1. If the key k is in node x and x

1. If the key k is in node x and x is a leaf, delete the key k form x.
2. If the key k is in node x and x is an internal node, do the following.
a. If the child y that precedes k in node x has at least t keys, then find the predecessor k' of k in the subtree rooted at y. Recursively delete k', and replace k by k' in x. (Finding k' and deleting it can be performed in a single downward pass.)
b. symmetrically, if the child z that follows k in node x has at least t keys, then find the successor k' of k i the subtree rooted at z. Recursively delete k', and replace k by k' in x. (Finding k' and deleting it can be performed in a single downward pass.)
c. otherwise, if both y and z have only t - 1 keys merge k and all of z into y, so that x loses both k and the pointer to z, and y now contains 2t - 1 keys. Then, free z and recursively delete k from y.

3.If the key k is not present in internal node x, determine the root ci[x] of the appropriate subtree that must contain k , if k is in the tree at all. If ci[x] has only t - 1 keys,execute step 3a or 3b as necessary to guarantee that we descend to a node containing at least t keys. Then,finish by recursing on the appropriate child of x.

a.If ci[x] has only t -1 keys but has immediate sibling with at least t keys, give ci[x] an extra key by moving a key from x down into ci[x],moving a key from ci[x]'s immediate left or right sibling up into x,and moving the appropriate child pointer from the sibling into ci [x].

b.If ci[x] and both of ci[x]'s immediate sibbings have t -1 keys ,merge ci[x] with one sibling,which involves moving a key from x down into the new merged node to become the median key for that node.


Since most of the keys in a B-tree are in the leaves, we may expect that in practice , deletion operations are most often used to delete keys from leaves. The B-tree -Delete procedure then acts in one downward pass through the tree , without having to back up. When deletion a key in an internal node,however,the procedure makes a downward pass through the tree but may have to return to the node form which the key was deleted to replace the key with its predecessor or successor (cases 2a and 2b).

although this procedure seems complicated ,it involves only O(h) disk operations for a B-Tree of height h ,since only O(1) calls to DISK-READ and DISK-WRITE are made between recursive invocations if the procedure, The CPU time required is O(th) = O(t log t n)

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

1. ถ้า k คีย์ใน โหนด x และ x เป็นใบไม้ ลบแบบฟอร์มคีย์ k x2. ถ้า k คีย์อยู่ใน โหนด x และ x คือ การโหนภายใน ทำดังนี้a. ถ้า y เด็กที่มาก่อน k ในโหนด x มีน้อย t คีย์ แล้วค้นหา k รุ่นก่อน 'ของ k ในไดเรกทอรีย่อยที่รากที่ y. Recursively ลบ k' และแทน k โดย k' x. อัพใน (หา k' และสามารถดำเนินการลบมันในผ่านลงเดียว)เกิดตำแหน่ง ถ้า z เด็กที่ k ในโหนด x มีน้อย t คีย์ แล้วค้นหา k สืบ 'ของฉันไดเรกทอรีย่อยรากที่ z. Recursively ลบ k k' และแทน k โดย k' x. อัพใน (หา k' และสามารถดำเนินการลบมันในผ่านลงเดียวกัน)c. อื่น ถ้า y และ z มีเฉพาะ t - k รวมคีย์ 1 และ z เป็น y ทั้งหมด ที่ x ที่สูญเสีย k และชี้ถึง z, y ประกอบด้วย 2t - 1 แป้น แล้ว z ฟรี recursively ลบ k จาก y เท่านั้น3.ถ้า k คีย์ไม่มีอยู่ในโหนภายใน x ตรวจ ci ราก [x] ของไดเรกทอรีย่อยที่เหมาะสมที่ต้องประกอบด้วย k, k เป็นต้นทั้งหมด ถ้า ci [x] มีเฉพาะ t - 1 แป้น ดำเนินการขั้นตอน 3a หรือ 3b ตามความจำเป็นเพื่อรับประกันว่า เรามาเพื่อประกอบด้วยการโหนที่คีย์ไม่น้อย เสร็จสิ้นแล้ว โดย recursing ในเด็กที่เหมาะสมของ xa.If ci [x] มีเฉพาะแป้น t -1 แต่มีพี่น้องทันทีกับ t คีย์ ให้ ci [x] คีย์การเพิ่ม โดยการย้ายคีย์จาก x ลงใน [x], ci ย้ายคีย์จาก ci [x] ของพี่น้องไปทางซ้าย หรือขวาทันทีเป็น x และย้ายตัวชี้ที่เหมาะสมรองจากพี่น้องที่เป็น ci [x]b.If ci [x] และ ci [x] ทั้งสองของทันที sibbings มีคีย์ t -1 ผสาน ci [x] มีพี่น้องหนึ่ง ซึ่งเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนย้ายคีย์จาก x ลงในโหนผสานใหม่เป็น คีย์มัธยฐานสำหรับโหนเนื่องจากส่วนใหญ่ของคีย์ในทรี B อยู่ในใบไม้ เราอาจคาดหวังว่า ในทางปฏิบัติ ดำเนินการลบมักใช้ในการลบคีย์จากใบไม้ ต้น B-ลบตอน นั้นกระทำในหนึ่งลงผ่านต้นไม้ โดยไม่ต้องสำรองข้อมูลไว้ เมื่อการลบคีย์ในการโหนภายใน ไร ขั้นตอนทำผ่านผ่านต้นไม้ลง ได้อาจจะกลับไปฟอร์มโหนที่คีย์ถูกลบการแทนคีย์ของรุ่นก่อนหรือสืบ (กรณี 2a และ 2b)แม้ว่าขั้นตอนนี้ดูเหมือนซับซ้อน เกี่ยวข้องกับเฉพาะ O(h) ดิสก์การดำเนินการสำหรับแผนภูมิ B ของความสูง h เนื่องจากเฉพาะ O(1) เรียกดิสก์อ่านและเขียนดิสก์จะระหว่างอาอ์ซ้ำขั้นตอน เวลา CPU ต้องเป็น O(th) = O (t n t บันทึก)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

