Two dimensions EditA complex affine

Two dimensions Edit
A complex affine plane is a two-dimensional affine space over the complex numbers. An example is the two-dimensional complex coordinate space {displaystyle mathbb {C} ^{2}} {mathbb C}^{2}. This has a natural linear structure, and so inherits an affine structure under the forgetful functor. Another example is the set of solutions of a second-order inhomogeneous linear ordinary differential equation (over the complex numbers). Finally, in analogy with the one-dimensional case, the space of splittings of an exact sequence

{displaystyle 0 o mathbb {C} ^{2} o mathbb {C} ^{3} o mathbb {C} o 0} 0 omathbb C^2 omathbb C^3 omathbb C o 0
is an affine space of dimension two.

Four dimensions Edit
The conformal spin group of the Lorentz group is SU(2,2), which acts on a four dimensional complex vector space T (called twistor space). The conformal Poincare group, as a subgroup of SU(2,2), stabilizes an exact sequence of the form

{displaystyle 0 o Pi o mathbf {T} o Omega o 0} 0 oPi omathbf T o Omega o 0
where Π is a maximal isotropic subspace of T. The space of splittings of this sequence is a four-dimensional affine space: (complexified) Minkowski space.

Affine coordinates Edit

Let A be an n-dimensional affine space. A collection of n affinely independent affine functions {displaystyle z_{1},z_{2},dots ,z_{n}:mathbf {A} o mathbb {C} } z_1,z_2,dots,z_n:mathbf A o mathbb C is an affine coordinate system on A. An affine coordinate system on A sets up a bijection of A with the complex coordinate space {displaystyle mathbb {C} ^{n}} {mathbb C}^{n}, whose elements are n-tuples of complex numbers.

Conversely, {displaystyle mathbb {C} ^{n}} {mathbb C}^{n} is sometimes referred to as complex affine n-space, where it is understood that it is its structure as an affine space (as opposed, for instance, to its status as a linear space or as a coordinate space) that is of interest. Such a usage is typical in algebraic geometry.

Associated projective space Edit

A complex affine space A has a canonical projective completion P(A), defined as follows. Form the vector space F(A) which is the free vector space on A modulo the relation that affine combination in F(A) agrees with affine combination in A. Then dim F(A) = n + 1, where n is the dimension of A. The projective completion of A is the projective space of one-dimensional complex linear subspaces of F(A).

Structure group and automorphisms Edit

The group Aut(P(A)) = PGL(F(A)) ≅ PGL(n + 1, ℂ) acts on P(A). The stabilizer of the hyperplane at infinity is a parabolic subgroup, which is the automorphism group of A. It is isomorphic (but not naturally isomorphic) to a semidirect product of the group GL(V) and V. The subgroup GL(V) is the stabilizer of some fixed reference point o (an "origin") in A, acting as the linear automorphism group of the space of vector emanating from o, and V acts by translation.

The automorphism group of the projective space P(A) as an algebraic variety is none other than the group of collineations PGL(F(A)). In contrast, the automorphism group of the affine space A as an algebraic variety is much larger. For example, consider the self-map of the affine plane defined in terms of a pair of affine coordinates by

{displaystyle (z_{1},z_{2})mapsto (z_{1},z_{2}+f(z_{1}))} (z_1,z_2)mapsto (z_1,z_2+f(z_1))
where f is a polynomial in a single variable. This is an automorphism of the algebraic variety, but not an automorphism of the affine structure. The Jacobian of such an algebraic automorphism is necessarily a non-zero constant. It is believed that if the Jacobian of a self-map of a complex affine space is non-zero, then the map is an (algebraic) automorphism. This is known as the Jacobian conjecture.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

