I. INTRODUCTIONWhen a fluid pours f

I. INTRODUCTION
When a fluid pours from an outlet into the air, it forms a
free-falling stable jet that accelerates, stretches, and narrows
under the influence of gravity.1 The jet flow behavior is of
considerable interest in fluid mechanics and engineering
practice and has found a wide variety of applications such as
the sol-gel process in the production of small fluid particles,
the spinning processes in fabrication of polymer fibers, and
biomedical devices. Recently, a liquid microjet has been produced2
that can be used in spacecraft propulsion, fuel injection,
mass spectroscopy, and ink-jet printing.
The key challenge when analyzing a jet flow is to find the
jet shape function (JSF);3–8 that is, the relationship between
the jet radius r and the axial distance z from the exit orifice.
For laminar flow of an isothermal liquid with a density q,
issuing from a circular orifice of radius R0 with exit velocity
t0 in a gravitational field g, dimensional analysis predicts the
following functional dependence for the JSF:
~z ¼ fðr~; Fr; We; ReÞ: (1)
Here, ~z ¼ z=R0 and r~ ¼ ~z=R0 are the reduced jet length and
jet radius, respectively, and the key dimensionless group parameters
in the problem are the Froude number ðFrÞ, the
Weber number ðWeÞ and the Reynolds number ðReÞ, given
by
Fr ¼ t2
0
2R0g
; We ¼ 2R0qt2
0
c ; Re ¼ 2R0qt0
g : (2)
These quantities represent, respectively, the relative effects
of gravity ðgÞ, surface tension ðcÞ, and viscosity ðgÞ in comparison
to inertia, with each defined to be large when inertial
effects are comparatively large.
Neglecting the surface tension effect, Clarke9 derived an
analytical JSF for viscous fluids in terms of the Airy function.
However, his JSF is valid only for high Re because at
low Re the effect of the surface tension becomes more significant
than the viscosity10 and cannot be ignored.11 Adachi12
analyzed the effects of the fluid viscosity and surface tension
in the asymptotic regions of high and low Reynolds number.
No analytical equation for the JSF over a wide range of all
three dimensionless group numbers is known. For inviscid
fluids (the limit of large Re but still laminar flow), an analytical
form of JSF proposed by many authors can be summarized
as13
~z ¼ Fr
1
r~4 m
n
Bo
1
r~ 1
; (3)
where the first term is due to gravity while the second is the
surface tension term due to the curvature of the liquid-air jet
surface. Here Bo ¼ We=Fr ¼ 4R2
0qg=c is the Bond number,
characterizing the relative effect of gravity with respect to
surface tension, while m and n are parameters of the model.
According to Kurabayashi,5 n ¼ 8, whereas the slenderness
approximation used by Anno6 yelds n ¼ 4. For n ¼ 0 and
large Bond numbers, Eq. (3) reduces to the well-known
Weisbach equation14
~z ¼ Fr
1
r~4 1
: (4)
The effects of surface tension and viscosity on the form of
the stationary jet are active research topics15–17 and not yet
fully understood. In this paper, we develop an analytical
approach based on energy considerations to derive the governing
differential equation for the jet radius as a function of
axial position. We formulate a modified Bernoulli equation18
for a free-falling jet that includes the jet interfacial energy
density and losses due to the fluid viscosity. An analytical
equation for the JSF derived in terms of the dimensionless
group numbers is compared with experimental observations,
and good agreement is obtained.
II. FORMULATION OF THE PROBLEM
Consider isothermal, laminar flow of an incompressible
Newtonian fluid with viscosity g, surface tension c, and density
q, issuing downward from a circular orifice of radius R0
into the air with initial velocity t0 and falling in a gravitational
field g^z (z being measured vertically downward) in the form
of an axisymmetric jet narrowing downward (see Fig. 1).
For this jet flow, a modifed Bernoulli-type equation18 along
the streamline, including energy losses due to fluid viscosity19
and free surface energy of the jet, can be written in the form
733 Am. J. Phys. 81 (10), October 2013 http://aapt.org/ajp VC 2013 American Association of Physics Teachers 733
Downloaded 14 Oct 2013 to 141.89.116.53. Redistribution subject to AAPT license or copyright; see http://ajp.aapt.org/authors/copyright_permission
P þ
a
2
qt2 þ qgz þ c
@A
@V
þ wlos ¼ constant: (5)
Here P is the mechanical pressure and t is the velocity averaged
over the jet cross section. The coefficient a accounts for
the velocity profile distribution:20 for a uniform profile a ¼ 1
while for a nonuniform profile a > 1; for laminar flow with a
parabolic velocity profile a ¼ 2. The term qgz is the hydrostatic
pressure and cð@A=@VÞ represents the jet interfacial
energy density.18 To understand the physical meaning of the
latter term, consider a fixed volume element of the liquid dV
moving along the streamline through the orifice. The increase
in the interfacial surface energy of the jet associated with
this volume element is cdA, where dA is the increase in the
free surface area of the jet, and cðdA=dVÞ will be the density
of the interfacial surface energy. Finally, the term wlos in Eq.
(5) denotes the dissipation energy density due to the viscous
resistance.
To estimate the surface tension term, notice that the derivative
@A=@V can be written in terms of two components, one
being tangential and the other normal to the jet-air interface
and can be expressed as
@A
@V ¼ @A
@z
@z
@V

|fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
Tangential
þ
@A
@r
@r
@V

|fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl}
Normal
: (6)
For a cylindrical jet segment of volume dV ¼ pr2dz and free
surface dA ¼ 2prdz, we find that ð@A=@zÞð@z=@VÞ ¼ 2=r
and ð@A=@rÞð@r=@VÞ ¼ 1=r, where 2=r is due to formation
of a fluid-air interface and 1=r accounts for its curvature. The
physical meaning of these two effects can be clarified by considering
the corresponding values of the free energies.
