Forum GeometricorumVolume 7 (2007)

Forum Geometricorum
Volume 7 (2007) 207–210.


FORUM GEOM
ISSN 1534-1178

Another Verification of Fagnano’s Theorem

Finbarr Holland

Abstract. We present a trigonometrical proof of Fagnano’s theorem which states
that, among all inscribed triangles in a given acute-angled triangle, the feet of its
altitudes are the vertices of the one with the least perimeter.

1. Introduction
At the outset, and to avoid ambiguity, we fix the following terminology. Let
ABC be any triangle. The feet of its altitudes are the vertices of what we call its
orthic triangle, and, if X, Y , and Z, respectively, are interior points of the sides
AB,BC, and CA, respectively, we call the triangle XY Z an inscribed triangle
of ABC.
In 1775, Fagnano proved the following theorem.

Theorem 1. Suppose ABC is an acute-angled triangle. Of all inscribed triangles
in ABC, its orthic triangle has the smallest perimeter.

Not surprisingly, over the years this beautiful result has attracted the attentions
of many mathematicians, and there are several proofs known of it [1]. Fagnano
himself apparently used differential calculus to prove it, though, by modern standards,
it seems to me that this is far from being a routine exercise. Perhaps the
most appealing proofs of the theorem are those based on the Reflection Principle,
and two of these, in particular, due independently to L. Fej´er and H. A. Schwarz,
have made their appearance in several books aimed at general audiences [2], [3],
[4], [6]. A proof based on vector calculus appeared recently [5]. The purpose of
this note is to offer one based on trigonometry.

Theorem 2. Let ABC be any triangle, with a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|, and
area
. If XY Z is inscribed in ABC, then
|XY | + |Y Z| + |ZX| 
8
2
abc
. (1)
Equality holds in (1) if and only if ABC is acute-angled; and then only if XY Z
is its orthic triangle. If ABC is right-angled (respectively, obtuse-angled), and C
Publication Date: December 5, 2007. Communicating Editor: Paul Yiu.
The author is grateful to the referee for his helpful remarks.
208 F. Holland
is the right-angle (respectively, the obtuse-angle), then an inequality stronger than
(1) holds, viz.,
|XY | + |Y Z| + |ZX| > 2hc, (2)
where hc denotes the length of the altitude from C; and, in either case, this estimate
is best possible.
2. Proof of Theorem 2
LetXY Z be a triangle inscribed in ABC. Let x = |BX|, y = |CY |, z = |AZ|.
Then 0 < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c. By applying the Cosine Rule in the
triangle ZBX we have
|ZX|2 = (c − z)2 + x2 − 2x(c − z) cosB
= (c − z)2 + x2 + 2x(c − z) cos(A + C)
= (x cos A + (c − z) cosC)2 + (x sinA − (c − z) sin C)2.
Hence,
|ZX|  |x cosA + (c − z) cos C| ,
with equality if and only if x sinA = (c − z) sinC, i.e., if and only if
ax + cz = c2, (3)
by the Sine Rule. Similarly,
|XY |  |y cosB + (a − x) cosA| ,
with equality if and only if
ax + by = a2. (4)
And
|Y Z|  |z cosC + (b − y) cosB| ,
with equality if and only if
by + cz = b2. (5)
Thus, by the triangle inequality for real numbers,
|XY | + |Y Z| + |ZX|
 |y cosB + (a − x) cos A| + |z cosC + (b − y) cosB| + |x cosA + (c − z) cos C|
 |y cosB + (a − x) cos A + z cosC + (b − y) cosB + x cosA + (c − z) cos C|
= |a cosA + b cosB + c cos C|
=
|a2(b2 + c2 − a2) + b2(c2 + a2 − b2) + c2(a2 + b2 − c2)|
2abc
=
8
2
abc
.
Another verification of Fagnano’s theorem 209
This proves (1). Moreover, there is equality here if and only if equations (3), (4),
and (5) hold, and the expressions
u = x cosA + (c − z) cos C,
v = y cosB + (a − x) cos A,
w = z cosC + (b − y) cosB,
are either all non-negative or all non-positive. Now it is easy to verify that the
system of equations (3), (4), and (5), has a unique solution given by
x = c cosB, y = a cosC, z = b cosA,
in which case
u = b cosB, v = c cos C, w = a cosA.
Thus, in this case, at most one of u, v,w can be non-positive. But, if one of u, v,w
is zero, then one of x, y, z must be zero, which is not possible. It follows that
|XY | + |Y Z| + |ZX| >
8
2
abc
,
unless ABC is acute-angled, and XY Z is its orthic triangle. If ABC is acuteangled,
then 8
2
abc is the perimeter of its orthic triangle, in which case we recover
Fagnano’s theorem, equality being attained in (1) when and only when XY Z is
the orthic triangle.
Turning now to the case when ABC is not acute-angled, suppose first that C is
a right-angle. Then
|XY | + |Y Z| + |ZX| >
8
2
abc
=
4

