Figure 3 presents the transcript of

Figure 3 presents the transcript of the episode as a whole. Prior to the trouble spot, the teacher indicated the expanded form of a number raised to a power, and labeled it ‘‘expanded form’’. She then presented an expression (b2 - c2) for which she had provided values for b and c (b = 3, c = 2), and demonstrated how to evaluate the expression by substituting those values for b and c. Several students expressed confusion (e.g., saying ‘‘Wait… Wait. Wh-, what?’’ or simply, ‘‘What?’’; lines V9, V10). Thus, this trouble spot was coded as an instance of student-initiated questions. The teacher recognized these questions as a trouble spot, saying, ‘‘We’ll go over it again’’ (line V10). Following the trouble spot, the teacher began to describe the substitution process in a step-by-step fashion. She started by highlighting the link between b in b2 and the value of b indicated on the board (b = 3), using speech and pointing gestures. By this time, students were already expressing that they now understood, saying, ‘‘Oh, I got it,’’ (line V13) and ‘‘Oh, you’re going to tell us what b equals’’ (line V15). The teacher did not cede the floor, and instead pressed forward with her explanation. She delineated the link between c in c2 and the value of c indicated on the board (c = 2). At this point, it was clear from students’ responses that the trouble had been resolved, so she finished her description of the substitution process without much detail-in fact, less than she had provided before the trouble spot. Prior to the trouble spot, the teacher seemed to assume that students understood that the equations b = 3 and c = 2 assigned values to the variables in the expression. She stated, ‘‘I told you what each one was worth,’’ and simultaneously indicated both equations (b = 3 and c = 2) using a two-finger point (gesture G3). However, students did not share this understanding—the phrase ‘‘what each one was worth’’ and the two-finger point needed to be ‘‘unpacked’’. Note that the teacher’s verbal phrase is particularly complex. The expression ‘‘each one’’ refers to two variables (b and c) simultaneously, and the phrase as a whole (‘‘what each one was worth’’) refers to the function of the equations (i.e., assigning values to those variables). Thus, with this utterance, the teacher refers, not to a particular element of an equation, nor even to single equation, but to two equations simultaneously. At the same time, she pro-vides information about the function of those equations. This complex information occurs with a gesture that has a double referent: it indicates both equations at the same time, using a two-finger point. Thus, the information students are expected to take in from this utterance is quite complex indeed. Not surprisingly, the students did not grasp her meaning, and she addressed this lack of shared understanding using speech and gesture to delineate each relation separately.
She first linked the b in b2 - c2 to the b in b = 3, saying, ‘‘For b, b = 3’’ while pointing first to the b in
b2 - c2 and then to the equation b = 3. She then linked the c in b2 - c2 to the c in c = 2, saying, ‘‘c = 2’’ while pointing first to the c in b2 - c2 and then to the equation c = 2. Her gestures connected related parts of two symbolic representations (i.e., the variables in the expression b2 - c2 and the equations that assigned values to those variables), presumably with the goal of helping students link the two representations.
It is also worth noting that the teacher repeatedly used a palm-down handshape in delineating the corresponding parts of the two representations. This repetition of gesture form across a series of gestures is called a catchment (McNeill and Duncan 2000), and such catchments serve to promote cohesion in discourse (McNeill 2010). In this context, the catchment serves to highlight, or perhaps even forge, conceptual connections across representations (see Nathan and Alibali 2011). The teacher altered her hand-shape, ending the catchment, as she went on to describe substituting and multiplying. In quantitative terms, in the turn prior to the trouble spot, the teacher produced 17 gestures with 82 words, for a rate of 20.7 gestures per 100 words. It is worth noting that this pre-trouble-spot rate is even higher than the high end of the ranges reported in other studies of non-instructional settings (e.g., Alibali et al. 2001; Hostetter and Alibali 2010). However, despite this high baseline, she substantially increased her gesture rate after the trouble spot, producing 7 gestures with 17 words, for an extraordinarily high rate of 41.2 gestures per 100 words. In this example, this teacher realizes that she did not share common ground with her students, as manifested in their questions and expressions of lack of understanding. In response, she sought to re-establish common ground by more carefully delineating the relationships between the equations used to assign variables and the expression being evaluated, and she did so using a very high rate of gestures.
