Since ∠CB′′A > ∠C′B′A ≥ ∠B′AC′, we

Since ∠CB′′A > ∠C′B′A ≥ ∠B′AC′, we have ∠CF′′A > 90◦, and from
triangle CFF′′
CF′′ < CF. (5)
From (4) and (5) we conclude that C′F′ < CF. 
Now we prove the main theorem of this note.
Theorem 3. If three internal angle bisectors of triangle ABC are respectively
equal to three internal angle bisectors of triangle A′B′C′, then the triangles are
congruent.
Proof. Denote the angle bisectors of ABC by AD, BE, CF and let AD = A′D′,
BE = B′E′, CF = C′F′.
If for the angles of the triangles we have A = A′, B = B′, C = C′, then from
the similarity of ABC with A′B′C′ and of ABD with A′B′D′ we conclude the
congruence of ABC with A′B′C′.
Let A′ be an angle that is not greater than any other angle of triangles A′B′C′
and ABC. We construct a triangle AB1C1 congruent to A′B′C′ that has AD as
bisector of angle B1AC1.
If A′ = A and C′ > C, then the triangles ABC and AB1C1 satisfy the conditions
of Lemma 2. It follows that C′F′ < CF, a contradiction.
If A′ < A and the lines AB1, AC1 meet BC at the points B2, C2 respectively,
without loss of generality we assume C1 between A and C2, possibly coinciding
with C2 (see Figure 4). Suppose the bisector of angle AC2B2 meets AB2 at F2 and
AB at F3. Since triangles AB1C1 and AB2C2 satisfy the conditions of Lemma 2,
we have
C′F′ ≤ C2F2 < C2F3. (

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ตั้งแต่ ∠CB′′A > ∠C′B′A ≥ ∠B′AC′ เรามี ∠CF′′A > 90◦ และจากสามเหลี่ยม CFF′′CF′′ < cf. (5)จาก (4) และ (5) เราสรุปได้ว่า C′F′ < CFตอนนี้ เราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทหลักของบันทึกนี้ทฤษฎีบทที่ 3 ถ้าภายในสามมุม bisectors ของสามเหลี่ยม ABC เป็นลำดับเท่ากับสาม bisectors มุมภายในของสามเหลี่ยม A′B′C′ แล้วรูปสามเหลี่ยมจะสอดคล้องกันหลักฐาน ชีพ bisectors มุมของ ABC โดย AD, BE, CF และให้โฆษณา = A′D′= B′E′, CF = C′F′ถ้าสำหรับในมุมของรูปสามเหลี่ยมมี A = A′, B = B′, C = C′ จากนั้นความคล้ายคลึง ของ ABC กับ A′B′C′ และชิวชิวกับ A′B′D′ ที่เราสรุปการลงตัวของ ABC กับ A′B′C′ให้ A′ จะอยู่ในมุมที่มากกว่าทุกมุมของรูปสามเหลี่ยม A′B′C′และ ABC เราสร้างรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ A′B′C′ ที่มีโฆษณาเป็น AB1C1จุดแบ่งครึ่งมุม B1AC1ถ้า A′ = A และ C′ > C ดังนั้นรูปสามเหลี่ยม ABC และ AB1C1 ตรงกับเงื่อนไขหน่วยการ 2 มันตามที่ C′F′ < CF ความขัดแย้งถ้า A′ < A และบรรทัด AB1, AC1 พบ BC ที่จุด B2, C2 ตามลำดับโดยไม่สูญเสียทั่วไป เราถือว่า C1 ระหว่าง A และ C2, coinciding อาจกับ C2 (ดูรูปที่ 4) สมมติว่าตรงกับจุดแบ่งครึ่งมุม AC2B2 AB2 ที่ F2 และAB ที่ F3 ตั้งแต่สามเหลี่ยม AB1C1 และ AB2C2 ที่ตรงกับเงื่อนไขที่ 2 หน่วยการเรามีC′F′ ≤ C2F2 < C2F3 (

