Another possible kind of regular be

Another possible kind of regular behaviour of the pendulum is a synchronized non-uniform unidirectional rotation in a full circle with a period that equals either the driving period or an integer multiple of this period. More complicated regular modes of the parametrically forced pendulum are formed by combined rotational and oscillatory motions synchronized (locked in phase) with oscillations of the pivot. Different competing modes can coexist at the same values of the driving amplitude and frequency. Which of these modes is eventually established when the transient is over depends on the starting conditions.
Behaviour of the pendulum whose axis is forced to oscillate with a frequency from certain intervals (and at large enough driving amplitudes) can be irregular, chaotic. Chaotic behaviour of this simple nonlinear system has been a subject of intense interest during recent decades [2] – [7]. The parametrically forced pendulum can serve as an excellent physical model for studying chaos as well as various complicated modes of regular behaviour.
An interesting feature in the behaviour of a rigid pendulum whose suspension point is forced to vibrate with a high frequency along the vertical line is the dynamic stabilization of its inverted position. When the frequency and amplitude of these vibrations are large enough, the inverted pendulum shows no tendency to turn down. Moreover, at small and moderate deviations from the vertical inverted position the pendulum tends to return to it. Being deviated, it can execute relatively slow oscillations about the vertical line on the background of rapid oscillations of the suspension point. This now well-known curiosity of classical mechanics, probably first pointed out by Stephenson [8] in 1908, has been explained physically and investigated experimentally in detail by Pjotr Kapitza [9] in 1951. Not surprisingly, since then this intriguing system has attracted attention of many researchers, and the theory of the phenomenon may seem to be well elaborated – see, for example, Landau [10]. Nevertheless, more and more new features in the behaviour of this apparently inexhaustible system are reported regularly. Further discoveries concerning general features and details in the behaviour of parametrically excited inverted pendulum have been published over the last decade [11] – [18].