Whereas Vcð@A=@zÞð@z=@VÞ ¼ 2prcdz is the interfacial surface
energy, the value Vcð@A=@rÞð@r=@VÞ gives VDP
ðDP ¼ c=rÞ, the excess free energy due to the pressure jump
across the interface. These two effects have to be considered
together, and therefore the surface tension term in Eq. (5) is
cð@A=@VÞ ¼ 3c=r: (7)
We apply Eq. (5) for two arbitrarily chosen jet cross sections
at points z1 and z2, taking into account Eq. (7) and the
fact that P1;ð2Þ is the atmospheric pressure, to obtain
a
2
qt2
1 qgz1 þ
3c
r1
¼ a
2
qt2
2 qgz2 þ
3c
r2
þ Dwlos; (8)
where r1;ð2Þ is the jet radius at the chosen points 1 and 2, and
Dwlos is associated with the head pressure loss across the
region l ¼ z2 z1 due to the viscous resistance.
To calculate Dwlos, the Poiseuille equation for viscous
flow in a pipe cannot strictly be applied because of the steep
change of the velocity profile from a fully developed parabola
at the nozzle exit, where a ¼ 2, into a “flat” or “plug”
profile far away from the nozzle,21,22 where a ¼ 1. However,
the Poiseuille equation can be still used to include the viscous
losses in the derivation of a suitable mathematical
model. To this end, we introduce a correction factor d < 1
into Poiseuille’s equation to get
Dwlos ¼ 8dgt
r2 ðz2 z1Þ; (9)
where t and r are the local jet velocity and jet radius. This
approach can be justified using dimensional analysis.23
Now, understanding that all mathematical derivations
refer to a streamline of the laminar jet flow, Eq. (8) can be
rewritten as
a
2
ðt2
1 t2
2Þ þ gðz2 z1Þ þ 3c
q
1
r1
1
r2

¼ 8dg
q
t
r2 ðz2 z1Þ; (10)
where a and d are model parameters that can be determined
from experiment.
Taking into account, the uncertainty of the local variables
t and r in the right-hand side of Eq. (10), we replace this
equation by its differential analog, setting (see Fig. 1)
z1;2 ¼ z 7 Dz=2; r1;2 ¼ r 6 Dr=2; t1;2 ¼ t 7 Dt=2:
(11)
After substituting Eq. (11) into Eq. (10), we divide both sides
by Dz and take the limit as Dz tends to zero to obtain
at
dt
dz ¼ g 3c
q
1
r2
dr
dz 8dg
q
t
r2 : (12)
To simplify the analysis, we use the dimensionless variables,
~t ¼ t=t0, r~ ¼ r=R0, and ~z ¼ z=R0, where t0 ¼ tð0Þ is the
average jet velocity at the exit nozzle and R0 ¼ rð0Þ is the
exit nozzle radius. As a result, Eq. (12) becomes
Fig. 1. Sketch of th
that can be used in spacecraft propulsion, fuel injection,
mass spectroscopy, and ink-jet printing.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

I. บทนำเมื่อไหล pours จากเต้าเสียบไปในอากาศ แบบการฟรีตกเจ็ทมั่นคงที่เพิ่มความเร็ว ยืด และจำกัดภายใต้อิทธิพลของ gravity.1 เจ็ทกระแสพฤติกรรมเป็นสนใจจำนวนมากในกลศาสตร์ของไหลและวิศวกรรมฝึก และพบโปรแกรมประยุกต์ที่หลากหลายเช่นกระบวนการโซลเจลในการผลิตของอนุภาคของเหลวขนาดเล็กกระบวนการปั่นในการผลิตเส้นใยโพลิเมอร์ และอุปกรณ์ทางชีวการแพทย์ ล่าสุด microjet เหลวแล้ว produced2ที่สามารถใช้ในการขับเคลื่อนยานอวกาศ การฉีดน้ำมันเชื้อเพลิงกขนาดใหญ่ และพิมพ์อิงค์เจ็ทความท้าทายเมื่อวิเคราะห์กระแส jet จะพบการฟังก์ชันรูปร่างเป็นเจ็ท (JSF) 3 – 8 คือ ความสัมพันธ์ระหว่างr รัศมีเจ็ทและระยะทางตามแนวแกน z จาก orifice ออกสำหรับกระแส laminar ของของเหลวการ isothermal กับ q มีความหนาแน่นออกจาก orifice วงกลมรัศมี R0 ด้วยความเร็วออกของทำนายวิเคราะห์มิติ t0 ใน g ฟิลด์ความโน้มถ่วง การการพึ่งพาทำงานต่อไปนี้สำหรับ JSF จะ:~ fðr z ¼ ~; Fr เรา ReÞ: (1ที่นี่, ~ z z ¼ = R0 และ r ~ ¼ ~ z = R0 มีเจ็ทลดความยาว และเจ็ทรัศมี ตามลำดับ และพารามิเตอร์คีย์กลุ่ม dimensionlessðFrÞ หมายเลข Froude มีปัญหาการเวเบอร์หมายเลข ðWeÞ และเรย์โนลด์สหมายเลข ðReÞ ได้รับโดยFr ¼ t202R0g; เรา¼ 2R0qt20c รี¼ 2R0qt0g: (2)ปริมาณเหล่านี้แสดงถึง ตามลำดับ ผลกระทบสัมพันธ์ðgÞ แรงโน้มถ่วง แรงตึงผิว ðcÞ และ ðgÞ ความหนืดในการเปรียบเทียบเพื่อความเฉื่อย ด้วยกำหนดให้มีขนาดใหญ่เมื่อ inertialผลมีขนาดใหญ่ดีอย่างหนึ่งผิวผล neglecting, Clarke9 ได้รับการJSF วิเคราะห์สำหรับของเหลวความหนืดในการทำงานโปร่งอย่างไรก็ตาม JSF ของเขาถูกต้องเฉพาะสำหรับ Re สูงเนื่องจากที่ต่ำอีกครั้งผลของแรงตึงผิวจะยิ่งกว่า viscosity10 สามารถ ignored.11 Adachi12วิเคราะห์ผลกระทบของของเหลวความหนืดและแรงตึงผิวในภูมิภาค asymptotic เลขเรย์โนลด์สสูง และต่ำไม่วิเคราะห์สมการ JSF ช่วงกว้างของทั้งหมดหมายเลขกลุ่มสาม dimensionless มีชื่อเสียง สำหรับ inviscidของเหลว (จำนวน Re ขนาดใหญ่แต่ยังคงไหล laminar) การวิเคราะห์ทางสามารถสรุปรูปแบบของ JSF ซึ่งเสนอ โดยผู้เขียนหลายas13~ z ¼ Fr1r ~ 4 เมตร nบ่อ1r ~ 1 ; (3)คำแรกเนื่องจากแรงโน้มถ่วงขณะที่สองคำว่าแรงตึงผิวเนื่องจากขนาดของ jet อากาศเหลวพื้นผิว ที่นี่บ่อ¼เรา = Fr ¼ 4R20qg = c คือ จำนวนพันธะกำหนดลักษณะของผลของแรงโน้มถ่วงกับ respect ให้ญาติแรงตึงผิว m และ n มี พารามิเตอร์ของแบบจำลองตาม Kurabayashi, 5 n ¼ 8 ขณะที่ slendernessประมาณที่ใช้ Anno6 yelds n ¼ 4 สำหรับ n ¼ 0 และตราสารหนี้แบบจำนวนมาก Eq. (3) ลดให้รู้จักWeisbach equation14~ z ¼ Fr1r ~ 4 1 : (4)ผลกระทบของความหนืดและแรงตึงผิวในรูปแบบของเจ็ทเครื่องเขียนเป็นงานวิจัย topics15 – 17 และยังไม่ได้อย่างเข้าใจ ในเอกสารนี้ เราพัฒนาการวิเคราะห์วิธีใช้พลังงานที่ควรได้รับการควบคุมสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับรัศมีเจ็ทเป็นฟังก์ชันของตำแหน่งแกน เรากำหนด equation18 Bernoulli ปรับเปลี่ยนสำหรับ jet ล้มฟรีที่มีพลังงาน interfacial เจ็ทความหนาแน่นและความสูญเสียเนื่องจากความหนืดของเหลว การวิเคราะห์ทางสมการของ JSF ที่มาในการ dimensionlessกลุ่มตัวเลขเปรียบเทียบกับการสังเกตทดลองและได้ข้อตกลงที่ดีII. กำหนดปัญหาพิจารณากระแส isothermal, laminar ของการ incompressibleทฤษฎีของไหล มีความหนืด g, c แรงตึงผิว ความหนาแน่นq ออกลงจาก orifice กลมของรัศมี R0ไปในอากาศด้วยความเร็วเริ่มต้น t0 และล้มในที่ความโน้มถ่วงฟิลด์ g ^ z (z วัดลงในแนวตั้ง) ในแบบฟอร์มของเจ็ท axisymmetric ที่จำกัดให้แคบลงล่าง (ดู Fig. 1)สำหรับกระแสนี้ jet, equation18 modifed Bernoulli ชนิดตามการปรับปรุง รวมถึงการสูญเสียพลังงานเนื่องจากของเหลว viscosity19และฟรีพลังงานผิวของเจ็ท สามารถเขียนในแบบฟอร์ม733 น.เจนับ 81 (10), 2013 ตุลาคมที่ http://aapt.org/ajp VC 2013 อเมริกันสมาคมของฟิสิกส์ครู 73314 ต.ค.