แก้ไขสองมิติเครื่องบิน affine ซับซ้อนเป็นพื้นที่ affine สองมิติซ้อน ตัวอย่างคือ พื้นที่พิกัดสองมิติซับซ้อน { displaystyle mathbb {C } ^ { 2 } } {mathbb C } ^ { 2 } นี้มีโครงสร้างเชิงเส้นธรรมชาติ และเพื่อ สืบทอดการโครงสร้าง affine functor ขี้ลืม อีกตัวอย่างหนึ่งเป็นชุดของโซลูชั่นของสองสั่งงานเชิงสามัญสมการเชิงอนุพันธ์ (เกินหมายเลขซับซ้อน) ในที่สุด ในเปรียบเทียบกับกรณี one-dimensional พื้นที่ของ splittings เป็นลำดับที่แน่นอน{ displaystyle 0 o mathbb {C } ^ { 2 } o mathbb {C } ^ { 3 } o mathbb {C } o 0 } 0 omathbb C ^ 2 omathbb C ^ 3 omathbb C o 0เป็นพื้นที่ affine ของสองมิติแก้ไขสี่มิติกลุ่มแบบนี้หมุนของกลุ่มลอเรนซ์เป็น SU(2,2) ที่ทำหน้าที่ในแบบสี่มิติซับซ้อนเวกเตอร์ T (เรียกว่า twistor พื้นที่) กลุ่ม Poincare แบบนี้ เป็นกลุ่มย่อยของ SU(2,2) รักษามีลำดับที่แน่นอนของแบบฟอร์ม{displaystyle 0 o o Omega o Pi o mathbf {T } 0 } 0 oPi omathbf T o Omega o 0ที่Πเป็น subspace isotropic เป็นสูงสุดของตำบล พื้นที่ของ splittings ของลำดับนี้คือ พื้นที่ affine four-dimensional: พื้นที่มินคอฟสกี (complexified)พิกัด affine แก้ให้ A เป็นพื้นที่ affine n มิติ คอลเลกชันของฟังก์ชัน affine affinely อิสระ n { z_ displaystyle { 1 } z_ { 2 } dots, z_ {n }: mathbf o mathbb {แบบ} {C } } z_1, z_2, dots, z_n:mathbf A o mathbb C เป็นระบบพิกัด affine บนอ. มีระบบพิกัด affine บน A ตั้ง bijection ของ A มีพิกัดพื้นที่ซับซ้อน { displaystyle mathbb {C } ^ {n } } {mathbb C } ^ {n }, องค์ประกอบมี tuples n ของจำนวนเชิงซ้อนในทางกลับกัน, { displaystyle mathbb {C } ^ {n } } {mathbb C } ^ {n } บางครั้งเรียกว่าซับซ้อน affine n-พื้นที่ ที่มันเป็นที่เข้าใจว่า มันเป็นโครงสร้างที่พื้นที่ affine เป็นต้ำ เช่น สถานะของพื้นที่เชิงเส้น หรือ เป็นพื้นที่ประสานงาน) ที่น่าสนใจ การใช้งานดังกล่าวเป็นเรื่องปกติในทางพีชคณิตเรขาคณิตเชื่อมโยงพื้นที่ projective แก้พื้นที่ affine ซับซ้อน A มีการมาตรฐาน projective สมบูรณ์ P(A) กำหนดได้ดังนี้ แบบเวกเตอร์พื้นที่ F(A) ซึ่งเป็นเวกเตอร์เนื้อที่ว่างบน A modulo ความสัมพันธ์ที่ผสม affine ใน F(A) ตกลง ด้วยชุด affine ในก. จากนั้น หรี่ F(A) = n + 1 โดยที่ n คือ ขนาดของ a การ projective A เสร็จพื้นที่ projective one-dimensional ซับซ้อนเชิงเส้น subspaces ของ F(A) กันโครงสร้างกลุ่มและ automorphisms แก้กลุ่ม Aut(P(A)) = PGL(F(A)) ≅ PGL (n + 1 ℂ) กระทำบน P(A) โคลงของ hyperplane ที่ระยะอินฟินิตี้เป็นกลุ่มย่อยจาน ซึ่งเป็นกลุ่ม automorphism ของอ. มี isomorphic (แต่ธรรมชาติ isomorphic) กับผลิตภัณฑ์ semidirect ของกลุ่ม GL(V) และ V กลุ่มย่อย GL(V) เป็นโคลงของ o บางจุดอ้างอิงถาวร ("กำเนิด") a ทำหน้าที่เป็นกลุ่ม automorphism เชิงเส้นของพื้นที่ของเวกเตอร์ที่เล็ดลอดออกมา โดยแปลจาก o และกระทำ Vพื้นที่ projective P(A) เป็นการหลากหลายทางพีชคณิตกลุ่ม automorphism เป็นกลุ่มของ collineations PGL(F(A)) ตรงกันข้าม กลุ่ม automorphism พื้นที่ affine เป็นหลากหลายทางพีชคณิตที่มีขนาดใหญ่ ตัวอย่างเช่น พิจารณาตัวเองแผนที่ของระนาบ affine ถูกกำหนดคู่ของพิกัด affine โดย{ displaystyle (z_ { 1 } z_ { 2 }) mapsto (z_{1},z_{2}+f(z_{1})) } (z_1, z_2) mapsto (z_1,z_2+f(z_1))ที่ f เป็นพหุนามตัวแปรเดียวใน นี่คือ automorphism ที่หลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิต แต่ไม่มี automorphism ของโครงสร้าง affine Jacobian ของ automorphism เช่นพีชคณิตการคงไม่ใช่ศูนย์จำเป็น เชื่อว่า ถ้า Jacobian ของตัวเองแผนที่พื้นที่ affine ซับซ้อนไม่ใช่ศูนย์ แล้วแผนที่จะเป็น automorphism (พีชคณิต) นี้เรียกว่าข้อความคาดการณ์ Jacobian