Among these recent discoveries, the most important are the destabilization of the (dynamically stabilized) inverted position at large driving amplitudes through excitation of period-2 (“flutter”) oscillations (Blackburn, 1992) [11], and the existence of n-periodic “multiple-nodding” regular oscillations (Acheson, 1995) [13]. However, the authors who discovered these interesting modes have not suggested any clear physical explanation to the origin of such “flutter” oscillations, as well as to the “multiple-nodding” oscillations. In this paper we present a quite simple qualitative physical explanation to these phenomena, and indicate the regions in the parameter space where these modes can exist. We show that the period-2 mode (the “flutter” oscillation) is closely (intimately) related to the commonly known parametric instability of the non-inverted pendulum, and that the “multiple-nodding” oscillations (which exist both for the inverted and hanging down pendulums) can be treated as high order subharmonic resonances of the parametrically driven pendulum.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ชนิดอื่นเป็นไปได้ของพฤติกรรมปกติของลูกตุ้มจะหมุนทิศทางไม่สม่ำเสมอให้ตรงกันในวงการเต็มรูปแบบกับระยะเวลาที่เท่ากับระยะเวลาขับรถหรือจำนวนเต็มหลายรอบระยะเวลานี้ โหมดปกติความซับซ้อนมากขึ้นของลูกตุ้มบังคับ parametrically จะเกิดขึ้น โดยรวมในการหมุน และ oscillatory ดังตรง (ล็อกในระยะ) กับการแกว่งของ pivot โหมดการแข่งขันต่าง ๆ สามารถเริ่มที่ค่าเดียวกันของคลื่นและความถี่ในการขับขี่ ซึ่งโหมดเหล่านี้ได้ในที่สุดก่อตั้งขึ้นเมื่อในแบบฉับพลันมากกว่าขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นพฤติกรรมของลูกตุ้มที่แกนถูกบังคับให้ oscillate ด้วยจากช่วงความถี่ (และที่ large พอขับช่วง) จะวุ่นวาย ไม่สม่ำเสมอได้ พฤติกรรมวุ่นวายของระบบไม่เชิงเส้นนี้ง่ายแล้วเรื่องน่าสนใจที่รุนแรงในช่วงทศวรรษล่าสุด [2] [7] ลูกตุ้มบังคับ parametrically สามารถใช้เป็นแบบจำลองทางกายภาพดีสำหรับการศึกษาความวุ่นวายเป็นโหมดต่าง ๆ มีความซับซ้อนของพฤติกรรมปกติคุณลักษณะน่าสนใจในพฤติกรรมของลูกตุ้มแข็งที่จุดระบบกันสะเทือนถูกบังคับให้ vibrate ด้วยความถี่สูงตามแนวตั้งมีเสถียรภาพแบบไดนามิกของตำแหน่งกลับ เมื่อความถี่และความกว้างของการสั่นสะเทือนนี้มีขนาดใหญ่เพียงพอ เพนดูลัมการแสดงไม่มีแนวโน้มที่จะปิด นอกจากนี้ ที่ขนาดเล็ก และปานกลางความเบี่ยงเบนจากแนวตั้งการกลับตำแหน่งลูกตุ้มมีแนวโน้มที่จะ กลับมา การ deviated มันสามารถดำเนินการแกว่งค่อนข้างช้าเกี่ยวกับแนวบนพื้นหลังของแกว่งอย่างรวดเร็วของจุดระบบกันสะเทือน อยากรู้จักตอนนี้นี้ของกลศาสตร์คลาสสิก คงแรก ชี้ให้เห็น โดยสตีเฟนสัน [8] ในค.ศ. 1908 ถูกอธิบายทางกายภาพ และตรวจสอบ experimentally ในรายละเอียด โดย Pjotr Kapitza [9] ในปีค.ศ. ไม่น่าแปลกใจ หลังจากนั้น ระบบนี้น่าได้ดึงดูดความสนใจของนักวิจัยจำนวนมาก และทฤษฎีของปรากฏการณ์อาจดูเหมือน เป็น elaborated ดี – ดู เช่น ม้า [10] อย่างไรก็ตาม คุณลักษณะและพฤติกรรมของระบบที่เห็นได้ชัดว่าแหล่งนี้มีรายงานอย่างสม่ำเสมอ เพิ่มเติม ค้นพบเกี่ยวกับคุณลักษณะทั่วไปและรายละเอียดในพฤติกรรมของ parametrically ตื่นเต้นเพนดูลัมได้ถูกเผยแพร่มากกว่า ทศวรรษ [11] – [18]ค้นพบเหล่านี้ล่าสุด สำคัญสุดในหมู่ destabilization ตำแหน่งกลับ (เสถียรแบบไดนามิก) ในช่วงที่ขับรถขนาดใหญ่ผ่านในการกระตุ้นของรอบระยะเวลา-2 ("กระพือ") แกว่ง (แบล็กเบิร์น 1992) [11], และการดำรงอยู่ของ n งวด "nodding หลาย" ปกติแกว่ง (Acheson, 1995) [13] อย่างไรก็ตาม ผู้ค้นพบโหมดที่น่าสนใจเหล่านี้ได้ไม่แนะนำคำอธิบายใด ๆ ทางกายภาพชัดเจนเป็นจุดเริ่มต้นของการแกว่งดังกล่าว "กระพือ" และแกว่ง "nodding หลาย" ในเอกสารนี้ เรานำเสนอคำอธิบายเชิงคุณภาพจริงค่อนข้างง่ายกับปรากฏการณ์เหล่านี้ และระบุขอบเขตในพื้นที่พารามิเตอร์ซึ่งโหมดเหล่านี้สามารถมี เราแสดงที่โหมด 2 ระยะ (สั่น "กระพือ") อย่างใกล้ชิด (จึง) ที่เกี่ยวข้องกับการรู้จักกันโดยทั่วไปพาราเมตริกความไม่แน่นอนของลูกตุ้มกลับไม่ใช่ และว่า แกว่ง "nodding หลาย" (ซึ่งมีอยู่ทั้ง pendulums กลับ และห้อย) สามารถเป็นสูงสั่ง resonances subharmonic ของลูกตุ้ม parametrically ขับเคลื่อน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

อีกชนิดที่เป็นไปได้ของพฤติกรรมปกติของลูกตุ้มจะหมุนตรงไม่สม่ำเสมอทิศทางเดียวในวงกลมที่เต็มไปด้วยช่วงเวลานั้นเท่ากับทั้งระยะเวลาการขับรถหรือจำนวนเต็มของช่วงเวลานี้ โหมดปกติที่ซับซ้อนมากขึ้นของลูกตุ้มบังคับ parametrically จะเกิดขึ้นจากการรวมการเคลื่อนไหวของการหมุนและแกว่งตรง (ล็อคในเฟส) ที่มีการแกว่งของเดือย โหมดการแข่งขันที่แตกต่างกันสามารถอยู่ร่วมกันที่ค่าเดียวกันของความกว้างการขับรถและความถี่ ซึ่งโหมดนี้จะจัดตั้งขึ้นในที่สุดเมื่อชั่วคราวมากกว่าขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น.
พฤติกรรมของลูกตุ้มที่มีแกนถูกบังคับให้ต้องสั่นด้วยความถี่จากช่วงเวลาหนึ่ง (และที่มีขนาดใหญ่พอที่ช่วงกว้างของคลื่นขับรถ) สามารถผิดปกติวุ่นวาย พฤติกรรมวุ่นวายของระบบไม่เชิงเส้นที่เรียบง่ายนี้ได้รับเรื่องที่น่าสนใจในช่วงทศวรรษที่ผ่านมาความรุนแรงที่ผ่านมา [2] - [7] ลูกตุ้มบังคับ parametrically สามารถทำหน้าที่เป็นแบบจำลองทางกายภาพที่ดีเยี่ยมสำหรับการศึกษาความวุ่นวายเช่นเดียวกับรูปแบบที่ซับซ้อนต่างๆของพฤติกรรมปกติ.
คุณสมบัติที่น่าสนใจในพฤติกรรมของลูกตุ้มแข็งที่มีจุดระงับการถูกบังคับให้ต้องสั่นสะเทือนที่มีความถี่สูงตามแนวแนวตั้ง การรักษาเสถียรภาพแบบไดนามิกของตำแหน่งของฤๅษี เมื่อความถี่และความกว้างของการสั่นสะเทือนเหล่านี้มีขนาดใหญ่พอที่ลูกตุ้มกลับแสดงให้เห็นถึงแนวโน้มที่จะเปิดลง นอกจากนี้ยังมีการเบี่ยงเบนที่มีขนาดเล็กและปานกลางจากตำแหน่งคว่ำแนวตั้งลูกตุ้มมีแนวโน้มที่จะกลับไป ถูกผิดก็สามารถดำเนินการแกว่งค่อนข้างช้าเกี่ยวกับเส้นแนวตั้งบนพื้นหลังของการแกว่งอย่างรวดเร็วของจุดระงับ ตอนนี้อยากรู้อยากเห็นที่รู้จักกันดีของกลศาสตร์คลาสสิกอาจจะเป็นครั้งแรกที่ชี้ให้เห็นโดยสตีเฟนสัน [8] ในปี 1908 ได้รับการอธิบายทางร่างกายและการตรวจสอบการทดลองในรายละเอียดโดย Pjotr ​​Kapitza [9] ในปี 1951 ไม่น่าแปลกใจตั้งแต่นั้นระบบที่น่าสนใจนี้ได้ดึงดูด ความสนใจของนักวิจัยหลายคนและทฤษฎีของปรากฏการณ์ที่อาจดูเหมือนจะอธิบายได้ดี - ดูเช่นรถม้า [10] แต่มากขึ้นและคุณสมบัติใหม่ในการทำงานของระบบไม่รู้จักเหนื่อยเห็นได้ชัดนี้จะมีการรายงานอย่างสม่ำเสมอ การค้นพบเพิ่มเติมเกี่ยวกับคุณสมบัติทั่วไปและรายละเอียดในการทำงานของลูกตุ้มกลับรู้สึกตื่นเต้น parametrically ได้รับการตีพิมพ์ในช่วงทศวรรษที่ผ่านมา [11] - [18].