ดาวน์โหลด 56 เพื่อ 141.89.116.53 ซอร์สภายใต้ลิขสิทธิ์ AAPT หรือลิขสิทธิ์ ดู http://ajp.aapt.org/authors/copyright_permissionP þมี2โรง qgz qt2 þþ c@A@V þค่าคง wlos ¼: (5)นี่ P คือ ความดันที่เครื่องจักรกล และ t เป็นความเร็วที่ averagedกว่าเจ็ทข้ามส่วน ค่าสัมประสิทธิ์การบัญชีความเร็วค่ากระจาย: 20 สำหรับเหมือนโพรไฟล์¼ 1ขณะที่สำหรับโพรไฟล์ nonuniform a > 1 สำหรับกระแส laminar กับการความเร็วจานโปรไฟล์¼ 2 Qgz คำคือ การหยุดนิ่งความดันและ cð@A=@VÞ แทน interfacial เจ็ทdensity.18 พลังงานจะเข้าใจความหมายทางกายภาพของการหลังระยะ พิจารณาองค์ประกอบของ dV ของเหลวปริมาตรคงย้ายไปสนับสนุนผ่าน orifice การเพิ่มขึ้นด้านพลังงานผิว interfacial ของ jet ที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบปริมาณนี้เป็น cdA ดาอยู่ที่การเพิ่มขึ้นของการฟรีพื้นที่ของ jet, cðdA = dVÞ จะมีความหนาแน่นพลังงานผิว interfacial สุดท้าย wlos ระยะใน Eq.(5) แสดงการกระจายพลังงานความหนาแน่นจากการข้นต้านทานการประเมินคำผิว สังเกตที่อนุพันธ์@A = @V สามารถเขียนในส่วนที่สอง หนึ่งมี tangential และปกติอินเทอร์เฟซสำหรับเครื่องเจ็ทและสามารถแสดงเป็น@Aการ @V ¼ของ @A@z @z@V|fflfflfflfflfflfflfflfflffl {zfflfflfflfflfflfflfflfflffl }Tangentialþ@A@r @r@V|fflfflfflfflfflfflfflfflffl {zfflfflfflfflfflfflfflfflffl }ปกติ: (6)สำหรับเซกเมนต์เจ็ททรงกระบอกปริมาตร dV ¼ pr2dz และฟรีผิวดา¼ 2prdz เราพบว่า¼ ð@A=@zÞð@z=@VÞ 2 = rและ¼ใน ð@A=@rÞð@r=@VÞ 1 = r, 2 = r เนื่องจากผู้แต่งอินเทอร์เฟซแบบน้ำมันอากาศและ 1 = r บัญชีสำหรับขนาดของ ที่ความหมายทางกายภาพของผลกระทบเหล่านี้สองที่สามารถละเอียด โดยพิจารณาค่าที่ตรงกันของพลังงานฟรีในขณะที่พื้นผิว interfacial เป็น¼ใน Vcð@A=@zÞð@z=@VÞ 2prcdzพลังงาน ค่า Vcð@A=@rÞð@r=@VÞ ให้ราคา VDPðDP ¼ c = rÞ พลังงานฟรีส่วนเกินเนื่องจากความดันกระโดดในอินเทอร์เฟซ ลักษณะพิเศษเหล่านี้สองต้องได้รับการพิจารณากัน และดังนั้นคำว่าแรงตึงผิวใน Eq. (5) คือ¼ใน cð@A=@VÞ 3c = r: (7)เราใช้ Eq. (5) 2 โดยเลือกเจ็ทข้ามส่วนที่จุด z1 และ z2 คำนึง Eq. (7) และความจริงที่ P1; ð2Þ คือ ความดันบรรยากาศ รับมี2qt21 qgz1 þ3cr1¼เป็น2qt2þ 2 qgz23cr2þ Dwlos (8)ที่ r1; ð2Þ คือ รัศมีเจ็ทจุดท่าน 1 และ 2 และDwlos จะเกี่ยวข้องกับการสูญเสียความดันที่หัวทั้งตัวz1 z2 l ¼ภูมิภาคเนื่องจากความต้านทานความหนืดการคำนวณ Dwlos สมการ Poiseuille ข้นไหลในท่อไม่สามารถใช้อย่างเคร่งครัดเนื่องจากสูงชันเปลี่ยนแปลงของค่าความเร็วจากพาราโบลาที่พัฒนาเต็มที่ออกจากหัวฉีด 2 ¼ "แบน" หรือ "เสียบ"โพรไฟล์ห่างจากจมูกวัว 21, 22 ¼ 1 อย่างไรก็ตามสมการ Poiseuille ยังคงใช้การรวมข้นขาดทุนในที่มาของการที่เหมาะสมทางคณิตศาสตร์แบบจำลอง เพื่อการนี้ เราแนะนำการแก้ไขปัจจัย d < 1ลงในสมการของ Poiseuille ไป8dgt Dwlos ¼r2 ðz2 z1Þ (9)ที่ t และ r เป็นเครื่องเจ็ทความเร็วและรัศมีเจ็ท นี้approach can be justified using dimensional analysis.23Now, understanding that all mathematical derivationsrefer to a streamline of the laminar jet flow, Eq. (8) can berewritten asa2ðt21 t22Þ þ gðz2 z1Þ þ 3cq1r1 1r2¼ 8dgqtr2 ðz2 z1Þ; (10)where a and d are model parameters that can be determinedfrom experiment.Taking into account, the uncertainty of the local variablest and r in the right-hand side of Eq. (10), we replace thisequation by its differential analog, setting (see Fig. 1)z1;2 ¼ z 7 Dz=2; r1;2 ¼ r 6 Dr=2; t1;2 ¼ t 7 Dt=2:(11)After substituting Eq. (11) into Eq. (10), we divide both sidesby Dz and take the limit as Dz tends to zero to obtainatdtdz ¼ g 3cq1r2drdz 8dgqtr2 : (12)To simplify the analysis, we use the dimensionless variables,~t ¼ t=t0, r~ ¼ r=R0, and ~z ¼ z=R0, where t0 ¼ tð0Þ is theaverage jet velocity at the exit nozzle and R0 ¼ rð0Þ is theexit nozzle radius. As a result, Eq. (12) becomesFig. 1. Sketch of ththat can be used in spacecraft propulsion, fuel injection,mass spectroscopy, and ink-jet printing.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