1. หากคีย์ k อยู่ในโหนด x และ x เป็นใบลบรูปแบบ k x คีย์.
2 ถ้า k ที่สำคัญคือในโหนด x และ x เป็นโหนดภายในทำต่อไปนี้.
y ถ้าเด็กที่นำหน้าใน k x โหนดมีอย่างน้อยปุ่มทีแล้วหาบรรพบุรุษ k ของ k ในทรีย่อยรากที่ Y ซ้ำลบ k 'และแทนที่โดย k k ใน x (k หาและลบที่จะสามารถดำเนินการในการลงเดียวผ่าน.)
ข แฟ่ถ้าซีเด็กที่ตาม k ในโหนด x มีอย่างน้อยปุ่มทีแล้วหา k ทายาทของคีทรีรากที่ซี ซ้ำลบ k 'และแทนที่โดย k k ใน x (k หาและลบที่จะสามารถดำเนินการในการลงเดียวผ่าน.)
ค มิฉะนั้นถ้าทั้ง Y และ Z มีเพียงเสื้อ - 1 ปุ่มผสาน k และทั้งหมดของซีเข้าสู่ปีเพื่อให้ x สูญเสียทั้ง k และชี้ถึง z และ y ที่ตอนนี้มี 2t - 1 ปุ่ม จากนั้นฟรีและ z ซ้ำลบ k จากวาย. 3.If คีย์ k ไม่มีอยู่ในโหนดภายใน x กำหนด CI ราก [x] ของทรีย่อยที่เหมาะสมที่จะต้องมี k ถ้า k อยู่ในต้นไม้ที่ทุกคน หาก CI [x] มีเพียงเสื้อ - 1 ปุ่มดำเนินการขั้นตอน 3a หรือ 3b เท่าที่จำเป็นเพื่อรับประกันว่าเราลงไปยังโหนดที่มีอย่างน้อยกุญแจเสื้อ แล้วเสร็จโดย recursing ในเด็กที่เหมาะสมของ x. CI a.If [x] มีเพียงเสื้อ -1 คีย์ แต่มีพี่น้องทันทีที่มีอย่างน้อยกุญแจเสื้อให้ CI [x] ที่สำคัญเป็นพิเศษโดยการย้ายที่สำคัญจาก x ลง เข้า CI [x] ย้ายที่สำคัญจาก CI [x] 's ซ้ายทันทีหรือพี่น้องที่เหมาะสมขึ้นเป็น x และย้ายตัวชี้เด็กที่เหมาะสมจากพี่น้องเข้า CI [x]. B. หาก CI [x] และทั้งสอง CI [x] 's sibbings ทันทีมีเสื้อ -1 ปุ่มผสาน CI [x] กับพี่น้องที่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนย้ายที่สำคัญจาก x ลงไปในโหนดที่ผสานใหม่ที่จะกลายเป็นกุญแจสำคัญเฉลี่ยต่อโหนดที่. เนื่องจากส่วนใหญ่ของคีย์ ใน B ต้นไม้อยู่ในใบที่เราอาจคาดหวังว่าในทางปฏิบัติการดำเนินการลบส่วนใหญ่มักจะใช้ในการลบคีย์จากใบ B ต้นไม้ขั้นตอนการลบจากนั้นทำหน้าที่ในการส่งผ่านลงหนึ่งผ่านต้นไม้โดยไม่ต้องมีการสำรองข้อมูล เมื่อลบที่สำคัญในโหนดภายใน แต่ขั้นตอนที่ทำให้การส่งผ่านลงผ่านต้นไม้ แต่อาจจะต้องกลับไปที่รูปแบบโหนดที่สำคัญถูกลบแทนที่ปุ่มกับบรรพบุรุษหรือทายาท (กรณี 2a และ 2b) แม้ว่าขั้นตอนนี้ดูเหมือนซับซ้อนเพียง แต่มันเกี่ยวข้องกับ O (ซ) การดำเนินงานดิสก์สำหรับ B-ต้นไม้ของความสูงของเอชตั้งแต่เพียง O (1) เรียกร้องให้-DISK DISK อ่านและเขียนจะทำระหว่างสวด recursive ถ้าขั้นตอนของ CPU ระยะเวลาที่ต้องเป็น O (th) = O (t เข้าสู่ระบบ TN)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