The second example was drawn from a lesson focusing on the patterns of growth exhibited by cubes with different side lengths. In this 8th-grade lesson, the teacher sought to demonstrate that the growth patterns of different constituent parts of a cube—total number of blocks, number of corner blocks (3 faces showing), number of edge blocks (2 faces showing), number of face blocks (1 face showing), and number of internal cubes (0 faces showing)—follow different mathematical functions. For example, the number of corner blocks is a constant function; the number of edge blocks is a linear function of side length. The teacher summarized values for each variable for cubes of different side lengths in a table on an overhead transparency. Before the trouble spot, the teacher and class had generated table entries for cubes with side lengths 2, 3, 4, and 5, with the exception of the entry for the number of blocks with one face showing for a cube of side length 5. One student suggested that, to find the missing value, one could start with the total number of blocks in the 5 9 5 9 5 cube, and subtract the number of corner blocks, the number of edge blocks, and the number of internal cubes. The teacher acknowledged that this would be an accurate way to determine the number of blocks with one face showing, but encouraged students to consider another way, namely, finding the number of blocks with one face showing on each side of the cube, and multiplying by the number of sides. While holding a Rubik’s cube with side length 4, the teacher asked students how many blocks would be ‘‘in the middle of the face’’ on a 5 9 5 9 5 cube. In posing
the question, he gestured to the four blocks ‘‘in the middle of the face’’ on the 4 9 4 9 4 cube, using a circling gesture to represent the ‘‘middle’’ of the face. A student answered uncertainly, saying ‘‘4? or no, never mind.’’ This utterance was coded as a trouble spot in which the student offered a dysfluent response. It is noteworthy that the student’s uncertain answer, 4, is in fact the actual number of blocks with one face showing on each face of the 4 9 4 9 4 cube that the teacher was holding—however, the teacher had asked about a 5 9 5 cube face, not a 4 9 4 one. By gesturing to the ‘‘middle’’ blocks on the 4 9 4 cube face, he intended for students to think about ‘‘middle’’ blocks of the 5 9 5 cube face. Following the student’s response, the teacher made more specific representational gestures on the 4 9 4 9 4 cube, depicting a hypothetical 5 9 5 cube face and highlighting the ‘‘middle’’ 3 9 3 square within it, saying ‘‘If we have a five by five cube, it would be kind of a little cube here in the middle (Fig. 4).’’ Using representational gestures, the teacher ‘‘created’’ a hypothetical 5 9 5 cube face in gesture space, with the actual 4 9 4 cube face as the bottom left portion of the 5 9 5 face (see Fig. 5). He then traced part of the outer ring of blocks on the hypothetical 5 9 5 cube face to highlight the referent of ‘‘middle’’ in this context, and then delineated the ‘‘middle’’ 3 9 3 section of the hypothetical 5 9 5 face by pointing in a circular motion over the relevant 3 9 3 (‘‘middle’’) section of the hypothetical 5 9 5 face (the upper right 3 9 3 section of the actual 4 9 4 face). In this example, the teacher seemed to realize that his original, pre-trouble-spot gesture—indicating the ‘‘middle’’ of the 4 9 4 cube face to refer to the ‘‘middle’’ of a 5 9 5 cube face—was confusing for students. Teacher and student did not share common ground, as the student was focusing on the 4 9 4 9 4 cube and teacher was focusing on the hypothetical 5 9 5 9 5 cube. After the trouble spot the teacher gesturally ‘‘created’’ a 5 9 5 cube face that incorporated the actual 4 9 4 cube face. In this way, he sought to re-establish common ground, by depicting specific content in greater detail. This effort was successful, as in the student’s subsequent turn, he stated ‘‘3 9 3’’—the actual size of the ‘‘middle’’ section of a 5 9 5 cube face. It is also worth noting that the teacher used gestures with circular motion repeatedly when speaking about the ‘‘middles’’ of cube faces. This catchment may have served to highlight the connections between the middle sections of the actual 4 9 4 cube face and the hypothetical 5 9 5 cube face. In quantitative terms, in the turn prior to the trouble spot, the teacher produced 8 gestures with 53 words, for a rate of 15.1 gestures per 100 words. Following the trouble spot, he increased his gesture rate, producing 5 gestures with 20 words, for a rate of 25 gestures per 100 words. As the qualitative analysis reveals, the nature of his gestures also changed. After the trouble spot, he represented the 5 9 5 cube face that he wished students to imagine using more specific, detailed represe

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

รูปที่ 3 แสดงหลักฐานการศึกษาตอนทั้งหมด ก่อนที่จะรับปัญหา ครูระบุแบบขยายของเลขยกกำลัง และป้าย มัน ''ขยายฟอร์ม '' เธอแล้วแสดงนิพจน์ (b2 - c2) ที่เธอได้ให้ค่า b และ c (b = 3, c = 2), และสาธิตวิธีการประเมินนิพจน์ โดยการแทนที่ค่า b และ c นักเรียนหลายแสดงความสับสน (เช่น พูด '' รอ... รอสักครู่ Wh- อะไร?'' หรือเพียง, ''ไหม ''; รายการ V9, V10) จึง ปัญหาจุดนี้ถูกเข้ารหัสเป็นอินสแตนซ์ของคำถามที่นักศึกษาเริ่มต้น ครูรู้จักคำถามเหล่านี้เป็นปัญหาจุด บอกว่า "เราจะไปมันอีก '' (บรรทัด V10) ต่อจุดปัญหา ครูเริ่มอธิบายกระบวนการทดแทนในแต่ละขั้นตอน เธอเริ่มต้น