I. บทนำเมื่อของเหลวเทจากเต้าเสียบไปในอากาศก็รูปแบบเจ็ตฟรีที่ลดลงมีเสถียรภาพที่ช่วยเร่งการเหยียดและแคบลงภายใต้อิทธิพลของgravity.1 พฤติกรรมการไหลของเจ็ทมีความสนใจเป็นอย่างมากในกลศาสตร์ของไหลและวิศวกรรมการปฏิบัติและได้พบกับความหลากหลายของการใช้งานเช่นกระบวนการโซลเจลในการผลิตของอนุภาคของเหลวขนาดเล็กกระบวนการปั่นในการผลิตเส้นใยพอลิเมอของและอุปกรณ์ชีวการแพทย์ เมื่อเร็ว ๆ นี้ microjet ของเหลวได้รับ produced2 ที่สามารถนำมาใช้ในการขับเคลื่อนยานอวกาศ, การฉีดน้ำมันเชื้อเพลิง, สเปกโทรสโกมวลและการพิมพ์อิงค์เจ็ท. ความท้าทายที่สำคัญเมื่อวิเคราะห์การไหลของเจ็ทคือการหาฟังก์ชั่นรูปร่างเจ็ท (JSF) 3-8 ว่ามีความสัมพันธ์ระหว่างรัศมีเจ็ทอาร์และซีระยะทางตามแนวแกนจากปากทางออก. สำหรับการไหลของของเหลวที่อุณหภูมิคงที่มีความหนาแน่นคิวที่ออกจากปากกลม R0 รัศมีด้วยความเร็วออกจาก t0 ในกรัมสนามแรงโน้มถ่วง, การวิเคราะห์มิติคาดการณ์การพึ่งพาการทำงานต่อไปนี้สำหรับJSF: ~ Z ¼ FDR ~; Fr; เรา; Reth (1) นี่ ~ Z ¼ซี = R0 และอา ~ ¼ ~ Z = R0 มีความยาวเจ็ทลดลงและรัศมีเจ็ทตามลำดับและพารามิเตอร์กลุ่มมิติที่สำคัญในปัญหาที่เกิดขึ้นเป็นจำนวนFroude ðFrÞที่จำนวนเวเบอร์ðWeÞและจำนวนðReÞนาดส์ได้รับจากพ่อ¼ t2 0 2R0g; เรา¼ 2R0qt2 0 ค; Re ¼ 2R0qt0 g: (2) ปริมาณเหล่านี้เป็นตัวแทนตามลำดับผลกระทบญาติของแรงโน้มถ่วงðgÞแรงตึงผิวðcÞและðgÞความหนืดในการเปรียบเทียบความเฉื่อยกับแต่ละที่กำหนดไว้จะมีขนาดใหญ่เมื่อเฉื่อยผลกระทบที่มีขนาดใหญ่เมื่อเทียบกับ. ละเลยแรงตึงผิว ผล Clarke9 มาJSF วิเคราะห์ของเหลวหนืดในแง่ของฟังก์ชั่น Airy. แต่ JSF เขาจะใช้ได้เฉพาะสำหรับเรื่องที่สูงเนื่องจากต่ำRe ผลกระทบของแรงตึงผิวจะกลายเป็นความสำคัญมากขึ้นกว่าviscosity10 และไม่สามารถ ignored.11 Adachi12 การวิเคราะห์ผลกระทบของความหนืดของของเหลวและแรงตึงผิวในภูมิภาค asymptotic จำนวน Reynolds สูงและต่ำ. ไม่สมการวิเคราะห์สำหรับ JSF ในช่วงที่กว้างของทุกหมายเลขสามมิติกลุ่มเป็นที่รู้จักกัน สำหรับ inviscid ของเหลว (ขีด จำกัด ของเรื่องใหญ่ แต่ไหลยังคงเป็น) การวิเคราะห์รูปแบบของJSF เสนอโดยผู้เขียนหลายสามารถสรุปas13 ~ Z ¼ Fr 1 อา ~ 4 มn บ่อ1 อา ~ 1; (3) ที่ระยะแรกคือเนื่องจากแรงโน้มถ่วงในขณะที่สองเป็นระยะแรงตึงผิวอันเนื่องมาจากความโค้งของเจ็ทของเหลวอากาศพื้นผิว นี่บ่อ¼เรา = Fr ¼ 4R2 0qg = c เป็นจำนวนบอนด์พัฒนาการผลกระทบความสัมพันธ์ของแรงโน้มถ่วงที่เกี่ยวกับพื้นผิวความตึงเครียดในขณะที่ม. และ n พารามิเตอร์ของรูปแบบ. ตาม Kurabayashi 5 n ¼ 8 ในขณะที่เรียวประมาณที่ใช้โดย Anno6 yelds n ¼ 4. สำหรับ n ¼ 0 และตัวเลขบอนด์ขนาดใหญ่สมการ (3) ลดที่รู้จักกันดีWeisbach equation14 ~ Z ¼ Fr 1 อา ~ 4 1: (4) ผลกระทบของแรงตึงผิวและความหนืดในรูปแบบของเจ็ทนิ่ง topics15-17 มีการวิจัยที่ใช้งานและยังไม่เข้าใจอย่างเต็มที่ ในบทความนี้เราพัฒนาการวิเคราะห์วิธีการขึ้นอยู่กับการพิจารณาของพลังงานที่ได้รับมาว่าสมการเชิงอนุพันธ์รัศมีเจ็ทเป็นหน้าที่ของตำแหน่งในแนวแกน