There is still another point, which

There is still another point, which would require a long and technical discussion once it was introduced, without substantially changing the outcome. Speaking of pure (not applied) mathematics, one might say:

6 "Arithmetical propositions are not analytic by themselves: they are analytic only in the context of an arithmetical system. If you accept Peano's postulates, you can generate all of arithmetic as a logical consequence of these postulates; but you must first accept the postulates.
Peano's postulates are as follows:
1. 0 is a number
2. The successor of any number is a number
3. No two numbers have the same successor.
4. 0 is not the successor of any number.
5. If P is a property such that (a) 0 has the property P, and (b) if a number n has P, then the successor of n has P, then every number has P

Using three undefined terms- number "0," and "successor"-he was able to generate an infinite series of numbers from these axioms. The axioms yield the entire system of integers. Are the axioms themselves analytic? If they are taken as definitions and statements of defining characteristics, they are; and since any propositions deduced from analytic propositions are also analytic,the propositions of arithmetic are as analytic as before.

For the sake of accuracy, however, we must remind ourselves that the postulates can be construed (and were intended to be construed) not as propositions but as propositional forms, like the p,q and r of our tautologies (pp 164-65). Peano left the terms "number," "0," and "successor" uninterpreted. We might then give the postulates an entirely non-arithmetical interpretation: for example, we could take "successor" to mean offspring, and "number" to mean chicken, and then by Axiom 2 we could derive the conclusion that the offspring of a chicken is a chicken-which is a synthetic statement about the world, and although it happens to be true, it is a contingent truth, not a necessary truth. The axioms become arithmetical only when the terms number. "0," and "successor" are interpreted in accordance with customary arithmetical usage (as is done for example in Bertrand Russell and Alfred Whitehead's Principia Mathematica and Gottlob Frege's Foundations of Arithmetic). The only point that concerns us here is that when this is done, the axioms become analytic, and in consequence all arithmetical propositions deducible from these axioms are also analytic.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

มีจุดอื่นยังคง ซึ่งจะต้องมีการสนทนาที่ยาวนาน และทางเทคนิคเมื่อมันถูกนำมาใช้ ผลที่เปลี่ยนแปลงอย่างมีนัยสำคัญ พูดคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ (ไม่ใช้) หนึ่งอาจพูดว่า: 6 " arithmetical propositions จะไม่วิเคราะห์ ด้วยตัวเอง: จะวิเคราะห์ในบริบทของระบบ arithmetical เท่านั้น ถ้าคุณยอมรับของ Peano postulates คุณสามารถสร้างทั้งหมดของเลขคณิตเป็นผลเป็นตรรกะของ postulates เหล่านี้ แต่คุณต้องยอมรับการ postulates ของ Peano postulates มีดังต่อไปนี้:1. 0 เป็นตัวเลข 2. ทายาทของจำนวนใด ๆ เป็นตัวเลข 3. ไม่มีเลขสองมีทายาทเหมือนกัน 4. 0 ไม่ใช่ทายาทของเลขใด ๆ ถ้า P เป็นเช่นที่ 0 (ก) มีคุณสมบัติ P และ (ข) ถ้าจำนวน n มี P แล้วทายาทของ n P แล้วทุกหมายเลขมี P ใช้สามไม่ได้กำหนดเงื่อนไขหมายเลข "0" และ "สืบ" -สามารถสร้างชุดหมายเลขไม่สิ้นสุดจากหลักการเหล่านี้ หลักผลิตทั้งระบบจำนวนเต็ม มีหลักการวิเคราะห์ตนเอง ถ้าพวกเขานำมาเป็นข้อกำหนดและคำสั่งการกำหนดลักษณะ พวกเขากำลัง และเนื่องจากยังมีข้อเสนอใด ๆ ซึ่งสามารถกล่าวได้จากข้อเสนอวิเคราะห์วิเคราะห์ propositions ของเลขคณิตจะเป็นวิเคราะห์เป็นก่อน เพื่อความถูกต้อง อย่างไรก็ตาม เราต้องเตือนตัวเองที่สามารถตีความการ postulates (และมีเจตนาที่จะตีความ) ไม่ได้ เป็นข้อเสนอ แต่ เป็น ฟอร์ม propositional เช่น p, q และ r ของเรา tautologies (pp 164-65) Peano ซ้ายคำว่า "หมายเลข "0 และ "สืบ" เธอ เราอาจให้การ postulates การวิเคราะห์ทั้งหมดปลอด-arithmetical: ตัวอย่างเช่น เราอาจใช้ "สืบ" หมายถึงลูกหลาน และ "หมายเลข" หมายถึง ไก่ แล้ว ตามด้วย 2 เราอาจได้ข้อสรุปว่า เชื้อสายของไก่เป็นไก่แบบซึ่งสัจพจน์เป็นรายงานสังเคราะห์เกี่ยวกับโลก และแม้ว่ามันเกิดขึ้นจริง เป็นความจริงอาจเกิดขึ้น ไม่เป็นความจริงที่จำเป็น หลักเป็น arithmetical เมื่อหมายเลขข้อตกลง "0" และ "สืบ" จะตีความตามการใช้งาน arithmetical จารีตประเพณี (เป็นทำเช่นใน Bertrand รัสเซล และอัลเฟรด Whitehead Principia Mathematica และ Gottlob Frege พื้นฐานของเลขคณิต) จุดเดียวที่เกี่ยวข้องกับเราที่นี่คือเมื่อเสร็จ หลักจะวิเคราะห์ และผลที่ตามมา ทั้งหมด arithmetical propositions deducible จากหลักการเหล่านี้ยังวิเคราะห์