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตั้งแต่∠CB''A> ∠C'B'A≥∠B'AC 'เรามี∠CF''A> 90◦และจาก
สามเหลี่ยม CFF' '
CF' '< CF. (5)
จาก (4) และ (5) เราสรุปได้ว่า C'F '< CF. ?
ตอนนี้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทหลักของบันทึกนี้
ทฤษฎีบท 3. หากสามเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นลำดับ
เท่ากับสามเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม A'B'C 'แล้วรูปสามเหลี่ยมที่มี
ความสอดคล้องกัน
พิสูจน์ แสดงว่าเส้นแบ่งครึ่งมุมของเอบีซีโดย Ad พ.ศ. , CF และให้โฆษณา = A'D '
BE = B'E' CF = C'F '
หากมุมของรูปสามเหลี่ยมที่เรามี A = A 'B = B', C = C 'แล้วจาก
ความคล้ายคลึงกันของเอบีซีกับ A'B'C ว่า' และ ABD กับ A'B'D เราสรุป
ความสอดคล้องกันของเอบีซีกับ A'B'C '
ให้ A 'จะเป็นมุมที่ไม่สูงกว่ามุมอื่น ๆ ของสามเหลี่ยม A'B'C'
และเอบีซี เราสร้าง AB1C1 สามเหลี่ยมสอดคล้องกัน A'B'C 'ที่มีการโฆษณาเป็น
เส้นแบ่งครึ่งมุม B1AC1
ถ้า A '= A และ C'> C แล้วสามเหลี่ยม ABC และ AB1C1 ตอบสนองเงื่อนไข
ของบทแทรก 2. มันตามที่ C'F '<CF, ความขัดแย้ง
ถ้า A '<A และสาย AB1 ที่ AC1 พบ BC ที่จุด B2, C2 ตามลำดับ
โดยไม่สูญเสียของทั่วไปเราถือว่า C1 ระหว่าง A และ C2 อาจประจวบ
กับ C2 (ดูรูปที่ 4) สมมติว่าเส้นแบ่งครึ่งของ AC2B2 มุมที่มีคุณสมบัติตรงตามที่ AB2 F2 และ
AB ที่ F3 ตั้งแต่สามเหลี่ยม AB1C1 และ AB2C2 ตอบสนองเงื่อนไขของบทแทรก 2,
เรามี
C'F '≤ C2F2 <C2F3 (

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตั้งแต่∠ CB ′′ > ∠ C นั้นเป็น≥ B นั้น∠ B ได้รับ AC นั้น เราได้∠ CF ′′ > 90 ◦และจาก′′ CFF สามเหลี่ยม′′ < CF . CF ( 5 )( 4 ) และ ( 5 ) เราสรุปได้ว่า C School F นั้น < CFตอนนี้เราพิสูจน์ทฤษฎีบทหลักของบันทึกนี้ทฤษฎีบท 3 . ถ้าสามภายในมุมของรูปสามเหลี่ยม ABC bisectors ตามลำดับเท่ากับสามภายในมุมของสามเหลี่ยมเป็น MBC MBC bisectors B C นั้น แล้วสามเหลี่ยมที่สอดคล้องต้องกันพิสูจน์ แสดงมุม bisectors ของ ABC โดยโฆษณา เป็นโฆษณาและให้โฆษณา = D ’’ ,เป็น = B E ’’’’ , CF = C F .ถ้าในมุมของสามเหลี่ยมที่เรามีนั้น = , B = B School , C = C นั้น แล้วจากความเหมือนของ ABC กับ B และ C ’’’’’ ABD กับ B D ดูแลเราได้ความสอดคล้องกันของ ABC กับ B C ’’’ .ให้นั้นเป็นมุมที่ไม่ได้มากขึ้นกว่าใด ๆอื่น ๆของสามเหลี่ยมมุม B C ’’เป็น’และเบื้องต้น . เราสร้างรูปสามเหลี่ยม ab1c1 สอดคล้องกับ MBC MBC MBC ที่ได้โฆษณา B C เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุมของ b1ac1 .ถ้าได้รับ = A และ C นั้น > C แล้วสามเหลี่ยม ABC และ ab1c1 ตอบสนองเงื่อนไขของพ 2 มันเป็นไปตามที่ได้รับ F C นั้น < CF , ความขัดแย้งถ้าได้รับ < และเส้น ab1 ac1 เจอ BC , ที่จุดที่ B2 , C2 ตามลำดับโดยไม่สูญเสียโดยทั่วไปเราถือว่า C1 และ C2 ระหว่าง อาจจะประจวบกับ C2 ( ดูรูปที่ 4 ) ว่าเส้นแบ่งครึ่งมุม ac2b2 ตรงกับ ab2 ที่ F2 และAB ที่ F3 . เนื่องจากสามเหลี่ยมและ ab1c1 ab2c2 ตอบสนองเงื่อนไขของพ 2เรามีC F นั้นได้รับ≤ c2f2 < c2f3 . (