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

สองมิติแก้ไข
เลียนแบบซับซ้อนเครื่องบินเป็นพื้นที่เลียนแบบสองมิติมากกว่าตัวเลขที่ซับซ้อน ตัวอย่างคือซับซ้อนสองมิติพื้นที่ประสานงาน { displaystyle mathbb {C} ^ {2}} { mathbb C} ^ {2} นี้มีโครงสร้างเชิงเส้นธรรมชาติและเพื่อให้สืบทอดโครงสร้างเลียนแบบภายใต้ลืม functor อีกตัวอย่างหนึ่งคือชุดของการแก้ปัญหาของวินาทีสั่ง inhomogeneous เชิงเส้นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (มากกว่าตัวเลขที่ซับซ้อน) สุดท้ายในการเปรียบเทียบกับกรณีหนึ่งมิติพื้นที่ splittings ของลำดับที่แน่นอน

{ displaystyle 0 to mathbb {C} ^ {2} to mathbb {C} ^ {3} to mathbb { C} 0} 0 to mathbb C ^ 2 to mathbb C ^ 3 to mathbb C 0
เป็นพื้นที่เลียนแบบของมิติสอง.

สี่มิติแก้ไข
กลุ่มมาตราส่วนหมุนของ Lorentz กลุ่มคือ SU (2,2) ซึ่งทำหน้าที่ในสี่มิติปริภูมิเวกเตอร์ที่ซับซ้อน T (เรียกว่าพื้นที่ twistor) กลุ่มมาตราส่วน Poincare เป็นกลุ่มย่อยของซู (2,2), การรักษาลำดับที่แน่นอนของแบบฟอร์ม

{ displaystyle 0 to Pi to mathbf {T} to omega 0} 0 to Pi to mathbf T to omega 0
ที่Πเป็นสเปซ isotropic สูงสุดของ T. พื้นที่ของ splittings ของลำดับนี้เป็นพื้นที่เลียนแบบสี่มิติ:. (complexified) คอฟสกีพื้นที่

เลียนแบบพิกัดแก้ไข

ให้ A เป็น พื้นที่เลียนแบบ n-มิติ คอลเลกชันของ n ฟังก์ชั่นเลียนแบบอิสระ affinely { displaystyle Z_ {1} Z_ {2} จุด Z_ {n}: mathbf {A} to mathbb {C}} z_1, z_2 จุด z_n : mathbf A จะ mathbb ซีเป็นเลียนแบบระบบพิกัดบน A. เลียนแบบระบบพิกัดบนชุดขึ้น bijection ของที่มีความซับซ้อนพิกัดพื้นที่ { displaystyle mathbb {C} ^ {n}} { mathbb C} ^ {n} ซึ่งเป็นธาตุ n-tuples ตัวเลขที่ซับซ้อน.

ตรงกันข้าม { displaystyle mathbb {C} ^ {n}} { mathbb C} ^ {n} บางครั้งจะเรียกเลียนแบบ n- ซับซ้อน พื้นที่ที่เป็นที่เข้าใจว่ามันเป็นโครงสร้างของมันเป็นพื้นที่เลียนแบบ (ตรงข้ามเช่นสถานะของการเป็นพื้นที่เชิงเส้นหรือเป็นพื้นที่ประสานงาน) ที่เป็นที่สนใจ เช่นการใช้งานเป็นปกติในเรขาคณิตพีชคณิต.

projective พื้นที่ที่เกี่ยวข้องแก้ไข

พื้นที่ที่ซับซ้อนเลียนแบบ A มีบัญญัติ projective เสร็จสิ้น P (A) ที่กำหนดไว้ดังต่อไปนี้ รูปแบบ F ปริภูมิเวกเตอร์ (A) ซึ่งเป็นพื้นที่เวกเตอร์ฟรีที่ A แบบโมดูโลความสัมพันธ์ว่าการรวมกันเลียนแบบใน f (A) เห็นด้วยกับการรวมกันเลียนแบบในกจากนั้นหรี่ F (A) = 1 + n โดยที่ n คือมิติ กความสมบูรณ์ของ projective เป็นพื้นที่ projective หนึ่งมิติ subspaces เชิงเส้นที่ซับซ้อนของ F (A).

