Since (r,s)=1 , it is easy to see t

Since (r,s)=1 , it is easy to see that (rs,r2 −s2) = 1. Here both rs and r2 −s2 are perfect square. Since r and s are opposite parity and (r,s) = 1, it follows that (r−s,r + s) = 1. Using the fact that r2 −s2 =( r−s)(r + s), it is seen that r −s and r + s are perfect square. Then, there exist integers t,k,c,d such that r = t2,s= k2,r−s = c2 and r+s = d2. So, we immediately have t2 −k2 = c2 and t2 + k2 = d2. Besides, using v =2rs, b2 =2uv and s = k2, we see that b2 =4urk2. This implies that k < b.But this contradicts the definition of b. As a consequence, there is no integers a,b,x,y such that a2 −b2 = x2 and a2 + b2 = y2.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตั้งแต่ (r, s) = 1 มันเป็นเรื่องง่ายเพื่อดูว่า (rs, r2 −s2) = 1 ที่นี่ทั้ง rs และ r2 −s2 เป็นสี่เหลี่ยม R และ s เป็นตรงข้ามเท่าเทียมกัน และ (r, s) = 1 มันตามนั้น (r−s, r + s) = 1 ใช้ความจริง −s2 ที่ r2 = (r−s) (r + s), จะเห็นว่า r −s และ r + s เป็นสี่เหลี่ยม จากนั้น มีอยู่เต็ม t, k, c, d ดังกล่าวที่ r = t2, s = k2, r−s = c2 และ r + s = d2 ดังนั้น เรามีทันที t2 −k2 = c2 และ t2 + k2 = d2 ใช้ v = 2rs, b2 = 2uv และ s = k2 เราเห็นที่ b2 = 4urk2 บ่งชี้ที่ k < b.But นี้ขัดแย้งกับภาษาของ b เป็นผล จะไม่มีจำนวนเต็ม a, b, x, y เช่นที่ −b2 a2 = x2 และ a2 + b2 = y2

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตั้งแต่ (R, S) = 1 มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า (RS, R2 -s2) = 1 นี่ทั้งอาร์เอสและ R2 -s2 เป็นตารางที่สมบูรณ์ ตั้งแต่ R และ s มีความเท่าเทียมกันและตรงข้าม (R, S) = 1 มันตามที่ (R-S, R + s) = 1 ใช้ความจริงที่ว่า R2 -s2 = (R-S) (R + S) จะเห็นว่า -s R และ R + s เป็นตารางที่สมบูรณ์ จากนั้นมีอยู่ integers T, K, C, D เช่นที่ r = T2, S = K2, R-S = C2 และ D2 R + S = ดังนั้นเราได้ทันทีมี T2 -k2 = C2 และ T2 + K2 = D2 นอกจากนี้ยังใช้ v = 2RS, B2 = 2uv และ s = K2 เราจะเห็นว่า b2 = 4urk2 นี่ก็หมายความว่า k <b.But นี้ขัดแย้งกับ nition เด Fi ของ B เป็นผลให้ไม่มีจำนวนเต็ม A, B, X, Y ดังกล่าวที่ A2 -b2 = x2 และ A2 + B2 = Y2

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตั้งแต่ ( r , s ) = 1 , มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า ( RS , R2 − S2 ) = 1 ที่นี่ทั้ง rs และ R2 − S2 สมบูรณ์แบบสแควร์ ตั้งแต่ r และ s เป็นตรงข้ามกัน และ ( r , s ) = 1 , ( r − 1 S , R + S ) = 1 ใช้ความจริงที่ว่า R2 − S2 = ( r − s ) ( r + s ) จะเห็นได้ว่า R − S และ R + s สมบูรณ์แบบสแควร์ แล้วมีจำนวนเต็ม t , K , C , D เช่นที่ R = T2 S = K2 R − s = C2 r + s = D2 . ดังนั้น เราเดี๋ยวนี้มี 2 − 2 = C2 และ T2 + K2 = D2 . นอกจากนี้ การใช้ V = 2RS , 2uv B2 = s = ทางเราเห็นว่า B2 = 4urk2 . แสดงว่า K < b แต่นี้ขัดแย้งกับ เดอ จึง nition . เป็นผลให้ , ไม่มีจำนวนเต็ม a , b , x , y ที่ A2 − B2 = x2 และ A2 + B2 = 2 .