เรากำหนด equation18 Bernoulli การปรับเปลี่ยนสำหรับเจ็ทลดลงฟรีที่มีเจ็ทพลังงานเฟสความหนาแน่นและความสูญเสียเนื่องจากความหนืดของของเหลว วิเคราะห์สมการสำหรับ JSF มาในแง่ของมิติจำนวนกลุ่มเมื่อเทียบกับการสังเกตการทดลองและข้อตกลงที่ดีจะได้รับ. ครั้งที่สอง การพัฒนาสูตรปัญหาพิจารณา isothermal ไหลราบเรียบของอัดของเหลวนิวตันกับกรัมความหนืดแรงตึงผิวคและความหนาแน่นคิวออกลดลงจากปากกลมR0 รัศมีไปในอากาศด้วยt0 ความเร็วเริ่มต้นและลดลงในแรงโน้มถ่วงสนามกรัม^ ซี (ซีถูกวัดในแนวตั้งลง) ในรูปแบบของการลดเจ็ทaxisymmetric ลง (ดูรูปที่ 1).. สำหรับการไหลของเจ็ทนี้ modifed equation18 Bernoulli ชนิดพร้อมปรับปรุงรวมทั้งการสูญเสียพลังงานเนื่องจากการviscosity19 ของเหลวและพลังงานพื้นผิวฟรีของเจ็ทที่สามารถเขียนในรูปแบบ733 Am เจสรวง 81 (10) ตุลาคม 2013 http://aapt.org/ajp VC 2013 สมาคมอเมริกันของครูฟิสิกส์ 733 ดาวน์โหลด 14 ตุลาคม 2013 เพื่อ 141.89.116.53 เรื่องแบ่งใบอนุญาต AAPT หรือลิขสิทธิ์; เห็น http://ajp.aapt.org/authors/copyright_permission P þ 2 Qt2 þ qgz þค@A @V þ WLOS ¼คงที่: (5) นี่คือ P คือความดันกลและเสื้อเป็นความเร็วเฉลี่ยมากกว่าเจ็ท ส่วนข้าม ค่าสัมประสิทธิ์การบัญชีสำหรับการกระจายรายละเอียดความเร็ว: 20 สำหรับรายละเอียดเครื่องแบบ¼ 1 ในขณะที่สำหรับรายละเอียดที่ไม่สม่ำเสมอ> การ 1; สำหรับการไหลราบเรียบด้วยความเร็วพาราโบลาโปรไฟล์¼ 2. qgz ระยะคืออัดความดันและCD @ @ A = Vth แสดงให้เห็นถึงเจ็ท interfacial density.18 พลังงานเพื่อให้เข้าใจถึงความหมายทางกายภาพของระยะหลังพิจารณาองค์ประกอบปริมาณคงที่dV ของเหลวย้ายไปปรับปรุงผ่านปาก เพิ่มขึ้นในการใช้พลังงาน interfacial พื้นผิวของเจ็ทที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของหนังสือเล่มนี้คือCDA ที่ dA จะเพิ่มขึ้นในที่พื้นที่ผิวฟรีเจ็ทและCDDA = dVÞจะมีความหนาแน่นของพลังงานพื้นผิวinterfacial สุดท้ายคำ WLOS ในสม. (5) หมายถึงพลังงานความหนาแน่นของการกระจายเนื่องจากความหนืดต้านทาน. เพื่อประเมินระยะแรงตึงผิวที่สังเกตเห็นว่าอนุพันธ์@ A = @ V สามารถเขียนได้ในแง่ของทั้งสองส่วนหนึ่งเป็นวงและอื่น ๆ ที่ปกติอินเตอร์เฟซที่เจ็ทอากาศและสามารถแสดงเป็น@A @V ¼ (6) สำหรับส่วนเจ็ททรงกระบอกของปริมาณ dV ¼ pr2dz และฟรีพื้นผิวdA ¼ 2prdz เราพบว่าð @ A = @ zÞð @ ซี = @ Vth ¼ 2 = R และ D @ A = @ rÞð @ r = @ Vth ¼ 1 = R, ที่ 2 = r คือเนื่องจากการสะสมของอินเตอร์เฟซที่น้ำอากาศและบัญชี1 = R สำหรับความโค้งของ ความหมายทางกายภาพของทั้งสองผลกระทบสามารถชี้แจงโดยพิจารณาค่าที่สอดคล้องกันของพลังงานฟรี. ขณะ VCD @ A = @ zÞð @ ซี = @ Vth ¼ 2prcdz เป็นพื้นผิว interfacial พลังงานค่า VCD @ A = @ rÞð @ อา = @ Vth ให้ VDP DDP ¼ c = RTH, พลังงานส่วนเกินที่เกิดจากการดันกระโดดข้ามอินเตอร์เฟซ สองคนนี้มีผลกระทบที่จะได้รับการพิจารณาร่วมกันและดังนั้นระยะแรงตึงผิวในสมการ (5) เป็นซีดี@ @ A = Vth ¼ 3c = r: (7) เราใช้สมการ (5) เป็นเวลาสองเจ็ทได้รับการแต่งตั้งโดยพลส่วนข้ามจุดZ1 และ Z2 คำนึงถึงสมการ (7) และความจริงที่ว่าP1; ð2Þเป็นความดันบรรยากาศเพื่อให้ได้2 Qt2 1 qgz1 þ 3c r1 ¼ 2 Qt2 2 qgz2 þ 3c r2 þ Dwlos; (8) ที่ r1; ð2Þเป็นรัศมีเจ็ทที่จุดเลือกที่ 1 และ 2 และDwlos มีความเกี่ยวข้องกับการสูญเสียความดันหัวทั่วลิตรภูมิภาค¼ z2 z1 เนื่องจากการต้านทานความหนืด. ในการคำนวณ Dwlos สม Poiseuille