กลุ่มโครงสร้างและ automorphisms แก้ไข

กลุ่ม Aut (P (A)) = PGL (F (A)) ≅ PGL ( n + 1, ℂ) ทำหน้าที่เกี่ยวกับ P (A) โคลงของไฮเปอร์เพลที่อินฟินิตี้เป็นกลุ่มย่อยเป็นรูปโค้งซึ่งเป็นกลุ่ม automorphism ของ A. มันเป็น isomorphic ( แต่ไม่ isomorphic ธรรมชาติ) ไปใช้กับผลิตภัณฑ์ semidirect ของกลุ่ม GL (V) และโวลต์กลุ่มย่อย GL (V) คือ โคลงบางจุดอ้างอิงคง o (เป็น "ต้นกำเนิด") ใน บริษัท A ทำหน้าที่เป็นตรงกลุ่ม automorphism ของพื้นที่ของเวกเตอร์เล็ดลอดออกมาจาก o และการกระทำ V แปล.

กลุ่ม automorphism ของพื้นที่ projective P (A) เป็น หลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นใครอื่นนอกจากกลุ่ม collineations PGL (F (A)) ในทางตรงกันข้ามกลุ่ม automorphism ของพื้นที่เลียนแบบในฐานะที่เป็นความหลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิตมีขนาดใหญ่มาก ยกตัวอย่างเช่นพิจารณาในแผนที่ของตนเองของเครื่องบินเลียนแบบที่กำหนดไว้ในแง่ของคู่ของเลียนแบบพิกัดโดย

{ displaystyle (Z_ {1} Z_ {2}) mapsto (Z_ {1} Z_ {2} + F (Z_ {1}))} (z_1, z_2) mapsto (z_1, z_2 + F (z_1))
ที่ F เป็นพหุนามตัวแปรเดียว นี่คือ automorphism ของความหลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิต แต่ไม่ได้เป็น automorphism ของโครงสร้างเลียนแบบ จาโคเบียนดังกล่าว automorphism พีชคณิตเป็นจำเป็นต้องเป็นที่ไม่ใช่ศูนย์อย่างต่อเนื่อง เป็นที่เชื่อกันว่าถ้าจาโคเบียนของตัวเองแผนที่ของพื้นที่เลียนแบบที่ซับซ้อนเป็นที่ไม่ใช่ศูนย์แล้วแผนที่เป็น (พีชคณิต) automorphism นี้เป็นที่รู้จักกันคาดเดาจาโคเบียน

