7 Concluding remarksIn this paper,

7 Concluding remarks
In this paper, we have introduced two models usually fitted to counts data: Poisson regression and Zero-inflated Poisson regression. Maximum likelihood techniques are used to estimate the parameters of both models. Since the Hessian matrix associated to the Poisson regression is negative, the Newton–Raphson iterative algorithm converges rapidly and provides unique parameters estimates. The EM algorithm, used to maximize the likelihood of Zero-inflated Poisson regression, proceeds iteratively via three steps: E step, M step for truncated Poisson model and M step for binomial model. The EM algorithm estimates the expectations of missing data and iterates until convergence. Given a significance level (e.g. 5 %) Wald test, Lagrange Multiplier test or Likelihood Ratio test are used to measure the significance of factors incorporated in each model. The equidispersion assumption of Poisson regression was tested using LM test introduced by [8] and regression test set by [4]. These tests have proved the overdispersion of the number of claims in a Moroccan private health insurance scheme. According to histogram, which is highly peaked at zero, we state that this overdispersion is due to the preponderance of zeroes in the population. In such case, we have shown that standard Poisson model is unable to reproduce the number of zeroes in the data and therefore, underestimates the dispersion of the population. Alternatively, we have fitted Zero-Inflated Poisson model. We have shown that this model simulates well the data and the number of zeroes reproduced by it is very close to the number of zeroes in the population. Finally, we have computed Vuong’s test and the probability integral transforms for selecting the best model in the case of excess of zeroes. We can conclude that Zero-inflated Poisson regression fits excess of zeroes counts data better than standard Poisson regression.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

หมายเหตุ Concluding 7In this paper, we have introduced two models usually fitted to counts data: Poisson regression and Zero-inflated Poisson regression. Maximum likelihood techniques are used to estimate the parameters of both models. Since the Hessian matrix associated to the Poisson regression is negative, the Newton–Raphson iterative algorithm converges rapidly and provides unique parameters estimates. The EM algorithm, used to maximize the likelihood of Zero-inflated Poisson regression, proceeds iteratively via three steps: E step, M step for truncated Poisson model and M step for binomial model. The EM algorithm estimates the expectations of missing data and iterates until convergence. Given a significance level (e.g. 5 %) Wald test, Lagrange Multiplier test or Likelihood Ratio test are used to measure the significance of factors incorporated in each model. The equidispersion assumption of Poisson regression was tested using LM test introduced by [8] and regression test set by [4]. These tests have proved the overdispersion of the number of claims in a Moroccan private health insurance scheme. According to histogram, which is highly peaked at zero, we state that this overdispersion is due to the preponderance of zeroes in the population. In such case, we have shown that standard Poisson model is unable to reproduce the number of zeroes in the data and therefore, underestimates the dispersion of the population. Alternatively, we have fitted Zero-Inflated Poisson model. We have shown that this model simulates well the data and the number of zeroes reproduced by it is very close to the number of zeroes in the population. Finally, we have computed Vuong’s test and the probability integral transforms for selecting the best model in the case of excess of zeroes. We can conclude that Zero-inflated Poisson regression fits excess of zeroes counts data better than standard Poisson regression.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

7 สรุปข้อสังเกต
ในบทความนี้เราได้นำสองรุ่นมักจะ Fi tted ข้อมูลนับ: Poisson ถดถอยและศูนย์ในฟลอริด้า ated Poisson ถดถอย เทคนิคโอกาสสูงสุดที่ใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของทั้งสองรุ่น ตั้งแต่ The Matrix รัฐที่เกี่ยวข้องกับการถดถอยปัวซองเป็นลบอัลกอริทึมซ้ำ Newton-Raphson ลู่อย่างรวดเร็วและให้ประมาณการค่าพารามิเตอร์ที่ไม่ซ้ำกัน อัลกอริทึม EM ที่ใช้ในการเพิ่มโอกาสในการเป็นศูนย์ในฟลอริด้า ated Poisson ถดถอยซ้ำดำเนินการผ่านขั้นตอนที่สาม: E ขั้นตอน M ขั้นตอนสำหรับการตัดทอนรูปแบบ Poisson และขั้นตอน M สำหรับรูปแบบทวินาม อัลกอริทึม EM ประมาณการความคาดหวังของข้อมูลและ iterates หายไปจนบรรจบ กำหนดนัยสำคัญ Fi ระดับนัย (เช่น 5%) การทดสอบ Wald, Lagrange คูณทดสอบหรืออัตราส่วนการทดสอบที่ใช้ในการวัดความนัยมีนัยสำคัญของปัจจัยนิติบุคคลที่จัดตั้งขึ้นในแต่ละรุ่น สมมติฐาน equidispersion ของ Poisson ถดถอยได้รับการทดสอบการใช้การทดสอบ LM นำโดย [8] และการถดถอยการทดสอบที่กำหนดโดย [4] การทดสอบเหล่านี้ได้พิสูจน์แล้วว่า overdispersion จำนวนของการเรียกร้องในโครงการประกันสุขภาพภาคเอกชนโมร็อกโก ตามที่ histogram ซึ่งเป็นยอดสูงที่ศูนย์เราระบุว่า overdispersion นี้เกิดจากการครอบงำของศูนย์ในประชากร ในกรณีเช่นนี้เราได้แสดงให้เห็นว่ารูปแบบมาตรฐาน Poisson ไม่สามารถที่จะทำซ้ำจำนวนเลขในข้อมูลและดังนั้นจึง, ดูถูกการกระจายตัวของประชากร หรืออีกวิธีหนึ่งที่เราได้ Fi tted ศูนย์ในฟลอริด้า ated รุ่น Poisson เราได้แสดงให้เห็นว่ารูปแบบนี้เลียนแบบเดียวกับข้อมูลและจำนวนเลขศูนย์ทำซ้ำโดยมันอยู่ใกล้กับจำนวนเลขในประชากร สุดท้ายเราได้คำนวณการทดสอบและความน่าจะเป็นแปลงหนึ่ง Vuong สำหรับการเลือกรูปแบบที่ดีที่สุดในกรณีที่เกินกว่าศูนย์ เราสามารถสรุปได้ว่าเป็นศูนย์ในฟลอริด้า ated Poisson ถดถอย Fi TS ส่วนที่เกินจากศูนย์นับข้อมูลที่ดีกว่ามาตรฐานการถดถอยปัวซอง