c
= 2hc,
and so (2) holds in this case. Next, if C is an obtuse-angle, denote by D and E,
respectively, the points of intersection of the side AB and the lines through C that
are perpendicular to the sides BC and CA, respectively. Then Z is an interior
point of one of the line segments [B,D] and [E,A]. Suppose, for definiteness, that
Z is an interior point of [B,D]. If Y ′ is the point of intersection of [X, Y ] and
[C,D], then
|XY | + |Y Z| + |ZX| = |XY ′| + |Y ′Y | + |Y Z| + |ZX|
> |XY ′| + |Y ′Z| + |ZX|
> 2hc,
since the triangle XY ′Z is inscribed in the right-angled triangle BCD. A similar
argument works if Z is an interior point of [E,A]. Hence, (2) also holds if C is
obtuse.
That (2) is stronger than (1), for a non acute-angled triangle, follows from the
fact that, in any triangle ABC,
4
2
abc
=
2
sin C
c
= a sinB sinC  a sinB = hc.
It remains to prove that inequality (2) cannot be improved when the angle C is
right or obtuse. To see this, let Z be the foot of the perpendicular from C to AB,
210 F. Holland
and 0 < " < 1. Choose Y on CA so that |CY | = "b, and X on BC so that XY is
parallel to AB. Then, as " ! 0+, both X and Y converge to C, and so
lim
"→0+
(|XY | + |Y Z| + |ZX|) = |CC| + |CZ| + |ZC| = 2|CZ| = 2hc.
This finishes the proof.
References
[1] A. Bogomolny, Fagnano’s Problem: What is it?
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Fagnano.shtml
[2] H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, Wiley, 1969.
[3] R. Courant and H. Robbins, What is Mathematics?: An Elementary approach to Ideas and
Methods, Oxford Univesity Press, 1941.
[4] N. D. Kazarinoff, Geometric Inequalities, Random House, New York, 1961.
[5] M. H. Nguyen, Another proof of Fagnano’s inequality, Forum Geom., 4 (2004) 199–201.
[6] H. Rademacher and O. Toeplitz, The Enjoyment of Mathematics, Princeton University Press,
1957.
Finbarr Holland: Mathematics Department, University College, Cork, Ireland
E-mail address: [e-mail]