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สองมิติ แก้ไขเครื่องบิน รวมเป็นสองมิติที่ซับซ้อนรวมพื้นที่กว่าตัวเลขที่ซับซ้อน ตัวอย่างเป็น 2 มิติที่ซับซ้อนประสานงานพื้นที่ { displaystyle mathbb { C } ^ { 2 } } { mathbb C } ^ { 2 } นี้มีโครงสร้างเชิงเส้นธรรมชาติ ดังนั้นการสืบทอดการเลียนแบบโครงสร้างภายใต้ฟังก์เตอร์ขี้ลืม อีกตัวอย่างหนึ่งคือ ชุดของโซลูชั่นของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง inhomogeneous ( มากกว่าตัวเลขที่ซับซ้อน ) ในที่สุด คล้ายคลึงกับกรณีใน พื้นที่ ของ splittings เป็นลำดับแน่นอน{ displaystyle 0 O mathbb { C } ^ { 2 } { C } o mathbb ^ { 3 } { C } o O mathbb 0 } 0 omathbb C ^ 2 omathbb C ^ 3 omathbb C O 0คือการรวมพื้นที่ของมิติที่ 24 มิติ แก้ไขการปั่นของกลุ่ม Lorentz กลุ่มการค้ากลุ่มซู ( 2 , 2 ) ซึ่งทำหน้าที่ในสี่มิติซับซ้อนปริภูมิเวกเตอร์ T ( เรียกว่า twistor พื้นที่ ) กลุ่ม poincare มาตราส่วนเป็นกลุ่มย่อยของซู ( 2 , 2 ) คงเป็นดับที่แน่นอนของแบบฟอร์ม{ displaystyle 0 o O { } O และ T mathbf โอเมก้า O 0 } 0 t O o 0 omathbf OPI โอเมก้าที่เป็นแบบΠได้สูงสุดของ พื้นที่ของ splittings ของลำดับนี้คือ อวกาศสี่มิติ ( เลียนแบบ complexified ) ปริภูมิมิงคอฟสกี .รวมพิกัด แก้ไขให้มีพื้นที่รวม n-dimensional . คอลเลกชันของ affinely อิสระรวมฟังก์ชัน displaystyle z_ { { 1 } , { 2 } z_ , จุด , z_ { n } : mathbf { } O mathbb { C } } z_1 z_2 , จุด z_n : mathbf เป็น O mathbb C มีเลียนแบบระบบพิกัดบน . การรวมระบบพิกัดบนชุด เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงของกับซับซ้อนประสานงานพื้นที่ { displaystyle mathbb { C } ^ { n } } { C } ^ { n } mathbb ที่มีองค์ประกอบเป็น n-tuples ของตัวเลขที่ซับซ้อนในทางกลับกัน , { displaystyle mathbb { C } ^ { n } } { C } ^ { n } mathbb บางครั้งจะเรียกว่าเลียนแบบ n-space ซับซ้อน ซึ่งเป็นที่เข้าใจว่าเป็นโครงสร้างของมันเป็นรวมพื้นที่ ( ตรงข้าม เช่น ให้สถานะเป็นปริภูมิเชิงเส้น หรือ เป็นพิกัดอวกาศ ) เป็นประโยชน์ เช่นการใช้เป็นปกติในเรขาคณิตพีชคณิตที่เกี่ยวข้อง projective พื้นที่แก้ไขรวมพื้นที่ซับซ้อน มีการฉายภาพแบบสมบูรณ์ P ( A ) ที่กำหนดไว้ ดังนี้ รูปแบบเวกเตอร์ F ( ) ซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์ฟรีเกี่ยวกับโมดูโล่ ความสัมพันธ์ที่เลียนแบบการรวมกันใน F ( a ) เห็นด้วยกับการรวม A แล้วมัว f ( A ) = n + 1 โดยที่ n คือขนาดของโครงการเสร็จสมบูรณ์ของ A คือพื้นที่ projective มิติซับซ้อนของเส้น subspaces ของ F ( A )automorphisms แก้ไขกลุ่มโครงสร้างกลุ่มหรือ ( P ( A ) = PGL ( f ( a ) ) ≅ PGL ( N + 1 , ℂ ) ทำหน้าที่ใน P ( A ) โคลงของระนาบเกิน Infinity เป็นกลุ่มย่อย Parabolic ซึ่ง Automorphism กลุ่ม เอ มันคือพวกเรา ( แต่ไม่ใช่ธรรมชาติพวกเรา ) ไป semidirect ผลิตภัณฑ์ของกลุ่ม GL ( V ) และ V . กลุ่มย่อย GL ( V ) เป็นโคลงบางแก้ไขจุดอ้างอิง O ( " กำเนิด " ) ใน หน้าที่เป็นเส้นตสัณฐานกลุ่มพื้นที่เวกเตอร์ emanating จาก O , V กระทำโดยการแปลAutomorphism กลุ่มพื้นที่ projective p ( ) เป็นประเภทเชิงพีชคณิตเป็นใครอื่นนอกจากกลุ่ม collineations PGL ( f ( a ) ) ในทางตรงกันข้าม Automorphism กลุ่มของรวมพื้นที่เป็นประเภทเชิงพีชคณิตมีขนาดใหญ่มาก ตัวอย่างเช่นพิจารณาตนเองรวมแผนที่ของเครื่องบินที่กำหนดไว้ในข้อตกลงของคู่รวมพิกัดโดย{ displaystyle ( z_ { 1 } , { 2 } z_ ) mapsto ( z_ { 1 } , z_ { 2 } + F ( z_ { 1 } ) } ( z_1 z_2 mapsto ( , ) z_1 z_2 + , F ( z_1 )ที่ F เป็นพหุนามตัวแปรเดียว นี้เป็นตสัณฐานของความหลากหลายทางพีชคณิต แต่ไม่ใช่ตสัณฐานของโครงสร้างเลียนแบบ . พวกจาโคเบียนของเช่นพีชคณิตตสัณฐานคือต้องไม่ใช่ศูนย์ที่คงที่ เชื่อกันว่า หากการไฟฟ้าฝ่ายผลิตแห่งประเทศไทยแผนที่ของพื้นที่ของตนเองรวมซับซ้อนไม่เป็น แล้วแผนที่เป็น ( พีชคณิต ) ตสัณฐาน . นี้เรียกว่าจาโคเบียนการคาดเดา