์สากล (UPC) ใช้กับสินค้าร้านขายของชำ
น้ำหนักเวกเตอร์ (3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1) ด้วย n = 10 มาตรฐานนานาชาติ
(10,9,8,7,6,5,4,3,2 ใช้เลขหนังสือ (ISBN)1) และ n = 11 ธนาคารใน U.S.
use (7,3,9,7,3,9,7,3,9) ด้วย n = 10 ประเทศตะวันตกใช้ (7,3,1,7,3,1,...)
มี n = 10 จะกำหนดตัวเลขเครื่องหมายเลขในหนังสือเดินทาง สังเกตที่ส่วน
แผนงานดังกล่าวที่มือส่วนนี้มีเส้นกับน้ำหนักเวกเตอร์
ของแบบฟอร์ม (10k-2, 10k-3,...100, _1) .
ความสามารถในการตรวจหาข้อผิดพลาดของรูปแบบเชิงเส้นได้ โดยการต่อทฤษฎีบท
ทฤษฎีบท สมมติว่า a1a2 เลข... ak เป็นไปตามเงื่อนไข (a1,a2,...ak).
(w1,w2,...wk) = 0 mod n แล้วหนึ่งข้อผิดพลาด occasioned โดยแทนที่ไอสำหรับ a1
เป็นถ้าสามครับ (ไอ - ไอ) อินเตอร์เป็นโดย n และมีข้อผิดพลาดแต่เพียงผู้เดียวของแบบฟอร์ม
...อาย... aj...-> aj......อาย... เป็นถ้าสามครับ (ไอ - aj) (wi - wj) เป็นโดย n.
พิสูจน์ ถ้าไอจะทดแทนไอแล้วผลคูณจุดของถูก และ
หมายเลขไม่ถูกต้องแตกต่างกัน โดย (ไอ - aj) จอดรถ ดังนั้น ข้อผิดพลาดคือ ถ้าตรวจไม่พบและรับ
(ai-ai) อินเตอร์ = 0 mod n.
พิจารณาข้อผิดพลาดของแบบฟอร์มขณะนี้ ... .ai ... .aj...->... aj...อาย... ที่นี่
ผลิตภัณฑ์จุดหมายเลขที่ถูกต้องและหมายเลขไม่ถูกต้องแตกต่างกันโดย
(aiwi ajwj) - (ajwi aiwj) = (ไอ - aj) (wi - wj)
สรุปตอนนี้ตามได้ลำเลียงสา
moduli ทั่ว 10 และ 11, corollary ต่อไปนี้เป็นมูลค่า
พูด

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โมดูโล 7 ตรวจสอบข้อผิดพลาดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับหลักเดียวยกเว้นผู้ที่
ได้รับการขแทนและ | ข |. = 7 เช่นเดียวกันข้อผิดพลาดของการจัดเรียง ... ai ... AJ
... -> ... AJ ai .. ... จะไปตรวจไม่พบถ้า | ai-AJ | = 7 หรือถ้า 6 แบ่งเจ - ฉัน
แบบโมดูโล 9 แผนการจะดีกว่าเล็กน้อยที่การตรวจสอบข้อผิดพลาดในหลักเดียวเท่านั้น
แทน 9 0 หรือรอง ในทางกลับกันจะไปตรวจไม่พบ ในขณะที่มีเพียง
ความผิดพลาดของรูปแบบ ... ai ... AJ ... -> ... AJ ... ai ... ที่ตรวจไม่พบมี
ผู้ที่เกี่ยวข้องกับการตรวจสอบหลักของตัวเอง (หลักฐานอย่างรวดเร็วของการนี้คือการสังเกตว่า
ส่วนที่เหลือของโมดูโลหมายเลข 9 เป็นสารตกค้างของผลรวมของตัวเลขของโมดูโล 9.)