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ฟอรั่ม Geometricorumเล่ม 7 (2007) 207-210 GEOM ฟอรั่มนอก 1534-1178การตรวจสอบของ Fagnano ทฤษฎีบทอื่นฮอลแลนด์ฟินบาร์บทคัดย่อ เรานำเสนอหลักฐาน trigonometrical ของทฤษฎีบทของ Fagnano ที่อเมริกาที่ ระหว่างสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ทั้งหมดในกำหนดเฉียบพลันเป็นมุมสามเหลี่ยม เท้าของมันความเป็นจุดยอดของหนึ่งที่มีขอบเขตอย่างน้อย1. บทนำที่มือ และ เพื่อหลีกเลี่ยงความคลุมเครือ เราแก้ไขคำศัพท์ต่อไปนี้ ปล่อยให้ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ เท้าของภูมิภาคเป็นจุดยอดของสิ่งที่เราเรียกมันorthic สามเหลี่ยม และ X, Y และ Z ตามลำดับ เป็นจุดภายในด้านข้างAB, BC, CA ตามลำดับ เราเรียกสามเหลี่ยม XY Z รูปสามเหลี่ยมจารึกไว้ของ ABCใน 1775 แอดเด Fagnano พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้ทฤษฎีบทที่ 1 สมมติว่า ABC เป็นสามเหลี่ยมเป็นมุมเฉียบพลันได้ ของสามเหลี่ยมที่จารึกไว้ทั้งหมดใน ABC สามเหลี่ยมของ orthic มีขอบเขตที่เล็กที่สุดไม่น่าแปลกใจ ปี ผลลัพธ์ที่สวยงามนี้ได้ดึงดูด attentionsของ mathematicians มาก และมีหลักฐานหลายชื่อเสียงของมัน [1] Fagnanoตัวเองเห็นได้ชัดว่าใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์พิสูจน์ได้ แม้ว่า โดยมาตรฐานทันสมัยเหมือนกับฉันที่นี่ห่างไกลจาก การออกกำลังกายเป็นประจำ บางทีการคือหลักฐานที่น่าสนใจที่สุดของทฤษฎีบทที่ใช้หลักการสะท้อนและสองเหล่านี้ โดยเฉพาะ เนื่องอิสระ L. Fej´er และ H. A. โรลด์ทำลักษณะที่ปรากฏในสมุดบัญชีหลายเล่มมุ่งชมทั่วไป [2], [3],[4], [6] ปรากฏหลักฐานตามเวกเตอร์แคลคูลัสเมื่อเร็ว ๆ นี้ [5] วัตถุประสงค์ของหมายเหตุนี้คือการ นำเสนอตามตรีโกณมิติทฤษฎีบทที่ 2 ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมใด ๆ การ = |BC|, b = |CA|, c = |AB| และที่ตั้ง ถ้า XY Z จะจารึกไว้ใน ABC|XY | + |Y Z| + |ZX| 8 2abc. (1)ความเสมอภาคมี (1) ถ้าและเฉพาะถ้า ABC เป็นเฉียบพลันต้าน แล้วถ้าเฉพาะ XY Zเป็นของสามเหลี่ยม orthic ถ้า ABC เป็นวาด (ตามลำดับ obtuse-ต้าน), และ Cวันเผยแพร่: 5 ธันวาคม 2007 บรรณาธิการสื่อสาร: Paul Yiuผู้เขียนจะขอบคุณเพื่อชกในถ้อยคำของเขา208 F. ฮอลแลนด์ขวามุม (ตามลำดับ obtuse-มุม), จากนั้นมีความไม่เท่าเทียมกันแข็งแกร่งกว่า(1) เก็บ viz.,|XY | + |Y Z| + |ZX| > 2hc, (2)ที่ hc แสดงระยะความสูงจาก C และ กรณีใด ประเมินนี้จะดีที่สุด2. หลักฐานของทฤษฎีบท 2LetXY Z จะจารึกใน ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม ให้ x = |BX|, y = |CY |, z = |AZ|แล้ว 0 < x < 0 a, < y < b, 0 < z < c โดยใช้กฎของโคไซน์ในการสามเหลี่ยม ZBX ที่เรามี|ZX|2 = (z c −) 2 + x 2 − 2 x (z c −) cosB(z c −) = 2 + x 2 2 x (z c −) cos(A + C)= (x cos A + (z c −) cosC) 2 + (ซีน่า x − (z c −) sin C) 2ดังนั้น|ZX| |x cosA + (z c −) cos C| ,ด้วยความเสมอภาค และเฉพาะถ้า x ซีน่า = sinC (z c −) เช่น และถ้าax + cz = c2, (3)โดยกฎไซน์ ในทำนองเดียวกัน|XY | |y cosB + (เป็น− x) cosA| ,มีความเท่าเทียมกันถ้าและเฉพาะถ้าax + โดย = a2 (4)และ|Y Z| |z cosC + cosB| (b − y) ,มีความเท่าเทียมกันถ้าและเฉพาะถ้าโดย + cz = b2 (5)ดังนั้น โดยอสมการสามเหลี่ยมสำหรับจำนวนจริง|XY | + |Y Z| + |ZX||y cosB + (เป็น− x) cos A| + |z cosC + cosB| (b − y) |x cosA + (z c −) cos C||y cosB + (เป็น− x) cos A + z cosC + cosB (b − y) + x cosA + (z c −) cos C|= |a cosA b cosB + c cos C|=|a2 (b2 + c2 − a2) + b2 (c2 + a2 − b2) + c2 (a2 + b2 − c2) |2abc=8 2abc.การตรวจสอบอื่นของทฤษฎีบทของ Fagnano 209นี้พิสูจน์ (1) นอกจากนี้ มีความเสมอภาคที่นี่ และถ้าสมการ (3), (4),และค้าง (5) และนิพจน์u = cos x cosA + (z c −) Cv = y cosB + (เป็น− x) cos Aw = z cosC + cosB (b − y)มีทั้งหมดไม่เป็นค่าลบ หรือทั้งหมดไม่ใช่บวก ตอนนี้ซึ่งง่ายต่อการตรวจสอบว่า การระบบสมการ (3), (4), (5), และมีเฉพาะที่กำหนดโดยx = c cosB, y = cosC, z = b cosAในกรณีที่u = b cosB, v = c cos C, w = cosAดังนั้น ในกรณีนี้ มากที่สุดหนึ่งของคุณ v, w ได้ไม่มีบวก แต่ ถ้าหนึ่งของคุณ v, wเป็นศูนย์ แล้วหนึ่งของ x, y, z ต้องเป็นศูนย์ ที่เป็นไปไม่ได้ เป็นไปตามที่|XY | + |Y Z| + |ZX| >8 2abc,ถ้า ABC เป็นเฉียบพลันเป็นมุม และ XY Z เป็นรูปสามเหลี่ยมของ orthic ถ้า ABC เป็น acuteangledแล้ว 8 2abc เป็นเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมของ orthic ในกรณี ที่เรากู้คืนทฤษฎีบทของ Fagnano การบรรลุเมื่อ (1) และเฉพาะ เมื่อ XY Z มีความเสมอภาคสามเหลี่ยม orthicเปิดตอนนี้กับกรณีเมื่อไม่เฉียบพลันเป็นมุม ABC สมมติว่า ก่อน C คือเป็นขวามุม แล้ว|XY | + |Y Z| + |ZX| >8 2abc=4c= 2hcและถือ (2) ในกรณีนี้ ถัดไป แสดงถ้า obtuse-มุม C, D และ Eตามลำดับ จุดตัดของด้าน AB และบรรทัดผ่าน C ที่จะตั้งฉากกับด้าน BC และ CA ตามลำดับ แล้ว Z เป็นการภายในจุดหนึ่งของบรรทัดเซ็กเมนต์ [B, D] และ [E, A] คิดว่า definiteness ที่Z ระดับภายในของ [B, D] ถ้า Y ′เป็นจุดตัดของ [X, Y] และ[C, D], แล้ว|XY | + |Y Z| + |ZX| = |XY ′| + |Y ′Y | + |Y Z| + |ZX|> |XY ′| + |Y ′Z| + |ZX|> 2hc′Z XY สามเหลี่ยมเป็นจารึกไว้ในวาดรูปสามเหลี่ยม BCD ความคล้ายคลึงกันอาร์กิวเมนต์ทำงานถ้า Z เป็นจุดภายในของ [E, A] ดังนั้น, (2) ยัง มีถ้าเป็น Cobtuseที่ (2) ปลอดภัยกว่า (1), ในรูปสามเหลี่ยมไม่เฉียบพลันต้าน ต่อจากการความจริงนั้น ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ABC4 2abc=2 บาป Cc= sinC sinB sinB เป็น = hcยังคงต้องพิสูจน์ว่า อสมการ (2) ไม่สามารถปรับปรุงได้เมื่อมุม Cขวา หรือ obtuse เมื่อต้องการดูนี้ ให้ Z เป็นเท้าของเส้นตั้งฉากที่จาก C AB210 F. ฮอลแลนด์และ 0 < "< 1 เลือก Y ใน CA นั้นที่ |CY | = "b และ X ใน BC จึง XY ที่คู่ขนาน AB. แล้ว เป็น " 0 + X และ Y จึงทำให้ C และริม"→0 +(|XY | + |Y Z| + |ZX|) = |CC| + |CZ| + |ZC| = 2|CZ| = 2hcนี้เสร็จหลักฐานการการอ้างอิง[1] A. Bogomolny ปัญหาของ Fagnano: มันคืออะไรhttp://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Fagnano.shtml[2] H. S. M. Coxeter บทนำเรขาคณิต Wiley, 1969[3] R. Courant และร็อบบินส์ H. คณิตศาสตร์คืออะไร?: วิธีประถมอันความคิด และวิธี ออกซ์ฟอร์ดเวลากด 1941[4] ตอนเหนือ D. Kazarinoff ความเหลื่อมล้ำทางเรขาคณิต แรนดอมเฮาส์ นิวยอร์ก 1961[5] M. H. เหงียน หลักฐานอื่นของ Fagnano ของความไม่เท่าเทียมกัน ฟอรั่ม Geom., 4 (2004) 199-201[6] H. Rademacher และโอ Toeplitz คณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยปรินซ์ตันกด หย่อน1957ฟินบาร์ฮอลแลนด์: ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยวิทยาลัย คอร์ก ไอร์แลนด์ที่อยู่อีเมล: [e-mail]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ฟอรั่ม Geometricorum
ฉบับที่ 7 (2007) 207-210. FORUM GEOM ISSN 1534-1178 อีกการตรวจสอบของทฤษฎีบท Fagnano ของFinbarr ฮอลแลนด์บทคัดย่อ เรานำเสนอหลักฐานเกี่ยวกับวิชาตรีโกณมิติทฤษฎีบท Fagnano ซึ่งระบุว่าในรูปสามเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ในที่กำหนดรูปสามเหลี่ยมรุนแรง -angled เท้าของระดับความสูงเป็นจุดหนึ่งที่มีเส้นรอบวงน้อย. 1 บทนำเริ่มแรกและเพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวมเราแก้ไขคำศัพท์ต่อไปนี้ ให้ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ฟุตจากระดับความสูงของมันเป็นจุดของสิ่งที่เราเรียกมันสามเหลี่ยม orthic และถ้า X, Y, และ Z ตามลำดับเป็นจุดภายในของด้านAB, BC และ CA ตามลำดับที่เราเรียกว่าสามเหลี่ยม XY Z จารึกไว้สามเหลี่ยมของเอบีซี. ใน 1775 Fagnano พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไป. ทฤษฎีบท 1. สมมติว่า ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ของรูปสามเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ทั้งหมดในเอบีซี, สามเหลี่ยม orthic ที่มีขนาดเล็กที่สุดในปริมณฑล. ไม่น่าแปลกใจกว่าปีผลที่สวยงามนี้ได้ดึงดูดความสนใจของนักคณิตศาสตร์จำนวนมากและมีหลายพิสูจน์รู้จักกันดีของมัน [1] Fagnano ตัวเองเห็นได้ชัดใช้แคลคูลัสแตกต่างที่จะพิสูจน์มัน แต่ตามมาตรฐานทันสมัย​​ดูเหมือนว่าฉันว่านี้อยู่ไกลจากการออกกำลังกายเป็นประจำ บางทีอาจจะเป็นบทพิสูจน์ที่น่าสนใจที่สุดของทฤษฎีบทเป็นผู้ที่อยู่บนพื้นฐานของหลักการการสะท้อน, และสองของเหล่านี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากอิสระเพื่อลิตร Fej'er และ HA ชวาได้ทำให้ลักษณะที่ปรากฏในหนังสือหลายเล่มที่มุ่งเป้าไปที่ผู้ชมทั่วไป [2] [3] [4] [6] หลักฐานที่ใช้ในแคลคูลัสเวกเตอร์ปรากฏตัวเมื่อเร็ว ๆ นี้ [5] วัตถุประสงค์ของบันทึกนี้คือการเสนอหนึ่งขึ้นอยู่กับตรีโกณมิติ. ทฤษฎีบท 2. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ กับ = | BC | ข = | CA |, c = | AB | และพื้นที่? ถ้า XY Z จะถูกจารึกไว้ในเบื้องต้นแล้ว| XY | + | YZ | + | ZX? | ? 8 2 abc (1) ความเท่าเทียมกันถืออยู่ใน (1) และถ้าหาก ABC เป็นมุมแหลม; และหลังจากนั้นเพียงถ้า XY Z เป็นรูปสามเหลี่ยม orthic ของ ถ้า ABC เป็นมุมฉาก (ตามลำดับป้าน-มุม) และ C วันที่ตีพิมพ์: วันที่ 5 ธันวาคม 2007 การสื่อสารบรรณาธิการ:. พอลยูผู้เขียนเป็นผู้ตัดสินขอบคุณสำหรับข้อสังเกตที่เป็นประโยชน์ของเขา. 