หนืดไหลในท่อไม่สามารถอย่างเคร่งครัดนำมาใช้เพราะความสูงชันเปลี่ยนแปลงรายละเอียดความเร็วจากสมการการพัฒนาอย่างเต็มที่ที่ออกจากหัวฉีดซึ่งเป็น¼ 2 เป็น "แบน" หรือ "เสียบ" โปรไฟล์ห่างไกลจากหัวฉีด, 21, 22 ที่¼ 1 อย่างไรก็ตามสมPoiseuille สามารถนำมาใช้ยังคงที่จะรวมความหนืดการสูญเสียในแหล่งที่มาของคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมรูปแบบ ด้วยเหตุนี้เราแนะนำเป็นปัจจัยการแก้ไข d <1 เป็นสม Poiseuille ที่จะได้รับDwlos ¼ 8dgt r2 ðz2z1Þ; (9) ที่ทีอาร์และมีความเร็วเจ็ทในท้องถิ่นและรัศมีเจ็ท ซึ่งวิธีการที่สามารถเป็นธรรมโดยใช้มิติ analysis.23 ตอนนี้เข้าใจว่าการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์หมายถึงความคล่องตัวของการไหลของเจ็ทชั้น, สมการ (8) สามารถเขียนใหม่เป็น2 DT2 1 t2 2th þgðz2z1Þþ 3c คิว1 r1 1 r2 ¼ 8dg คิวทีr2 ðz2z1Þ; (10) ที่และ D มีพารามิเตอร์แบบที่สามารถได้รับการพิจารณาจากการทดลอง. คำนึงถึงความไม่แน่นอนของตัวแปรท้องถิ่นทีอาร์และในด้านขวามือของสมการ (10) เราแทนที่นี้สมการโดยอะนาล็อกที่แตกต่างกันของการตั้งค่า(ดูรูปที่ 1). z1 2 ¼ซี 7 Dz = 2; r1 2 ¼อาดร 6 = 2; t1 2 ¼ที 7 Dt = 2: (11) หลังจากที่ทำหน้าที่แทนสมการ (11) ลงในสมการ (10) เราแบ่งทั้งสองด้านโดยDz และใช้วงเงินเป็น Dz มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่จะได้รับที่dt แซท¼กรัม 3c คิว1 r2 ดรแซท 8dg คิวทีr2: (12) เพื่อให้ง่ายต่อการวิเคราะห์เราใช้ตัวแปรไร้มิติ , ~ ¼เสื้อ t = t0, อา ~ ¼ r = R0 และ ~ ¼ซีซี = R0 ที่ t0 ¼tð0Þเป็นความเร็วเฉลี่ยอยู่ที่เจ็ทหัวฉีดออกและR0 ¼rð0Þเป็นรัศมีออกจากหัวฉีด เป็นผลให้สม (12) กลายเป็นรูป 1. ร่างของชั้นที่สามารถนำมาใช้ในการขับเคลื่อนยานอวกาศ, การฉีดน้ำมันเชื้อเพลิง, สเปกโทรสโกมวลและการพิมพ์อิงค์เจ็ท

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ผมแนะนำ
เมื่อของเหลวเทออกจากเต้าเสียบในอากาศ ฟอร์ม
ฟรีเพลงมั่นคง jet ที่เร่ง , เหยียด , และช่องแคบ
ภายใต้อิทธิพลของแรงโน้มถ่วง ที่ 1 พฤติกรรมการไหลของเจ็ท
สนใจมากในกลศาสตร์ของของไหลและวิศวกรรม
ฝึกและได้พบความหลากหลายของการใช้งานเช่น
โดยกระบวนการโซล - เจลในการผลิตของอนุภาคในของไหลขนาดเล็ก
กระบวนการในการปั่นเส้นใยพอลิเมอร์และ
อุปกรณ์ชีวการแพทย์ . เมื่อเร็วๆ นี้ microjet ของเหลวได้รับ produced2
ที่สามารถใช้ในการขับเคลื่อนยานอวกาศการฉีดเชื้อเพลิง ,
เมทานอลและการพิมพ์อิงค์เจ็ท ความท้าทายที่สำคัญเมื่อวิเคราะห์
เจ็ทไหลหา
เจ็ทรูปร่างฟังก์ชัน ( jsf ) ; 3 – 8 ก็คือ ความสัมพันธ์ระหว่าง
เจ็ทรัศมี r และระยะห่างจากแนวแกน Z ออกทวาร .
สำหรับการไหลแบบราบเรียบของของเหลวที่มีความหนาแน่นคงที่ Q ,
ออกจากรูวงกลมรัศมี r0 กับความเร็วทางออก
t0 ในสนามโน้มถ่วง g , การวิเคราะห์มิติคาดการณ์
ต่อไปนี้การพึ่งพาการทำงานสำหรับ jsf :
~ Z ¼ F ð R ~ ; เฟรเดริก เราÞ ; Re : ( 1 )
, ~ z ¼ Z = r0 และ R ~ ¼ ~ Z = r0 จะลดความยาวและรัศมี
เจ็ทเครื่องบินตามลำดับ และกลุ่มตัวแปรไร้มิติคีย์
ในปัญหากระแสน้ำเหนือเลขที่ð fr Þ ,
เวเบอร์หมายเลขðเราÞและ Reynolds number ð Re Þให้

เ¼โดย T2
0
2r0g
; เรา¼ 2r0qt2
0
C ; Re ¼ 2r0qt0
g ( 2 )
ปริมาณเหล่านี้เป็นตัวแทน ตามลำดับ ผลของแรงโน้มถ่วงðÞญาติ
g , C ÞðแรงตึงผิวและความหนืดðกรัมÞเปรียบเทียบ
กับความเฉื่อยกับแต่ละกำหนดจะมีขนาดใหญ่เมื่อผล inertial

แต่จะเปรียบเทียบ ขนาดใหญ่ ความตึงผิวผล clarke9 ได้มาเป็น
jsf การวิเคราะห์ความหนืดของเหลว ในแง่ของการทำงานโปร่งสบาย .
