It is trivial that if x be a limit

It is trivial that if x be a limit point of type (1) then it will be a limit point
of type (2) and type(3) and if x be a limit point of type (2) then it is a limit
point of type (3). None of the implications can be reversed. For example let
A = {x} then x is a limit point of type (3).(Take {xn} = x for each n), but x
isn’t a limit point of type (2).
Accumulation point need not be condensation point, let X = R with Euclidean
topology, A be a set of rational numbers and x any element of X. Then x is
an accumulation point of A, but not condensation point.
Adherent point isn’t necessarily a cluster point , for example when x is an
isolated point.
Every limit point isn’t necessarily a cluster point, for example when x is an
isolated point, but if x is a limit point of A and x /∈ A then x is a cluster
point of A. Anyway, even in the case when x is a limit point of A which does
not belong to A, x need not be an accumulation point of A. Take X = {1, 2}
,τ = {X, 0, {1}}, A = {1}, x = 2 and {xn} = 1.
A limit point of A that does not belong to A need not be condensation point
of A. Take X = R with Euclidean topology, A = Q and x be any element
irrational. Condensation point isn’t necessarily a limit point. Let X = A∪{x}
where A is uncountable with discrete topology and open neighborhoods of x
are complements of countable subsets of A. Then x is condensation point of
A but is not the limit of any sequence of A.
Cluster point isn’t necessarily an accumulation point. Let X = {0, 1} be a
Sierpinski space. Suppose A = {0} and x = 1. then 1 is Cluster point but not
A − {x}.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

มันเป็นเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ ว่าถ้า x เป็นจุดขีด จำกัด ของประเภท (1) แล้วมันจะเป็นจุดขีด จำกัด
ประเภท (2) และประเภท (3) และถ้า x เป็นจุดขีด จำกัด ของประเภท (2) แล้วมันเป็นขีด จำกัด
จุด ประเภท (3) ไม่มีผลกระทบสามารถกลับ ยกตัวอย่างเช่นให้
A = {x} แล้ว x เป็นจุดขีด จำกัด ของชนิด (3). (ใช้เวลา {xn} = x n สำหรับแต่ละ) แต่ x
ไม่ได้จุดขีด จำกัด ของประเภท (2).
จุดสะสมไม่จำเป็นต้อง เป็นจุดควบแน่นให้ X = R
กับยุคลิดโครงสร้าง, A จะเป็นชุดของตัวเลขเหตุผลและองค์ประกอบของ x เอ็กซ์ใด ๆ แล้ว x
เป็นจุดเชื่อมต่อการสะสมของแต่ไม่ได้เป็นจุดรวมตัวของไอ.
จุด Adherent ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดคลัสเตอร์ เช่นเมื่อ x
เป็นจุดแยก.
จุดขีด จำกัด ทุกคนไม่จำเป็นต้องเป็นจุดคลัสเตอร์เช่นเมื่อ x
เป็นจุดที่แยกแต่ถ้า x เป็นจุดขีด จำกัด ของ A และ x / ∈ x
จากนั้นเป็นกลุ่มจุดA. อย่างไรก็ตามแม้ในกรณีเมื่อ x เป็นจุดขีด จำกัด
ของที่ไม่ได้อยู่ในA, x ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดเชื่อมต่อการสะสมของเอใช้ X = {1,
2}, τ = {X, 0, { 1}} A = {1} x = 2 และ {xn} = 1
จุดขีด จำกัด ของที่ไม่ได้อยู่ถึง A
ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดการรวมตัวของเอพาX = R กับโครงสร้างแบบยุคลิด, A = Q และ x เป็นองค์ประกอบใด ๆ
ที่ไม่ลงตัว จุดควบแน่นไม่จำเป็นต้องเป็นจุดขีด จำกัด ให้ x = A∪ {x}
ที่เป็นนับไม่ได้มีโครงสร้างที่ไม่ต่อเนื่องและละแวกใกล้เคียงเปิด x
มีการเติมเต็มของซัยนับของเอแล้ว x เป็นจุดรวมตัวของ
แต่ไม่ จำกัด ลำดับของ A.
ใดจุดคลัสเตอร์ISN ' เสื้อจำเป็นต้องจุดสะสม ให้ X = {0, 1}
เป็นพื้นที่Sierpinski สมมติว่า A = {} 0 และ x = 1 แล้ว 1 จุด
แต่ไม่คลัสเตอร์เอ- {x}

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

มันไม่สำคัญว่าถ้า x เป็นกำหนดจุดของประเภท ( 1 ) มันก็จะกัดจุด
ชนิด ( 2 ) และชนิด ( 3 ) และถ้า x เป็นกำหนดจุดของชนิด ( 2 ) แล้วมันกัด
จุดชนิด ( 3 ) ไม่มีความหมายสามารถกลับ ตัวอย่างเช่นให้
= { x } X เป็นขอบเขตจุดชนิด ( 3 ) ( เอา } { ซิน = x คน x
n ) , แต่ไม่ จำกัด ประเภทจุด ( 2 ) .
จุดสะสมไม่ต้องจุดควบแน่นให้ x = r กับแบบใช้
, เป็นชุดของจำนวนตรรกยะและ X องค์ประกอบใด ๆ ของ X แล้ว X
การทับถมจุด แต่ไม่ใช่จุดควบแน่น .
ติดจุดไม่จําเป็นต้องเป็น กลุ่มจุด ตัวอย่างเช่นเมื่อ x เป็น
จุดแยก .
ทุกจุด ไม่จําเป็นต้องจำกัดกลุ่มจุด ตัวอย่างเช่นเมื่อ x เป็น
แยกจุดแต่ถ้า x เป็นขอบเขตจุดและ X / ∈แล้ว X คือ กลุ่ม
จุด . อย่างไรก็ตามแม้ในกรณีเมื่อ x เป็นจุดที่ไม่จำกัดของ
ไม่ได้เป็นของ X ไม่ต้องสะสมจุด A เอา x = { 1 , 2 }
, τ = { 0 , 1 } { x } = { 1 } , X = 2 { คริสเตียน } = 1 .
จำกัดจุดที่ไม่ได้เป็นสมาชิกไม่ต้องจุดควบแน่น
. เอา x = r กับโทโพโลยีพลาด= Q และ X เป็นธาตุ
ที่ไร้เหตุผล จุดควบแน่น ไม่จําเป็นต้องกำหนดจุด ให้ x = ∪ { x }
ที่เป็นคุณค่ากับแบบไม่ต่อเนื่องและเปิดย่านของ x
เป็น complements ได้ย่อยของ A แล้ว X เป็นจุดควบแน่นของ
เป็น แต่ไม่ จำกัด ของลำดับของ A .
กลุ่มจุดไม่จําเป็นต้องมีการสะสมแต้ม ให้ x = { 0 , 1 } เป็น
เซียร์พินสกีพื้นที่สมมติว่า A = { 0 } , x = 1 แล้ว 1 จุด แต่ไม่ใช่กลุ่ม : − { x }