208 เอฟฮอลแลนด์เป็นขวา มุม (ตามลำดับมุมป้าน) แล้วความไม่เท่าเทียมกันที่แข็งแกร่งกว่า(1) ถือหุ้นกล่าวคือ. | XY | + | YZ | + | ZX |> 2HC (2) ที่ HC หมายถึงความยาวของระดับความสูงจาก C ; และในทั้งสองกรณีประมาณนี้เป็นไปได้ที่ดีที่สุด. 2 พิสูจน์ทฤษฎีบท 2 LetXY Z เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ในเบื้องต้น ให้ x = | BX |, y = | CY |, Z = | AZ |. แล้ว 0 <x <0 <y <b, 0 <Z <ค โดยใช้กฎโคไซน์ในสามเหลี่ยม ZBX เรามี| ZX | 2 = (c - Z) 2 + x2 - 2x (c - Z) ลงโทษ= (c - Z) 2 + x2 + 2x (c - Z) cos ( + C) = (x cos A + (c - Z) COSC) 2 + (x sinA - (c - Z) บาป C) 2. ดังนั้น| ZX |? | x cosA + (c - Z) cos C |, ที่มีความเท่าเทียมกันและถ้าหาก sinA x = (c - Z) sinc คือถ้าหากขวาน + cz = c2 (3) โดยกฎ Sine ในทำนองเดียวกัน| XY |? | และลงโทษ + (- x) cosA |, ที่มีความเท่าเทียมกันและถ้าหากขวาน + โดย = a2 (4) และ| YZ |? | Z COSC + (ข - y) ที่ลงโทษ |, ที่มีความเท่าเทียมกันและถ้าหากโดย + cz = b2 (5) ดังนั้นโดยความไม่เท่าเทียมกันสามเหลี่ยมสำหรับตัวเลขจริง| XY | + | YZ | + | ZX | ? | และลงโทษ + (- x) cos | + | + Z COSC (ข - y) ที่ลงโทษ | + | x cosA + (c - Z) cos C | ? | และลงโทษ + (- x) cos + Z + COSC (ข - y) ที่ลงโทษ + x cosA + (c - Z) cos C | = | cosA + B + C ลงโทษ cos C | = | a2 (b2 + c2 - a2) + b2 (c2 + a2 - b2) + c2 (a2 + b2 - c2) | 2abc = 8 2 abc . การตรวจสอบของทฤษฎีบท Fagnano อีก 209 นี้พิสูจน์ให้เห็น (1) นอกจากนี้ยังมีความเท่าเทียมกันที่นี่และถ้าหากสมการ (3) (4) และ (5) ถือและการแสดงออกu = x cosA + (c - Z) cos C, v = และลงโทษ + (- x ) cos, COSC W = Z + (ข - y) ที่ลงโทษ, มีทั้งทั้งหมดที่ไม่ใช่เชิงลบหรือทั้งหมดไม่ใช่ในเชิงบวก ตอนนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าระบบสมการ (3) (4) และ (5) มีการแก้ปัญหาเฉพาะที่ได้รับจากx = c ลงโทษ, y = COSC, Z = cosA ข, ซึ่งในกรณีu = ขลงโทษ, v = c cos C w = cosA. ดังนั้นในกรณีนี้ที่หนึ่งมากที่สุดของ u, V, W สามารถไม่ใช่ในเชิงบวก แต่ถ้าหนึ่งของ u, V, W เป็นศูนย์จากนั้นหนึ่งของ x, y, z ต้องเป็นศูนย์ซึ่งเป็นไปไม่ได้ มันเป็นไปตามที่| XY | + | YZ | + | ZX |> 8 2 abc , เว้นแต่ ABC เป็นมุมแหลมและ XY Z เป็นรูปสามเหลี่ยม orthic ของ ถ้า ABC เป็น acuteangled, แล้ว 8? 2 abc เป็นปริมณฑลของสามเหลี่ยม orthic ซึ่งในกรณีที่เรากู้ทฤษฎีบท Fagnano ของความเสมอภาคถูกบรรลุใน (1) เมื่อและเมื่อ XY Z เป็นรูปสามเหลี่ยม orthic. เปิดวันนี้ถึงกรณีที่ เอบีซีไม่ได้เป็นมุมแหลมสมมติว่าเป็นครั้งแรกที่ซีเป็นมุมขวา แล้ว| XY | + | YZ | + | ZX |> 8 2 abc = 4? C = 2HC, และอื่น ๆ (2) ถือหุ้นในกรณีนี้ ต่อไปถ้า C เป็นมุมป้านแสดงโดย D และ E ตามลำดับจุดตัดของด้าน AB และสายผ่านซีที่ตั้งฉากกับด้าน BC และ CA, ตามลำดับ จากนั้น Z เป็นภายในจุดหนึ่งในกลุ่มสาย [B, D] และ [อี] สมมติว่าสำหรับความชัดเจนว่าZ เป็นจุดภายในของ [B, D] ถ้า Y 'เป็นจุดตัดของ [x, y] และ[C, D] จากนั้น| XY | + | YZ | + | ZX | = | XY '| + | Y' Y | + | YZ | + | ZX | > | XY '| + | Y' Z | + | ZX | > 2HC, ตั้งแต่สามเหลี่ยม XY 'Z จะถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉาก BCD คล้ายอาร์กิวเมนต์ทำงานหาก Z เป็นจุดภายใน [อี] ดังนั้น (2) ยังถือถ้าซีเป็นป้าน. ที่ (2) จะแข็งแกร่งกว่า (1) สำหรับที่ไม่ใช่สามเหลี่ยมมุมแหลม, ดังมาจากความจริงที่ว่าในสามเหลี่ยม ABC ใด ๆ4 2 abc = 2 หรือไม่? บาป C C = sinc sinB? sinB = HC. มันยังคงที่จะพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันที่ (2) ไม่สามารถได้รับการปรับปรุงเมื่อมุม C เป็นสิทธิหรือป้าน หากต้องการดูนี้ให้ Z เป็นเท้าของเส้นตั้งฉากจาก C ไป AB, 210 เอฟฮอลแลนด์และ 0 <"<1. เลือก Y ในแคลิฟอร์เนียเพื่อให้ | CY | =" b, X บน BC เพื่อให้ XY เป็นคู่ขนาน เพื่อ AB จากนั้นเป็น "! 0+ ทั้ง x และ y มาบรรจบกันที่ C และอื่น ๆลิม"→ 0 + (| XY | + | YZ | + | ZX |) = | CC | + | CZ | + | ZC | = 2 . | CZ | = 2HC นี้เสร็จสิ้นหลักฐาน. อ้างอิง[1] A. Bogomolny ปัญหา Fagnano ของ: มันคืออะไร? http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Fagnano.shtml [2] HSM Coxeter, Introduction to เรขาคณิตไวลีย์, 1969. [3] อาร์คูรันต์และเอชร็อบบินส์, คณิตศาสตร์คืออะไร ?: วิธีการประถมศึกษาแนวคิดและวิธีการ, ฟอร์ด Univesity กด 1941. [4] ND Kazarinoff, เรขาคณิตอสมการ, สุ่มบ้าน, New York, 1961. [5] MH เหงียนหลักฐานอีกอย่างหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกัน Fagnano ของฟอรั่ม Geom. 4 (2004) 199-201. [6] เอช Rademacher และทุม Toeplitz, เพลิดเพลินคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยพรินซ์ กด1957. Finbarr ฮอลแลนด์: ภาควิชาคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยคอลเลจคอร์ก, ไอร์แลนด์E-mail address: [e-mail]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