เกือบทุกวิธีการสำหรับการกำหนดหลักในการตรวจสอบไปยังสายหลักที่เกี่ยวข้องกับการเกลา
ผลิตภัณฑ์ของสองเวกเตอร์ และคณิตศาสตร์แบบแยกส่วน สตริง A1A2 ... ak-1 และ
มอดูลัส n, แผนการหลายกำหนด ak ตรวจสอบหลักเพื่อให้
(a1, a2, ... , ปลาไหลเผือก). (w1, w2, ... , สัปดาห์) = 0 mod n
เราเรียกรูปแบบเชิงเส้นดังกล่าวและเราเรียกเวกเตอร์ (w1, w2, ... สัปดาห์) น้ำหนัก
เวกเตอร์ รหัสสินค้าสากล (UPC) ที่ใช้ในรายการที่ร้านขายของชำพนักงาน
เวกเตอร์ถ่วง (3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1) ที่มี n = 10; มาตรฐานสากล
จำนวนเล่ม (ไอ) ใช้ (10,9,8,7,6,5,4,3,2,1) และ n = 11; ธนาคารในสหรัฐอเมริกา
ใช้ (7,3,9,7,3,9,7,3,9) ที่มี n = 10; ประเทศตะวันตกจำนวนมากใช้ (7,3,1,7,3,1, ... )
ด้วย n = 10 จะกำหนดให้ตรวจสอบตัวเลขบ้านเลขที่หนังสือเดินทาง ขอให้สังเกตว่าส่วนที่
กล่าวถึงแผนการเริ่มแรกของส่วนนี้ยังได้รับการเชิงเส้นที่มีน้ำหนักเวกเตอร์
ของแบบฟอร์ม (10k-2, 10k-3, ... 100 + _1)
ความสามารถในการตรวจสอบข้อผิดพลาดของรูปแบบเชิงเส้นจะได้รับจาก ทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท สมมติว่าจำนวน A1A2 ... ak ตามเงื่อนไข (a1, a2, ... ปลาไหลเผือก)
(w1, w2, ... สัปดาห์) = 0 mod n แล้วข้อผิดพลาดเดียวเนื่องมาจากการทำหน้าที่แทนไอเพื่อ a1
เป็นจิตวิทยาและถ้าหาก (ไอ - ไอ) ไร้คือหารด้วย n และข้อผิดพลาด แต่เพียงผู้เดียวของฟอร์ม
... ai ... AJ ... -> ... AJ ai ... ... เป็นจิตวิทยาและถ้าหาก (ไอ - AJ) (ไร้ WJ) คือหารด้วย n
หลักฐาน ถ้าไอเป็นแทนไอแล้วผลิตภัณฑ์ที่จุดของจำนวนที่ถูกต้องและ
ไม่ถูกต้องจำนวนแตกต่างกัน (ไอ - AJ) ไร้ ดังนั้นข้อผิดพลาดที่ตรวจไม่พบถ้าหากว่า
(ai - ไอ) ไร้ = 0 สมัย n
ตอนนี้พิจารณาข้อผิดพลาดของรูปแบบ ... ai ... AJ .... -> ... AJ ... ไอ .... ที่นี่
สินค้าที่จุดของจำนวนที่ถูกต้องและไม่ถูกต้องจำนวนแตกต่างกัน
(AIWI + ajwj) - (ajwi + aiwj) = (ai - AJ) (Wi - WJ)
ข้อสรุปในขณะนี้ดังต่อไปนี้เป็นก่อน
ตั้งแต่ moduli พบมากที่สุดคือ 10 และ 11 ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์มูลค่า
การเอ่ยถึง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

การโมดูโล่ 7 ตรวจสอบข้อผิดพลาดทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับหลักเดียว ยกเว้นผู้ที่
b แทน และ | A-B | = 7 อนึ่ง ข้อผิดพลาดของการจัดเรียง . . . . . . . . . AJ AJ - >
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . จะไปตรวจไม่พบถ้า | AI AJ | = 7 หรือถ้า 6 แบ่ง J - I
มอดุโล 9 ระบบจะดีขึ้นเล็กน้อยในการตรวจหาข้อผิดพลาดเพียงหลักเดียว :
4 9 กับ 0 หรือในทางกลับกันจะตรวจไม่พบ . บนมืออื่น ๆ , เท่านั้น
ข้อผิดพลาดของฟอร์ม . . . . . . . . . AJ AJ - > . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ที่อาจจะเกี่ยวข้องกับการตรวจสอบตัวเลข
นั้นเอง ( หลักฐานอย่างรวดเร็วนี้จะสังเกตว่า
กากของโมดูโล่หมายเลข 9 เป็นกากของผลรวมของตัวเลขมอดุโล 9 . )
เกือบทุกวิธีการสำหรับการตรวจสอบตัวเลขกับสตริงของตัวเลข เกี่ยวข้องกับผลิตภัณฑ์ของเวกเตอร์และสเกลาร์
2 เลขคณิตมอดุลาร์ . สำหรับสตริง a1a2 . . . . . . .ak-1 และ
) N , หลายรูปแบบให้ตรวจสอบตัวเลขและดังนั้น
( A1 , A2 , . . . , AK ) ( W1 , W2 , . . . , WK ) = 0 mod N .
