Since (r, s)=1, it is easy to see t

Since (r, s)=1, it is easy to see that (rs, r2 − s2) = 1. Here both rs and
r2 − s2 are perfect square. Since r and s are opposite parity and (r, s) = 1, it
follows that (r − s, r + s) = 1. Using the fact that r2 − s2 = (r − s) (r + s) ,
it is seen that r − s and r + s are perfect square. Then, there exist integers
t, k, c, d such that r = t
2, s = k2, r −s = c2 and r +s = d2. So, we immediately
have t
2 − k2 = c2 and t
2 + k2 = d2. Besides, using v = 2rs, b2 = 2uv and
s = k2, we see that b2 = 4urk2. This implies that k < b. But this contradicts
the definition of b. As a consequence, there is no integers a, b, x, y such that
a2 − b2 = x2 and a2 + b2 = y2.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตั้งแต่ (r, s) = 1 มันเป็นเรื่องง่ายเพื่อดูว่า (rs, r2 − s2) = 1 ที่นี่ทั้งอาร์เอส และr2 − s2 เป็นสี่เหลี่ยม R และ s เป็นตรงข้ามเท่าเทียมกัน และ (r, s) = 1 มันตามที่ (r − s, r + s) = 1 ใช้ความจริงที่ว่า s2 − r2 = (r − s) (r + s),จะเห็นว่า r − s และ r + s เป็นสี่เหลี่ยม จากนั้น มีอยู่เต็มt, k, c, d ดังกล่าวที่ r = t2, s = k2, r −s = c2 และ r + s = d2 ดังนั้น เราทันทีมี t2 − k2 = c2 และ t2 + k2 = d2 นอกเหนือจาก ใช้ v = 2rs, b2 = 2uv และs = k2 เราเห็นที่ b2 = 4urk2 บ่งชี้ที่ k < b แต่นี้ขัดแย้งกับคำนิยามของ b เป็นผล จะไม่มีจำนวนเต็ม a, b, x, y ซึ่งa2 − b2 = x2 และ a2 + b2 = y2

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตั้งแต่ (R, S) = 1 มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า (RS, R2 - S2) = 1 นี่ทั้งอาร์เอสและ
R2 - S2 เป็นตารางที่สมบูรณ์ ตั้งแต่ R และ s มีความเท่าเทียมกันและตรงข้าม (R, S) = 1 ก็
ต่อว่า (R - S, R + s) = 1 ใช้ความจริงที่ว่า R2 - S2 = (R - s) (R + S)
จะเห็นได้ว่า R - และ R + s เป็นตารางที่สมบูรณ์ จากนั้นมีอยู่ integers
T, K, C, D ดังกล่าวว่า T r =
2, S = K2, R = -s C2 และ R + S = D2 ดังนั้นเราได้ทันที
มี T
2 - K2 = C2 และเสื้อ
2 + K2 = D2 นอกจากนี้ยังใช้ v = 2RS, B2 = 2uv และ
s = K2 เราจะเห็นว่า b2 = 4urk2 นี่ก็หมายความว่า k <b แต่นี้ขัดแย้งกับ
ความหมายของข เป็นผลให้ไม่มีจำนวนเต็ม A, B, X, Y ดังกล่าวที่
A2 - B2 = x2 และ A2 + B2 = Y2

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตั้งแต่ ( r , s ) = 1 , มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า ( RS , R2 − S2 ) = 1 ที่นี่ทั้ง อาร์เอส และR − S2 สมบูรณ์แบบสแควร์ ตั้งแต่ r และ s เป็นตรงข้ามกัน และ ( r , s ) = 1 ,ดังนี้ ( r − s , R + S ) = 1 ใช้ความจริงที่ว่า R2 − S2 = ( r − s ) ( r + s )จะเห็นได้ว่า R − S และ R + s สมบูรณ์แบบสแควร์ แล้วมีจำนวนเต็มt , K , C , D , R = t เช่น2 , S = K2 R − s = C2 r + s = D2 . ดังนั้น , เรา ทันทีมี t2 − 2 = C2 และ t2 + K2 = D2 . นอกจากนี้ การใช้ 2uv = v = 2RS , B2 และS = ทางเราเห็นว่า B2 = 4urk2 . แสดงว่า K < b แต่นี้ขัดแย้งกับนิยามของ เป็นผลให้ไม่มีจำนวนเต็ม a , b , x , y เช่นA2 − 2 = x2 และ A2 + B2 = 2 .