ด้วยการเน้นการเชื่อมโยงระหว่าง b ใน b2 และค่าของ b ที่ระบุบนกระดาน (b = 3), ใช้คำพูด และชี้รูปแบบลายเส้น โดยเวลานี้ นักเรียนได้แล้วแสดงว่า พวกเขาตอนนี้เข้าใจ บอกว่า, ''โอ้ ผมมัน (บรรทัด V13) และ ''โอ้ คุณกำลังจะบอกว่า b เท่ากับ '' (บรรทัด V15) ครูได้ cede พื้น และแทน กดไปข้างหน้า ด้วยคำอธิบายของเธอ เธอ delineated ลิงค์ระหว่าง c ใน c2 และค่าของ c ที่ระบุบนกระดาน (c = 2) จุดนี้ เป็นชัดเจนจากคำตอบของนักเรียนที่ปัญหาได้รับการแก้ไข เพื่อเธอเสร็จเธออธิบายการแทนที่โดยมากรายละเอียดในข้อเท็จจริง น้อยกว่าเธอได้ให้ก่อนที่จะรับปัญหา ก่อนที่จะรับปัญหา ครูประจักษ์คิดว่า นักเรียนเข้าใจที่ b สมการ = 3 และ c = 2 กำหนดค่าตัวแปรในนิพจน์ เธอระบุ, ''ฉันบอกคุณสิ่งหนึ่งแต่ละคุ้ม และแสดงพร้อมกันทั้งสองสมการ (b = 3 และ c = 2) โดยใช้จุดสองนิ้ว (ท่า G3) อย่างไรก็ตาม นักเรียนได้ร่วมกันความเข้าใจนี้ — วลี ''อะไรละคุ้ม '' และจุดสองนิ้วต้องมี '''' หมายเหตุว่า วลีด้วยวาจาของครูมีความซับซ้อนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง นิพจน์ ''แต่ละหนึ่งนิ้วถึงสองตัวแปร (b และ c) พร้อมกัน และวลีทั้งหมด (''อะไรละคุ้ม '') หมายถึงการทำงานของสมการ (เช่น การกำหนดค่าให้ตัวแปรเหล่านั้น) จึง ด้วยนี้ utterance ครูอ้าง ไม่องค์ประกอบเฉพาะของสมการ หรือแม้กระทั่ง การสมการเดียว แต่สมการสองพร้อมกัน ในเวลาเดียวกัน เธอ pro-vides ข้อมูลเกี่ยวกับฟังก์ชันสมการเหล่านั้น ข้อมูลที่ซับซ้อนนี้เกิดขึ้นกับรูปแบบที่มีใช้คู่: จะแสดงสมการทั้งสองในเวลาเดียวกัน ใช้จุดสองนิ้ว ข้อมูลที่นักเรียนต้องใช้ในจาก utterance นี้จึงค่อนข้างได้ซับซ้อนจริง ๆ ไม่น่าแปลกใจ นักเรียนที่ได้เข้าใจความหมายของเธอ และเธออยู่ในนี้ขาดความเข้าใจร่วมกันโดยใช้คำพูดและท่าทางจะไปแต่ละความสัมพันธ์ต่างหากเธอเชื่อมโยงก่อน b ใน b2 - c2 ไป b ใน b = 3 บอกว่า, '' สำหรับ b, b = 3 นิ้วในขณะที่ชี้ไปยัง b ในครั้งแรก b2 - c2 และให้ b สมการ = 3 เธอแล้วเชื่อมโยง c ใน b2 - c2 ถึง c ใน c = 2 พูด, '' c = 2 นิ้วขณะชี้ก่อน ถึง c ใน b2 - c2 แล้วสมการ c = 2 ท่าทางของเธอเชื่อมต่อชิ้นส่วนที่เกี่ยวข้องของสองสัญลักษณ์ที่ใช้แทน (เช่น ตัวแปรในนิพจน์ b2 - c2 และสมการที่กำหนดค่าให้ตัวแปรเหล่านั้น), ทับ โดยมีเป้าหมายเพื่อช่วยให้นักเรียนเชื่อมโยงนำเสนอสองเป็นเร็ว ๆ ว่า ครูซ้ำ ๆ ใช้ handshape ปาล์มลงใน delineating แทนสองส่วนสอดคล้องกัน ซ้ำของรูปแบบฟอร์มต่าง ๆ ชุดรูปแบบลายเส้นนี้เรียกว่าลุ่มน้ำ (McNeill และดันแคน 2000), และ catchments เช่นบริการเพื่อส่งเสริมสามัคคีในวาทกรรม (McNeill 2010) ในบริบทนี้ ลุ่มน้ำที่บริการการเชื่อมต่อแนวคิดที่สำคัญ หรือแม้แต่อาจจะปลอม ข้ามแทน (ดูนาธานและ Alibali 2011) ครูเปลี่ยนแปลงเธอมือรูป ลุ่มน้ำ สิ้นสุด ตามเธอไปเพื่ออธิบายการแทนที่ และคูณ ในแง่ของเชิงปริมาณ ในเปิดก่อนจุดปัญหา ครูผลิต 17 ท่าทางกับคำ 82 สำหรับรูปแบบลายเส้น 20.7 ต่อคำ 100 อัตรา ก็เร็ว ๆ นี้ฤกษ์ก่อนแถบ-trouble-จุดระยะสูงกว่าของช่วงที่รายงานในการศึกษาอื่น ๆ ไม่สอนการตั้งค่า (เช่น Alibali et al. 2001 Hostetter ก Alibali 2010) อย่างไรก็ตาม แม้ มีพื้นฐานนี้สูง เธอมากขึ้นอัตรารูปแบบลายเส้นของเธอหลังจุดปัญหา