ท่ามกลางการค้นพบล่าสุดเหล่านี้ที่สำคัญที่สุดคือ destabilization ของ (เสถียรภาพแบบไดนามิก) ตำแหน่งคว่ำที่ การขับรถช่วงกว้างของคลื่นขนาดใหญ่ที่ผ่านการกระตุ้นของรอบระยะเวลา-2 ("กระพือ") แนบแน่น (แบ, 1992) [11] และการดำรงอยู่ของ n-ระยะ "หลายพยักหน้า" แนบแน่นปกติ (เคสัน, 1995) [13] อย่างไรก็ตามผู้เขียนที่ค้นพบโหมดที่น่าสนใจเหล่านี้ยังไม่แนะนำคำอธิบายทางกายภาพใด ๆ ที่ชัดเจนที่มาของดังกล่าว "กระพือ" แนบแน่นเช่นเดียวกับ "หลายพยักหน้า" แนบแน่น ในบทความนี้เรานำเสนอคำอธิบายทางกายภาพค่อนข้างง่ายคุณภาพกับปรากฏการณ์เหล่านี้และระบุภูมิภาคในพื้นที่พารามิเตอร์ที่โหมดเหล่านี้สามารถอยู่ได้ เราแสดงให้เห็นว่าโหมดระยะเวลา 2 (ที่ "กระพือ" สั่น) เป็นอย่างใกล้ชิด (อย่างใกล้ชิด) ที่เกี่ยวข้องกับความไม่แน่นอนตัวแปรที่รู้จักกันทั่วไปของลูกตุ้มที่ไม่คว่ำและ "หลายพยักหน้า" แนบแน่น (ซึ่งมีอยู่ทั้งคว่ำ และห้อยลงมาลูกตุ้ม) สามารถจะถือว่าเป็นคำสั่งที่สูง resonances subharmonic ของลูกตุ้มขับเคลื่อน parametrically

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

อีกชนิดที่เป็นไปได้ของพฤติกรรมปกติของลูกตุ้มนาฬิกาตรงไม่สม่ำเสมอทิศทางการหมุนวงกลมเต็มด้วยระยะเวลาที่เท่ากับ ทั้งขับรถ ระยะเวลา หรือจำนวนเต็มหลายของช่วงเวลานี้ที่ซับซ้อนมากขึ้น โหมดปกติของ parametrically บังคับให้ลูกตุ้มรูปแบบโดยรวมหมุนและลังเลภาพเคลื่อนไหวตรงกัน ( ล็อคในเฟส ) ที่มีการสั่นของเดือย โหมดการแข่งขันที่แตกต่างกันสามารถอยู่ร่วมกันได้ ที่ค่าเดียวกันของการขับรถขนาดและความถี่ ซึ่งในโหมดเหล่านี้ในที่สุดได้ก่อตั้งเมื่อชั่วคราวมากกว่าขึ้นอยู่กับเงื่อนไข
เริ่ม .พฤติกรรมของลูกตุ้มที่มีแกนบังคับให้แกว่งไปมาด้วยความถี่จากช่วงเวลาบางอย่าง ( และที่พอขับรถแรงบิดขนาดใหญ่ ) จะไม่วุ่นวาย พฤติกรรมวุ่นวายของง่ายนี้ไม่เชิงเส้นระบบได้รับเรื่องของดอกเบี้ยที่รุนแรงในช่วงทศวรรษที่ผ่านมา [ 2 ] - [ 7 ]