บอร์ด geometricorum
เล่ม 7 ( 2550 ) 207 - 210 .





ชื่อฟอรั่ม กึม 1534-1178 อื่นตรวจสอบ fagnano ทฤษฎีบทของฮอลแลนด์



finbarr นามธรรม เราเสนอข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทของ trigonometrical fagnano ซึ่งรัฐ
ว่าในบรรดาสลักรูปสามเหลี่ยมในมุมสามเหลี่ยมให้แหลม เท้าของ
ระดับความสูงเป็นจุดของคนที่มีพื้นที่น้อย

1 บทนำ
เริ่มแรก ,และเพื่อหลีกเลี่ยงความคลุมเครือ เราแก้ไขคำศัพท์ต่อไปนี้ ปล่อยให้
ABC เป็นสามเหลี่ยม เท้าของระดับความสูงที่เป็นจุดของสิ่งที่เราเรียก
orthic สามเหลี่ยม และถ้า x , y และ z ตามลำดับ มีจุดภายในด้านข้าง
AB , BC , CA ตามลำดับ เราเรียกว่าสามเหลี่ยม XY Z เป็นจารึกของสามเหลี่ยม ABC
.
ใน 1775 fagnano พิสูจน์ ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1สมมติว่า ABC เป็นสามเหลี่ยมที่มีมุมเฉียบพลัน . ของสามเหลี่ยม ABC (
, orthic สามเหลี่ยมมีขอบน้อยที่สุด