เราเรียกโครงการดังกล่าวเชิงเส้นและเราเรียกว่าเวกเตอร์ ( W1 , W2 . . . WK ) น้ำหนัก
เวกเตอร์ รหัสผลิตภัณฑ์สากล ( UPC ) ที่ใช้กับรายการที่ร้านขายของชำใช้
ถ่วงเวกเตอร์ ( 3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1 ) กับ N = 10 ; นานาชาติเลขมาตรฐานหนังสือ ( ISBN ) ใช้ ( 10,9,8,7,6,5,4,3,2
,1 ) และ n = 11 ; ธนาคารใช้ในสหรัฐอเมริกา
( 7,3,9,7,3,9,7,3,9 ) กับ N = 10 ; ประเทศตะวันตกหลายใช้ ( 7,3,1,7,3,1 , . . . )
n = 10 ให้ตรวจสอบตัวเลขกับเลขพาสปอร์ต แจ้งว่ากอง
โครงร่างกล่าวเริ่มแรกของส่วนนี้ยังเป็นเชิงเส้นกับน้ำหนักของรูป ( 10k-2,10k-3 เวกเตอร์
,
. . . . . . . 100 , _1 )ข้อผิดพลาดการตรวจสอบความสามารถของระบบเชิงเส้นให้โดยทฤษฎีบทต่อไปนี้ .
ทฤษฎีบท สมมติว่าหมายเลข a1a2 . . . . . . . และตรงตามสภาพ ( A1 , A2 , . . . . . . . AK )
( W1 , W2 . . . WK ) = 0 ( mod แล้วข้อผิดพลาดเดียวมาจากจาก Ai A1
เป็น undetectable ถ้าและเพียงถ้า ( ไอ - ไอ ) และลงตัว โดยไร้ข้อผิดพลาด แต่เพียงผู้เดียวของ รูปแบบ AI เอเจ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AJ . . . . . . . . .เป็น undetectable ถ้าและเพียงถ้า ( ไอ - AJ ) ( Wi - wj ) เป็นเงิน โดย
พิสูจน์ ถ้าไอแทน ไอแล้วจุดจำนวนที่ถูกต้องและไม่ถูกต้อง
หมายเลขแตกต่างกัน ( ไอ - AJ ) วี ดังนั้นข้อผิดพลาดที่ตรวจไม่พบถ้าและเพียงถ้า
( ไอ - ไอ ) วี = 0 mod .
ตอนนี้พิจารณาข้อผิดพลาดของฟอร์ม . . . . . . . . . AJ . . . . . . . . . . . . . . . เอเจ . . . . . . . . . ที่นี่
.จุดผลิตภัณฑ์ของตัวเลขให้ถูกต้องและหมายเลขไม่ถูกต้องแตกต่างกันโดย
( aiwi ajwj ) - ( ajwi aiwj ) = ( ไอ - AJ ) ( Wi - wj )
สรุปแล้วต่อไปนี้เป็นก่อน .
เนื่องจากเส้นใยที่พบมากที่สุดคือ 10 และ 11 ผลต่อไปนี้เป็นมูลค่า
พูดถึง