ผลิตรูปแบบลายเส้นที่ 7 มีคำ 17 สำหรับอัตราการรองสูงรูปแบบลายเส้น 41.2 ต่อ 100 คำ ในตัวอย่างนี้ นี้ครูตระหนักว่า เธอได้ร่วมกันจุดยืนร่วมกันกับครู เป็นที่ประจักษ์ในนิพจน์ของการขาดความเข้าใจและคำถามของพวกเขา ตอบ เธอพยายามที่จะสร้างพื้นดินทั่วไป โดยเพิ่มเติมอย่างละเอียด delineating ความสัมพันธ์ระหว่างสมการที่ใช้ในการกำหนดตัวแปรและนิพจน์ถูกประเมินใหม่ และเธอไม่ได้ให้ใช้รูปแบบลายเส้นในอัตราที่สูงมากตัวอย่างที่สองมาจากบทเรียนเน้นรูปแบบของการจัดแสดง โดยลูกบาศก์มีความยาวด้านต่าง ๆ เจริญเติบโต ในบทเรียนนี้เกรด 8 ครูขอแสดงที่รูปแบบการเจริญเติบโตของส่วนธาตุของ cube — รวมจำนวนบล็อก จำนวนมุมบล็อก (หน้า 3 ที่แสดง), จำนวนบล็อกขอบ (2 ใบหน้าแสดง), จำนวนของหน้าบล็อก (1 หน้าแสดง และจำนวนภายในลูกบาศก์ (0 ใบหน้าแสดง) — ตามฟังก์ชันต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง จำนวนมุมบล็อกเป็นฟังก์ชันคง จำนวนบล็อกขอบเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของความยาวด้าน ครูสรุปค่าสำหรับแต่ละตัวแปรสำหรับ cube ของความยาวด้านที่แตกต่างกันในตารางความโปร่งใสการจ่าย ก่อนที่จะรับปัญหา ครูและชั้นได้สร้างตารางรายการลูกบาศก์มีความยาวด้าน 2, 3, 4 และ 5 ยกเว้นรายการจำนวนบล็อกหน้าหนึ่งที่แสดงสำหรับ cube ของยาว 5 นักเรียนหนึ่งแนะนำว่า จะค้นหาค่าหายไป หนึ่งสามารถเริ่มต้น ด้วยจำนวนรวมของบล็อกใน 5 9 5 9 5 cube และลบมุมบล็อกจำนวน จำนวนบล็อกขอบ และหมายเลขภายในลูกบาศก์ ครูยอมรับว่า นี้จะเป็นวิธีถูกต้องเพื่อกำหนดจำนวนของบล็อกหน้าหนึ่งแสดง แต่สนับสนุนให้นักเรียนพิจารณาอีกทาง ได้แก่ ค้นหาหมายเลขของบล็อกกับหน้าแสดงบนแต่ละด้านของ cube และคูณ ด้วยจำนวนด้าน ยึดถือลูกบาศก์ของรูบิคกับยาว 4 ครูถามนักเรียนจำนวนบล็อกจะได้นิ้วกลางหน้า '' กับ 5 9 5 9 5 cube ในการวางตัวthe question, he gestured to the four blocks ‘‘in the middle of the face’’ on the 4 9 4 9 4 cube, using a circling gesture to represent the ‘‘middle’’ of the face. A student answered uncertainly, saying ‘‘4? or no, never mind.’’ This utterance was coded as a trouble spot in which the student offered a dysfluent response. It is noteworthy that the student’s uncertain answer, 4, is in fact the actual number of blocks with one face showing on each face of the 4 9 4 9 4 cube that the teacher was holding—however, the teacher had asked about a 5 9 5 cube face, not a 4 9 4 one. By gesturing to the ‘‘middle’’ blocks on the 4 9 4 cube face, he intended for students to think about ‘‘middle’’ blocks of the 5 9 5 cube face. Following the student’s response, the teacher made more specific representational gestures on the 4 9 4 9 4 cube, depicting a hypothetical 5 9 5 cube face and highlighting the ‘‘middle’’ 3 9 3 square within it, saying ‘‘If we have a five by five cube, it would be kind of a little cube here in the middle (Fig. 4).’’ Using representational gestures, the teacher ‘‘created’’ a hypothetical 5 9 5 cube face in gesture space, with the actual 4 9 4 cube face as the bottom left portion of the 5 9 5 face (see Fig. 5). He then traced part of the outer ring of blocks on the hypothetical 5 9 5 cube face to highlight the referent of ‘‘middle’’ in this context, and then delineated the ‘‘middle’’ 3 9 3 section of the hypothetical 5 9 5 face by pointing in a circular motion over the relevant 3 9 3 (‘‘middle’’) section of the hypothetical 5 9 5 face (the upper right 3 9 3 section of the actual 4 9 4 face). In this example, the teacher seemed to realize that his original, pre-trouble-spot gesture—indicating the ‘‘middle’’ of the 4 9 4 cube face to refer to the ‘‘middle’’ of a 5 9 5 cube face—was confusing for students. Teacher and student did not share common ground, as the student was focusing on the 4 9 4 9 4 cube and teacher was focusing on the hypothetical 5 9 5 9 5 cube. After the trouble spot the teacher gesturally ‘‘created’’ a 5 9 5 cube face that incorporated the actual 4 9 4 cube face. In this way, he sought to re-establish common ground, by depicting specific content in greater detail. This effort was successful, as in the student’s subsequent turn, he stated ‘‘3 9 3’’—the actual size of the ‘‘middle’’ section of a 5 9 5 cube face. It is also worth noting that the teacher used gestures with circular motion repeatedly when speaking about the ‘‘middles’’ of cube faces. This catchment may have served to highlight the connections between the middle sections of the actual 4 9 4 cube face and the hypothetical 5 9 5 cube face. In quantitative terms, in the turn prior to the trouble spot, the teacher produced 8 gestures with 53 words, for a rate of 15.1 gestures per 100 words. Following the trouble spot, he increased his gesture rate, producing 5 gestures with 20 words, for a rate of 25 gestures per 100 words. As the qualitative analysis reveals, the nature of his gestures also changed. After the trouble spot, he represented the 5 9 5 cube face that he wished students to imagine using more specific, detailed represe

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

รูปที่ 3 นำเสนอหลักฐานของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในฐานะที่เป็น ก่อนที่จะจุดปัญหาที่ครูชี้ให้เห็นรูปแบบการขยายตัวของจำนวนยกกำลังและโดดเด่น '' รูปแบบการขยายตัว '' จากนั้นเธอก็นำเสนอการแสดงออก (b2 - c2) ซึ่งเธอได้ให้ค่า B และ C (ข = 3, C = 2) และแสดงให้เห็นถึงวิธีการประเมินการแสดงออกโดยการแทนค่าเหล่านั้นสำหรับ B และ C นักเรียนหลายคนแสดงความสับสน (เช่นบอกว่า '' หรือ '' อะไร '' 'รอ ... รอ Wh- สิ่งที่.'; สาย V9, V10) ดังนั้นจุดที่ปัญหานี้ได้รับการกำหนดเป็นตัวอย่างของคำถามของนักเรียนที่ริเริ่ม ครูได้รับการยอมรับสำหรับคำถามเหล่านี้เป็นจุดปัญหาที่ว่า '' เราจะไปกว่านั้นอีกครั้ง '' (สาย