Generalizations[edit]Euler's identi

Generalizations[edit]

Euler's identity is also a special case of the more general identity that the nth roots of unity, for n > 1, add up to 0:
sum_{k=0}^{n-1} e^{2 pi i k/n} = 0 .
Euler's identity is the case where n = 2.

In another field of mathematics, by using quaternion exponentiation, one can show that a similar identity also applies to quaternions. Let {i, j, k} be the basis elements, then,
e^{frac{(i pm j pm k)}{sqrt 3}pi} + 1 = 0. ,
In general, given real a1, a2, and a3 such that {a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2 = 1, then,
e^{(a_1i+a_2j+a_3k)pi} + 1 = 0. ,
For octonions, with real an such that {a_1}^2+{a_2}^2+dots+{a_7}^2 = 1 and the octonion basis elements {i1, i2,..., i7}, then,
e^{(a_1i_1+a_2i_2+dots+a_7i_7)pi} + 1 = 0. ,

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Generalizations [แก้ไข]เอกลักษณ์ของออยเลอร์เป็นกรณีพิเศษของตัวเติมที่รากที่ n ของสามัคคี สำหรับ n > 1 เพิ่มค่าเป็น 0:e sum_{k=0}^{n-1 } ^ { 2 pi ฉัน k/n } = 0เอกลักษณ์ของออยเลอร์เป็นกรณี n = 2ในฟิลด์อื่นของวิชาคณิตศาสตร์ โดยใช้ควอเทอร์เนียนยกกำลัง หนึ่งสามารถแสดงว่า ตัวคล้ายยังใช้ quaternions ให้ {i, j, k } เป็นองค์ประกอบพื้นฐาน แล้วe ^ {frac{(i pm j pm k) } {sqrt 3 } pi } + 1 = 0 ,ทั่วไป รับจริง a1, a2 และ a3 เช่นนั้น {a_1 } ^ 2 + {a_2 } ^ 2 + {a_3 } ^ 2 = 1 แล้วe ^ { (a_1i + a_2j + a_3k) pi } + 1 = 0 ,สำหรับ octonions กับความจริงเช่นนั้น {a_1 } ^ 2 + {a_2 } ^ 2 + dots + {a_7 } ^ 2 = 1 และองค์ประกอบพื้นฐาน octonion {i1, i2,..., i7 }, แล้วe ^ { (a_1i_1 + a_2i_2 + dots + a_7i_7) pi } + 1 = 0 ,

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

generalizations [แก้ไข] ตัวตนของออยเลอร์ยังเป็นกรณีพิเศษของตัวตนที่กว้างขึ้นว่ารากที่ n ของความสามัคคีสำหรับ n> 1 เพิ่มขึ้นถึง 0: sum_ {k = 0} ^ {n-1} อี ^ {2 ปี่ IK / n} = 0. เอกลักษณ์ของออยเลอร์เป็นกรณีที่ n = 2 ในสาขาคณิตศาสตร์อื่นโดยใช้การยกกำลัง quaternion หนึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่าตัวตนที่คล้ายกันยังใช้กับ quaternions ให้ {ฉัน j, k} เป็นองค์ประกอบพื้นฐานแล้วที่e ^ { frac {(i นเจ น k)} { sqrt 3} ปี่} + 1 = 0 , โดยทั่วไปได้รับ a1 จริง a2 และ a3 ดังกล่าวว่า {a_1} ^ 2 + {a_2} ^ 2 + {A_3} ^ 2 = 1 แล้วที่e ^ {(a_1i + + a_3k a_2j) ปี่} + 1 = 0 , สำหรับ octonions มีจริงดังกล่าวว่า {a_1} ^ 2 + {a_2} ^ 2 + dots + {a_7} ^ 2 = 1 และองค์ประกอบพื้นฐาน octonion {i1, i2, ... , i7} แล้วจ^ {(a_1i_1 a_2i_2 + + dots + a_7i_7) ปี่} + 1 = 0 ,

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทั่วไป [ แก้ไข ]

ข้อความคาดการณ์ของตนเป็นกรณีพิเศษของเพิ่มเติมทั่วไปเอกลักษณ์ที่แลกรากของความสามัคคี , สำหรับ n > 1 เพิ่มได้ถึง 0 :
sum_ { k = 0 }
{ }
{ 2 N - 1 E พี ผม K / n } = 0
ตัวตน ออยเลอร์เป็นกรณีที่ n = 2

ในอีกสาขาของคณิตศาสตร์โดยใช้ควอเทอร์เนียนการยกกำลัง หนึ่งสามารถแสดงเอกลักษณ์ที่คล้ายกันยังใช้กับควอเทอร์เนียน . ให้ { I , J , K } เป็นพื้นฐานองค์ประกอบงั้น
e
{ frac { ( J ผม PM PM K ) } { pi } 3 } / SQRT 1 = 0
ทั่วไป ให้จริง A1 , A2 และ A3 ที่ a_1 }
{ }
2 { 2 { a_2 a_3 }
2 = 1 , แล้ว ,
e
{ ( a_1i a_2j a_3k ) pi } 1 = 0
สำหรับคโทเนียน มีจริงเป็นเช่นที่ a_1 }
{ }
2 { a_2 จุด a_7 } { 2
2 = 1 และ octonion พื้นฐานองค์ประกอบ { i1 I2 , , . . . , i7 } ,
e
{ ( a_1i_1 a_2i_2 pi } 1 จุด a_7i_7 ) = 0 . ,