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ยังมีอีกจุดหนึ่งซึ่งจะต้องมีการอภิปรายนานและทางเทคนิคเมื่อมันถูกนำมาใช้โดยไม่ต้องมีนัยสำคัญการเปลี่ยนแปลงผล การพูดของบริสุทธิ์ (ไม่ได้ใช้) คณิตศาสตร์คนหนึ่งอาจจะบอกว่า:

6 "ข้อเสนอคณิตศาสตร์ไม่ได้วิเคราะห์ด้วยตัวเอง: พวกเขาจะวิเคราะห์เฉพาะในบริบทของระบบคณิตศาสตร์ถ้าคุณยอมรับสมมุติฐานอาโน่ของคุณสามารถสร้างทั้งหมดของเลขคณิตเป็นตรรกะ. ผลมาจากสมมุติฐานเหล่านี้ แต่คุณต้องยอมรับสมมุติฐานได้.
สมมุติฐานของ Peano มีดังนี้
1. 0 เป็นเลข
2 ทายาทของจำนวนใด ๆ ที่เป็นจำนวน
3 ไม่มีตัวเลขสองมีทายาทเดียวกัน.
4. 0 ไม่ ตัวตายตัวแทนของจำนวนใด ๆ .
5. ถ้า P เป็นทรัพย์สินดังกล่าวว่า (ก) 0 มีคุณสมบัติ P และ (ข) ถ้าจำนวน n ได้ P แล้วทายาทของ n มี P แล้วจำนวนทุกคนมี P

ใช้สาม ไม่ได้กำหนดจำนวน terms- "0" และ "ทายาท" -he ก็สามารถที่จะสร้างแบบไม่มีที่สิ้นสุดของตัวเลขจากหลักการเหล่านี้. หลักการผลผลิตทั้งระบบของจำนวนเต็ม. เป็นหลักการของตัวเองการวิเคราะห์หรือไม่ถ้าพวกเขาถูกนำมาเป็นคำจำกัดความและงบ การกำหนดลักษณะที่พวกเขามีและตั้งแต่ข้อเสนอใด ๆ อนุมานจากข้อเสนอการวิเคราะห์นอกจากนี้ยังมีการวิเคราะห์ข้อเสนอของเลขคณิตเป็นวิเคราะห์เป็นมาก่อน.

เพื่อประโยชน์ของความถูกต้อง แต่เราต้องเตือนตัวเองว่าสมมุติฐานที่สามารถตีความ (และเป็น ตั้งใจที่จะตีความ) ไม่เป็นข้อเสนอ แต่เป็นรูปแบบประพจน์เช่น p, q และ r ของ tautologies ของเรา (PP 164-65) อาโน่ซ้ายคำว่า "จำนวน", "0" และ "ทายาท" uninterpreted จากนั้นเราอาจจะให้สมมุติฐานที่ตีความอย่างสิ้นเชิงไม่ใช่คณิตศาสตร์: ยกตัวอย่างเช่นเราอาจจะใช้ "ทายาท" หมายถึงลูกหลานและ "จำนวน" หมายถึงไก่แล้วโดยความจริง 2 ที่เราจะได้มาซึ่งข้อสรุปที่ว่าลูกหลานของไก่ เป็นไก่ซึ่งเป็นคำสั่งที่สังเคราะห์เกี่ยวกับโลกและแม้ว่ามันจะเกิดขึ้นเป็นจริงก็คือความจริงที่อาจเกิดขึ้นไม่ได้เป็นความจริงที่จำเป็น กลายเป็นหลักการคณิตศาสตร์เฉพาะเมื่อจำนวนข้อตกลง "0" และ "ทายาท" จะถูกตีความให้สอดคล้องกับการใช้งานเกี่ยวกับคณิตศาสตร์จารีตประเพณี (เท่าที่จะกระทำเช่นในเบอร์ทรานด์รัสเซลและอัลเฟรดสิว Principia Mathematica และมูลนิธิ Gottlob Frege ของเลขคณิต) จุดเฉพาะที่เกี่ยวกับเราที่นี่ก็คือว่าเมื่อนี้จะทำสัจพจน์กลายวิเคราะห์และในผลข้อเสนอเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ทั้งหมด deducible จากหลักการเหล่านี้ยังมีการวิเคราะห์