ไม่น่าแปลกใจกว่าปี ผลที่สวยงามนี้ได้ดึงดูดความสนใจ
ของนักคณิตศาสตร์มากมาย และมีหลักฐานหลายอย่างที่รู้จัก [ 1 ] fagnano
เองเห็นได้ชัดว่าใช้แคลคูลัสเพื่อพิสูจน์มัน แม้ว่า ตามมาตรฐานที่ทันสมัย
มันดูเหมือนว่าฉันว่ามันห่างไกลจากการออกกำลังกายตามปกติ อาจจะน่าสนใจที่สุด
พิสูจน์ทฤษฎีบทนั้นขึ้นอยู่กับการสะท้อนหลักการ
และสองของเหล่านี้ โดยเฉพาะ เนื่องจากเป็นอิสระที่จะ . fej ใหม่เอ้อและ H . A . ชวาร์ซ
ได้ , ลักษณะที่ปรากฏในหนังสือหลายเล่มเพื่อให้ผู้ชมทั่วไป [ 2 ] , [ 3 ]
[ [ 4 ] 6 ] หลักฐานตามเวกเตอร์แคลคูลัสที่ปรากฏเมื่อเร็ว ๆนี้ [ 5 ]วัตถุประสงค์ของบันทึกนี้ให้หนึ่ง


ตามตรีโกณมิติ ทฤษฎีบท 2 ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มี | | BC = , B = | CA | , C = | AB | และพื้นที่

. ถ้า XY Z คือ inscribed ใน ABC แล้ว
| XY | | Y Z | | ZX | 
8
ABC 2

( 1 )
ความเสมอภาคถือ ( 1 ) ถ้าและเพียงถ้า ABC เป็นแหลม เหลี่ยม แล้วถ้า XY Z
เป็น orthic สามเหลี่ยม ถ้า ABC เป็นมุม ( มุมขวา ) มุมป้าน ) และ C
วันที่เผยแพร่ : 5 ธันวาคม 2007 การแก้ไข : พอล หยู
ผู้เขียนขอบคุณผู้ตัดสินสำหรับข้อสังเกตที่เป็นประโยชน์ของเขา แต่ เอฟ ฮอลแลนด์

เป็นมุมฉาก ( ตามลำดับ มุมป้าน ) แล้วมีความแข็งแกร่งกว่า
( 1 ) เก็บ ได้แก่ ,
| XY | | Y Z | | ZX | 2hc > , ( 2 )
ที่ HC แสดงความยาวของความสูงจาก C ; และในทั้งสองกรณีนี้เป็นไปได้ที่ดีที่สุดประมาณการ
.
2ข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทที่ 2
letxy Z เป็นจารึกในสามเหลี่ยม ABC ให้ x = | BX | , Y = | ไซ | , Z = | AZ | .
แล้ว 0 < x < , 0 < Y < b , 0 < Z < C โดยการใช้ cosine กฎในสามเหลี่ยม zbx เรา

| ZX | 2 = ( C −− 2 x2 Z ) 2 x ( C − Z ) cosb
= ( C − Z ) 2 x2 2x ( C − Z ) cos ( C )
= ( x cos ( C − Z ) COSC ) 2 ( Sina − ( − Z X C ) sin C ) 2 .

เพราะ | ZX |  | โคซา ( − Z X C )
| cos C ,ด้วยความเสมอภาค ถ้าและเพียงถ้า x Sina = ( C − Z ) sinc เช่น ถ้าและเพียงถ้า
ขวาน CZ = C2 ( 3 )
โดย ไซน์ กฎ ในทํานองเดียวกัน
| XY |  | Y cosb ( − x )
| โคซา , ความเท่าเทียม ถ้าและเพียงถ้า
ขวานโดย = A2 . ( 4 )

| Y และ Z |  | COSC ( − Z B Y )
| cosb , ความเท่าเทียม ถ้าและเพียงถ้า
โดย CZ = B2 . ( 5 )
ดังนั้นโดยสามเหลี่ยมที่เท่าเทียมกันสำหรับตัวเลขจริง
| XY | | Y Z | | ZX |
 | Y cosb ( − x ) เพราะเป็น | | COSC ( − Z B Y ) cosb | โคซา | X ( C − Z ) cos C |
 | Y cosb ( − cos x ) Z ( B COSC − Y ) X cosb โคซา ( C − Z ) C |
คอส = | เป็นสิ่ง cosb cos C C B |
=
| A2 ( B2 C2 − ( − A2 ) B2 C2 A2 B2 ) C2 ( A2 B2 − C2 ) |
2abc
=
8
2
,
.
อีกการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ fagnano 209
นี้พิสูจน์ ( 1 ) นอกจากนี้ มีความเสมอภาค ที่นี่ถ้าและเพียงถ้าสมการที่ ( 3 )( 4 ) และ ( 5 )
ไว้และการแสดงออก
u = x โคซา ( C − Z ) cos C ,
V = Y cosb ( − 1 ) = cos A ,
w Z ( B cosb COSC − Y )
, ไม่ก็ไม่ลบ หรือ ไม่บวก ตอนนี้มันเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่า
ระบบสมการ ( 3 ) , ( 4 ) และ ( 5 ) มีเฉพาะโซลูชั่นให้โดย
x = c cosb , Y = COSC , Z = b โคซาซึ่งในกรณีนี้
U
, B cosb = V = C และ C , W = โคซา .
ดังนั้น ในกรณีนี้ที่ที่สุดของ U , V , W จะไม่บวก แต่ถ้าเป็น u , v , w
เป็นศูนย์แล้วหนึ่งของ X , Y , Z ต้องเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นไปไม่ได้ มันเป็นไปตามที่
| XY | | Y Z | | ZX | >
8
2


