Theorem 1.1. For every positive int

Theorem 1.1. For every positive integer k and every p ∈ (0, 1), there exist αk and βk such that pk,n ∼ αk(2πn)
−βk as n → ∞.
The numbers αk are given by αk = [p(1 − p)]
(−1/2)
k
. The rates βk do not depend on the initial value p0,n = p and are given by
βk = [1 − (−1/2)
k
]/3; in particular, αk and βk converge to 1 and 1/3, respectively.
Interestingly, the rates βk are related to the well-known Jacobsthal numbers Jk (OEIS A001045) via 2kβk = Jk. The trivial
cases p ∈ {0, 1} are easily dealt with separately and are seen to lead to pk,n ≡ 1. In the next result we look at the array (pk,n)
from a different angle and consider the case where k tends to infinity while n is held constant.
Theorem 1.2. For every positive integer n and every p ∈ (0, 1), the probabilities pk,n converge, as k → ∞, to a limit pn ∈ (0, 1).
This limit is independent of p and is characterised by being the unique solution of the fixed-point equation

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ทฤษฎีบทที่ 1.1 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก k และทุก∈ p (0, 1), มี αk และ βk ดังกล่าวที่ pk, αk(2πn) เดือน n−βk เป็น n →∞Αk หมายเลขกำหนด โดย αk = [p (p − 1)](− 1/2)k. Βk ราคาไม่ขึ้น p0 ค่าเริ่มต้น n = p และกำหนดโดยΒk = [1 − (− 1/2)k] / 3 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง αk และ βk มาบรรจบกับ 1 และ 1 ใน 3 ตามลำดับน่าสนใจ βk ราคาเกี่ยวข้องรู้จักหมายเลข Jacobsthal Jk (OEIS A001045) ผ่าน 2kβk = Jk น่ารำคาญกรณี p ∈ {0, 1 } ได้จัดการกับแยกต่างหาก และจะนำไปสู่การ pk, n ≡ 1 ในผลถัดไป เราดูเรย์ (pk, n)มุมต่าง และพิจารณากรณีที่ k มีแนวโน้มที่อินฟินิตี้ขณะ n คงที่ทฤษฎีบท 1.2 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ทุก∈ p (0, 1), pk น่าจะ n เข้าใกล้ เป็น∞→ k การการจำกัด pn ∈ (0, 1)ขีดจำกัดนี้เป็นอิสระจาก p และมีลักษณะเป็นการแก้ปัญหาเฉพาะของสมการควา

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ทฤษฎีบท 1.1 ทุก K จำนวนเต็มบวกและทุก∈ P (0, 1) ที่มีอยู่αkและβkดังกล่าวว่า PK, N ~ αk (2πn)
-βkเป็น n →∞.
หมายเลขαkจะได้รับจากαk = [P (1 - P)] (-1/2) k อัตราβkไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าเริ่มต้น P0, N = P และจะได้รับโดยβk = [1 - (-1/2) K ] / 3; โดยเฉพาะอย่างยิ่งαkและβkเพ่งความสนใจไปที่ 1 และ 1/3 ตามลำดับ. ที่น่าสนใจอัตราβkจะเกี่ยวข้องกับการที่รู้จักกันดี Jacobsthal หมายเลข Jk (OEIS A001045) ผ่าน2kβk = Jk จิ๊บจ๊อยกรณี P ∈ {0, 1} จะจัดการได้อย่างง่ายดายด้วยแยกจากกันและจะเห็นได้จะนำไปสู่ ​​PK, N ≡ 1. ในผลต่อไปเรามองไปที่อาร์เรย์ (PK, n) จากมุมที่แตกต่างกันและพิจารณากรณีที่ K มีแนวโน้มที่จะอินฟินิตี้ในขณะที่ n จะจัดขึ้นอย่างต่อเนื่อง. ทฤษฎีบท 1.2 ทุก n จำนวนเต็มบวกและทุก P ∈ (0, 1) ที่ PK น่า, N มาบรรจบกันเป็น K →∞เพื่อ∈วงเงิน PN (0, 1). ข้อ จำกัด นี้เป็นอิสระจาก P และโดดเด่นด้วยการเป็น วิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกันของสมการจุดคงที่

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ทฤษฎีบท 1.1 . สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก k และทุกจุด∈ ( 0 , 1 ) แล้ว ยังมีα K และ K เช่น บีตาที่ PK , N ∼α K ( 2 π n )−β K เป็น N → keyboard - key - name ∞ .ตัวเลขα K จะได้รับโดยα K = [ p ( 1 − p ) ]( − 1 / 2 )เค. อัตราบีตา K ไม่ต้องพึ่งด้วยค่าเริ่มต้น , N = P และจะได้รับโดยบีตา K = [ 1 − ( − 1 / 2 )เค] / 3 โดยเฉพาะ α K และบีตา K เป็น 1 และ 1 / 3 ตามลำดับทั้งนี้ อัตราบีตา K จะเกี่ยวข้องกับตัวเลขที่รู้จักกันดี jacobsthal JK ( oeis a001045 ) ผ่านทาง 2K บีตา K = JK เรื่องไร้สาระกรณี P ∈ { 0 , 1 } สามารถจัดการกับแยกและเห็นไปสู่การ PK , N ≡ 1 ในผลต่อไปเราดูอาร์เรย์ ( PK )จากมุมที่แตกต่างกันและพิจารณากรณีที่ k เข้าใกล้อนันต์ ขณะที่ N จัดขึ้นอย่างต่อเนื่องทฤษฎีบท 1.2 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก N และทุกจุด∈ ( 0 , 1 ) , ความน่าจะเป็น PK , บรรจบ , K → keyboard - key - name ∞เพื่อจำกัดช่วง∈ ( 0 , 1 )จำกัด นี้เป็นอิสระของ P และมีเอกลักษณ์ โดยมีโซลูชั่นของสมการจุดตรึง