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ยังมีอีกจุดหนึ่ง ซึ่งจะต้องใช้เทคนิคและการอภิปรายยาวเมื่อมันถูกเปิดตัวโดยมากการเปลี่ยนผล การพูดของบริสุทธิ์ ( ยังไม่ใช้ ) คณิตศาสตร์ หนึ่งอาจพูดว่า6 " ข้อเสนอเลขคณิตไม่วิเคราะห์ด้วยตนเอง : พวกเขาจะวิเคราะห์เฉพาะในบริบทของระบบเลขคณิต ถ้าคุณยอมรับเปอาโนสมมติฐานของ คุณสามารถสร้างทั้งหมดของคณิตศาสตร์ที่เป็นผลมาจากตรรกะของสมมติฐานเหล่านี้ แต่คุณจะต้องยอมรับสมมุติฐาน .เปอาโนเป็นสมมุติฐานดังนี้1 . 0 เป็นจํานวน2 . ทายาทของจํานวนใด ๆเป็นหมายเลข3 . ไม่มีตัวเลขสองมีทายาทเหมือนกัน4 . 0 ไม่ได้เป็นผู้สืบทอดของจํานวนใด ๆ5 . ถ้า p เป็นคุณสมบัติเช่น ( ) 0 มีคุณสมบัติ P ( B ) ถ้าจำนวน n ได้ P แล้วทายาทของ N ได้ P แล้วทุกหมายเลขมี pใช้สาม undefined แง่ - เลข " 0 " และ " ทายาท " -- เขาสามารถสร้างชุดอนันต์ของตัวเลขจากสัจพจน์เหล่านี้ สัจพจน์ผลผลิตระบบทั้งหมดของจำนวนเต็ม . เป็นหลักการวิเคราะห์ตัวเอง ? ถ้าจะเอาความหมายและข้อความของลักษณะเฉพาะ พวกเขา และเนื่องจากข้อเสนอ deduced จากการวิเคราะห์ยังวิเคราะห์ข้อเสนอ , ข้อเสนอของคณิตศาสตร์เป็นแบบก่อนเพื่อความถูกต้อง อย่างไรก็ตาม เราต้องเตือนตัวเองว่า สมมุติฐานสามารถตีความ ( และตั้งใจจะตีความ ) ไม่ได้เป็นข้อเสนอแต่เป็นรูปแบบเชิงประพจน์ เช่น P , Q และ R ของ tautologies ของเรา ( PP 164-65 ) เปอาโนซ้ายเงื่อนไข " เลข " 0 " และ " ทายาท " uninterpreted . เราอาจจะให้สมมุติฐานทั้งหมดไม่ใช่เลขคณิตแปล : ตัวอย่างเช่น เราอาจจะใช้ " ทายาท " หมายถึงลูกหลาน และ " จำนวน " หมายถึง ไก่ แล้ว โดยเราสามารถสร้างสัจพจน์ 2 สรุปได้ว่าลูกหลานของไก่เป็นไก่ซึ่งเป็นงบสังเคราะห์เกี่ยวกับโลก และแม้ว่ามัน เกิดขึ้นจริง มันเป็นความจริงที่ไม่เป็นความจริง สัจพจน์เป็นเลขคณิตเฉพาะเมื่อเงื่อนไขหมายเลข " . 0 " และ " ทายาท " จะถูกตีความให้สอดคล้องกับการใช้จารีตประเพณีเลขคณิต ( เสร็จตัวอย่างเช่นในเบอร์ทรันด์ รัสเซลล์ และอัลเฟรดไวท์เฮด principia Mathematica และ gottlob frege พื้นฐานคณิตศาสตร์ ) เฉพาะจุดที่เรากังวลคือว่า เมื่อสิ่งนี้เกิดขึ้น สัจพจน์เป็นเชิงวิเคราะห์ และผลทั้งหมดเลขคณิตข้อเสนออนุมานจากสัจพจน์เหล่านี้ยังได้วิเคราะห์