แต่ jsf ของเขาเท่านั้นจะสูงเพราะที่
Re ต่ำผลกระทบของความตึงผิวจะกลายเป็นมากขึ้น
กว่า การ viscosity10 และไม่สามารถ ignored.11 adachi12
วิเคราะห์ผลของความหนืดของของไหลและ
แรงตึงผิวในภูมิภาคเฉลี่ยสูงต่ำเลขเรย์โนลด์ .
ไม่วิเคราะห์สมการสำหรับ jsf มากกว่าที่หลากหลายของทุกคน
3 ตัวเลขกลุ่มไร้มิติเป็นที่รู้จัก สำหรับของเหลว inviscid
( ขีด จำกัด ของ เป็น ขนาดใหญ่ แต่ยังคงการไหลแบบราบเรียบ ) การวิเคราะห์ รูปแบบของ jsf
เสนอโดยผู้เขียนหลายคนได้

~ Z as13 ¼ fr
1
r ~ 4 M
n
โบ
1

r ~ 1( 3 )
ที่ในระยะแรกเนื่องจากแรงโน้มถ่วงในขณะที่สองคือ
แรงตึงผิวระยะยาวเนื่องจากความโค้งของพื้นผิวเครื่องบิน
อากาศเหลว นี่ โบ ¼เรา = fr ¼ 4r2
0qg = C พันธบัตรจำนวน
ลักษณะผลสัมพัทธ์ของแรงโน้มถ่วงด้วยความเคารพ
แรงตึงผิว ในขณะที่ m และ n เป็นค่าพารามิเตอร์ของแบบจำลอง ตาม kurabayashi
5 N ¼ 8 ส่วนความชะลูด
การใช้ anno6 yelds N ¼ 4 ¼
0 n และตัวเลขบอนด์ขนาดใหญ่ อีคิว ( 3 ) ลดที่รู้จักกันดี
weisbach equation14
~ Z ¼ fr
1
1
: R ~ 4
( 4 ) ผลของแรงตึงผิวและความหนืดในรูปแบบของ
เจ็ทเครื่องเขียนมีการใช้งานวิจัย topics15 – 17 และยัง
เข้าใจแล้ว งานวิจัยนี้ได้พัฒนาวิธีการวิเคราะห์
ขึ้นอยู่กับการพิจารณาพลังงาน เพื่อให้ได้มาซึ่งการปกครอง
สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับเจ็ทรัศมีเป็นฟังก์ชัน
ตำแหน่งตามแนวแกน เราคิดแก้ไข แบร์นูลลี equation18
ฟรีตกเจ็ทที่มีเครื่องบินระหว่างพลังงาน
ความหนาแน่น และความสูญเสียเนื่องจากความหนืดของของไหล สมการวิเคราะห์
สำหรับ jsf ได้ในแง่ของตัวเลข
กลุ่มไร้มิติเปรียบเทียบกับการสังเกต ทดลอง และได้ข้อตกลงที่ดี
.
2กำหนดปัญหา
พิจารณาคงที่การไหลแบบราบเรียบของนิวตันของเหลวที่มีความหนืดอัด
g , แรงตึงผิว C และความหนาแน่น
q ออกลงจากรูวงกลมรัศมี r0
ในอากาศกับ t0 ความเร็วเริ่มต้นและล้มในเขตแรงดึงดูด
g
Z ( Z ถูกวัดในแนวตั้งลง ) ใน แบบฟอร์ม
ของทางนั้นแคบลงเครื่องบิน ( ดูรูปที่ 1 ) .
สำหรับนี้เจ็ทไหล , Bernoulli equation18 ตามชนิด modifed
ปรับปรุง รวมทั้งการสูญเสียพลังงานเนื่องจาก
viscosity19 ของเหลวและพลังงานพื้นผิวฟรีของเครื่องบิน สามารถเขียนในรูปแบบ
นี่เป็นใคร J . ว. . 81 ( 10 ) , ตุลาคม 2013 http://aapt.org/ajp VC 2013 สมาคมอเมริกันฟิสิกส์ครู 733
ดาวน์โหลด 14 ต.ค. 2013 141.89.116.53 . เผยแพร่ภายใต้ใบอนุญาต aapt หรือลิขสิทธิ์ดูที่ http : / / ajp . aapt . org / ผู้เขียน / copyright_permission
p
A
2
þ qt2 þ qgz þ C
@
v
@ เป็นþ wlos ¼คงที่ ( 5 )
ที่นี่ P คือความดันเชิงกลและ T คือความเร็วเฉลี่ย
มากกว่าส่วน Jet ข้าม หาบัญชีสำหรับ
ความเร็วโปรไฟล์กระจาย 20 ชุดโปรไฟล์¼ 1
ในขณะที่สำหรับการศึกษารายละเอียด > 1 ; สำหรับการไหลแบบราบเรียบกับ
โค้งความเร็วโปรไฟล์¼ 2