ถ้า ABC ABC , แหลมมุมและ XY Z เป็น orthic สามเหลี่ยม ถ้า ABC เป็น acuteangled 2

แล้ว 8 ,
ABC เป็นปริมณฑลของ orthic สามเหลี่ยม ซึ่งในกรณีที่เรากู้ fagnano
ทฤษฎีบทของความเสมอภาคในการบรรลุ ( 1 ) เมื่อและเฉพาะเมื่อ XY Z
สามเหลี่ยม orthic .
เปลี่ยนตอนนี้เพื่อกรณีเมื่อ ABC ไม่แหลมมุมสมมติก่อนว่า C
มุมขวา แล้ว
| XY | | Y Z | | ZX | >
8
ABC
=
2
4

C
=
2hc ดังนั้น , และ ( 2 ) ถือในคดีนี้ ต่อไป ถ้า C เป็นมุมป้าน ( แสดงโดย , D และ E ,
2 จุดแยกที่ด้าน AB และ C
เส้นผ่านจะตั้งฉากกับด้าน BC และ CA ตามลำดับ แล้ว Z เป็นจุดภายใน
ของหนึ่งในกลุ่ม [ สาย B , D ] และ [ E , ] สมมติว่าสำหรับ definiteness ที่
Z เป็นจุดภายในของ [ B , D ] ถ้า Y นั้นเป็นจุดตัดของ [ x , y ]
[ c , d ] แล้ว
| XY | | Y Z | | ZX | = | XY ดูแล | | Y Y | นั้น | Y Z | | ZX |
> | XY ดูแล | | Y Z | นั้น | ZX | 2hc

> ,เนื่องจากสามเหลี่ยม XY Z นั้นบันทึกไว้ในขวามุม BCD สามเหลี่ยม อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกัน
ทำงานถ้า z เป็นจุดภายในของ [ E , ] ดังนั้น ( 2 ) ยังถือว่าถ้า C
.
( 2 ) แรงกว่า ( 1 ) , ไม่แหลมมุมสามเหลี่ยม ดังนี้ จาก
ที่ว่าในสามเหลี่ยม ABC ,
2
4
ABC
=
2
บาป C
C
= sinb sinc  เป็น sinb =
HC .มันยังคงที่จะเห็นว่าความเหลื่อมล้ำ ( 2 ) สามารถปรับปรุงเมื่อมุม C
ใช่หรือมุมป้าน . ที่เห็นนี้ ให้ Z เป็นเชิงตั้งฉากกับ AB C , F .

210 และฮอลแลนด์ 0 < " < 1 เลือก Y ใน CA เพื่อให้ | ไซ | = " b , x ในพ.ศ. เพื่อให้ขนานกับ AB
xy เป็นแล้ว เป็น " 0 ทั้ง X และ Y เป็น C แล้ว

" ลิม→ keyboard - key - name 0
( | XY | | Y Z | | ZX | ) = | CC | | CZ | | ZC | = 2 | CZ | =
2hc .นี้เสร็จสิ้น หลักฐาน อ้างอิง

[ 1 ] . bogomolny ปัญหา fagnano : มันคืออะไร ?
http : / / www.cut-the-knot . org / หลักสูตร / เรขาคณิต / fagnano . shtml
[ 2 ] H . S . M . Coxeter พื้นฐานเรขาคณิต , นิ่ง , 1969 .
[ 3 ] อาร์คูรันต์และ H . Robbins , คณิตศาสตร์คืออะไร ? : แนวทางเบื้องต้นแนวคิดและวิธีการที่มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด
, กด , 2484 .
[ 4 ] . D . kazarinoff เรขาคณิตอสมการ , สุ่มบ้านนิวยอร์ก 1961 .
[ 5 ] . h . เหงียน อีกหลักฐาน fagnano ความไม่เท่าเทียมกัน , ฟอรั่ม Geom . 4 ( 2004 ) 199 – 201 .
[ 6 ] H และ O . rademacher เมทริกซ์โทปลิทซ์ , ความเพลิดเพลินของคณิตศาสตร์
1957 มหาวิทยาลัยพรินซ์ตันกด .
finbarr ฮอลแลนด์ : กรม , วิทยาลัย , มหาวิทยาลัยจุก คณิตศาสตร์ , อีเมล์ [e-mail]
: ไอร์แลนด์