1 . ถ้าคีย์ K อยู่ในโหนด x และ x เป็นใบลบคีย์ K รูป X .
2 ถ้าคีย์ K อยู่ในโหนด x และ x เป็นปมภายใน , ทำต่อไปนี้ .
a ถ้าเด็ก Y ที่ precedes K ในโหนด x มีอย่างน้อย T คีย์แล้วหาบรรพบุรุษ K ' K ในรากย่อยที่ K ' Y recursively ลบและแทนที่โดย K ' K x ( ค้นหา K ' และการลบสามารถดำเนินการในครั้งเดียวลงผ่าน )
Bเป็นตายร้ายดี ถ้าเด็ก Z ตาม K ในโหนด x มีอย่างน้อย T คีย์แล้วหาผู้สืบทอด K ' K ผมย่อย recursively ลบรากที่ Z . K ' และแทนที่โดย K ' K ( K ' ใน X ค้นหาและลบสามารถดำเนินการในครั้งเดียวลงผ่าน )
c ถ้าทั้ง Y และ Z มี T - 1 ปุ่มผสาน K และทั้งหมดของ Z เป็น Y , ดังนั้น x สูญเสียทั้ง K และตัวซีและ Y ตอนนี้ประกอบด้วย 2t - 1 คีย์ แล้วฟรี Z และ recursively ลบ K จาก Y .

3 . ถ้ากุญแจ K ไม่อยู่ในภายในโหนด x , หารากของ [ x ] ของที่เหมาะสมมากที่ต้องมี K ถ้า K อยู่ในต้นไม้ทั้งหมด ถ้าไช่ [ x ] มี T - 1 ปุ่มรันขั้นตอนหรือ 3B 3A เท่าที่จำเป็นเพื่อรับประกันว่าเราลงมาถึงโหนดที่มีอย่างน้อยไม่กุญแจ จากนั้นเสร็จ recursing ที่เหมาะสมเด็ก X

a.if CI [ x ] มีเพียง T - 1 คีย์ แต่ได้ทันทีพี่น้องอย่างน้อย T คีย์ให้ CI [ x ] เพิ่มคีย์โดยการย้ายคีย์จาก X ลง CI [ x ] ย้ายคีย์จาก CI [ x ] ซ้ายทันที หรือพี่น้องเป็น X และการย้ายเด็กเหมาะสมชี้จากพี่น้องใน CI [ x ] .

b.if CI [ x ] และทั้งสองของ CI [ x ] ทันที sibbings มี T - 1 คีย์ผสาน CI [ X ] กับพี่น้อง ซึ่งเกี่ยวข้องกับการย้ายคีย์จาก X ลงใหม่ผสานโหนดเป็นกุญแจมัธยฐานสำหรับโหนด


เนื่องจากส่วนใหญ่ของคีย์ในต้นไม้มีใบ เราอาจจะคาดหวังว่า ในทางปฏิบัติ การดำเนินการลบส่วนใหญ่มักจะใช้เพื่อลบคีย์จาก ใบ ที่ล้าหลัง - ลบขั้นตอนแล้ว การกระทำในหนึ่งผ่านลงผ่านต้นไม้ โดยไม่ต้องกลับขึ้นเมื่อลบคีย์ในโหนดภายใน อย่างไรก็ตาม ขั้นตอนให้ผ่านลงผ่านต้นไม้ แต่อาจจะต้องกลับไปสู่รูปแบบโหนดที่สำคัญถูกลบเพื่อแทนที่คีย์กับบรรพบุรุษของมัน หรือทายาท ( และกรณี 2A 2B )

แม้ว่าขั้นตอนนี้ดูเหมือนซับซ้อน เกี่ยวข้องกับ เพียง O ( H การ ) ดิสก์สำหรับต้นไม้ความสูง h ,ตั้งแต่เพียง O ( 1 ) และเรียก disk-read disk-write เกิดขึ้นระหว่าง recursive อินโวเคชั่น ถ้ากระบวนการ ซีพียูต้องใช้เวลาเป็น O ( th ) = O ( T T ) n )