V10) ต่อไปนี้จุดปัญหาที่ครูเริ่มที่จะอธิบายขั้นตอนการทดแทนในขั้นตอนโดยขั้นตอนแฟชั่น เธอเริ่มต้นโดยเน้นการเชื่อมโยงระหว่างในข b2 และมูลค่าของขที่ระบุไว้บนกระดาน (ข = 3) การใช้คำพูดและท่าทางชี้ โดยขณะนี้นักเรียนได้แล้วแสดงว่าพวกเขาเข้าใจในขณะนี้ว่า '' โอ้ฉันได้มัน '' (สาย V13) และ '' โอ้ที่คุณกำลังจะบอกเราว่าขเท่ากับ '' (สาย V15) . ครูไม่ยอมยกให้พื้นและแทนที่จะกดไปข้างหน้าด้วยคำอธิบายของเธอ เธอเบี่ยงเชื่อมโยงระหว่างคใน c2 และความคุ้มค่าของ c ที่ระบุไว้บนกระดาน (c = 2) ณ จุดนี้มันเป็นที่ชัดเจนจากการตอบสนองของนักเรียนที่มีปัญหาได้รับการแก้ไขเพื่อให้เธอเสร็จสิ้นคำอธิบายของเธอในกระบวนการทดแทนไม่มากรายละเอียดในความเป็นจริงน้อยกว่าที่เธอได้ให้ไว้ก่อนที่จะจุดปัญหาที่ ก่อนที่จะจุดปัญหาที่ครูดูเหมือนจะคิดว่านักเรียนเข้าใจว่าสมการข = 3 และ c = 2 ค่าที่กำหนดให้กับตัวแปรในการแสดงออก เธอกล่าวว่า '' ผมบอกคุณในสิ่งที่แต่ละคนก็คุ้มค่า, '' และพร้อมระบุทั้งสองสมการ (ข = 3 และ c = 2) ใช้เป็นจุดสองนิ้ว (ท่าทาง G3) อย่างไรก็ตามนักเรียนมิได้มีส่วนร่วมนี้เข้าใจวลี '' สิ่งที่แต่ละคนก็คุ้มค่า '' และจุดที่สองนิ้วความจำเป็นที่จะ '' แตก '' โปรดทราบว่าวลีคำพูดของครูที่มีความซับซ้อนโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแสดงออก '' แต่ละคน '' หมายถึงสองตัวแปร (ขและค) พร้อมกันและวลีโดยรวม ('' สิ่งที่แต่ละคนก็คุ้มค่า '') หมายถึงการทำงานของสมการ (เช่นการกำหนดค่าให้กับผู้ที่ ตัวแปร) จึงมีคำพูดนี้หมายถึงครูไม่ได้ที่จะเป็นองค์ประกอบหนึ่งของสมการหรือแม้แต่สมเดียว แต่สองสมการพร้อมกัน ในขณะเดียวกันเธอข้อมูลโปร-Vides เกี่ยวกับการทำงานของสมการเหล่านั้น ข้อมูลที่ซับซ้อนนี้เกิดขึ้นกับท่าทางที่มีการอ้างอิงคู่: มันแสดงให้เห็นสมการทั้งสองในเวลาเดียวกันโดยใช้จุดสองนิ้ว ดังนั้นนักเรียนข้อมูลที่คาดว่าจะใช้เวลาในการจากคำพูดนี้มีความซับซ้อนค่อนข้างแน่นอน ไม่น่าแปลกใจที่นักเรียนไม่เข้าใจความหมายของเธอและเธอ addressed ขาดความเข้าใจร่วมกันโดยใช้คำพูดและท่าทางในการวิเคราะห์ความสัมพันธ์แต่ละแยก.
ครั้งแรกที่เธอเชื่อมโยงขใน b2 - c2 เพื่อขข = 3 ว่า '' สำหรับขข = 3 '' ขณะที่ชี้แรกที่จะขใน
b2 - c2 แล้วสมการข = 3. จากนั้นเธอก็เชื่อมโยงคใน b2 - c2 คใน c = 2 ว่า '' c = 2 '' ขณะที่ชี้แรกที่คใน b2 - การ c2 แล้วสมการ c = 2 ท่าทางของเธอเชื่อมต่อส่วนที่เกี่ยวข้องของทั้งสองเป็นตัวแทนสัญลักษณ์ (เช่นตัวแปรในการแสดงออก b2 - c2 และสมการที่ได้รับมอบหมายค่าให้กับผู้ที่ ตัวแปร) น่าจะมีเป้าหมายในการช่วยให้นักเรียนเชื่อมโยงทั้งสองเป็นตัวแทน.
นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่าครูซ้ำ ๆ ใช้ handshape ปาล์มลงในโทบี้ส่วนที่สอดคล้องกันของทั้งสองเป็นตัวแทน การทำซ้ำในรูปแบบท่าทางทั่วชุดของท่าทางนี้เรียกว่าการเก็บกักน้ำ (McNeill และดันแคน 2000) และ catchments ดังกล่าวทำหน้าที่ในการส่งเสริมการทำงานร่วมกันในการสนทนา (McNeill 2010) ในบริบทนี้เก็บกักน้ำให้บริการที่จะเน้นหรือบางทีอาจจะปลอมการเชื่อมต่อแนวความคิดผ่านการแสดง (ดูนาธานและ Alibali 2011) ครูมีการเปลี่ยนแปลงของเธอมือรูปร่างสิ้นสุดการเก็บกักน้ำในขณะที่เธอไปในการอธิบายแทนและคูณ ในแง่ปริมาณในการเปิดจุดก่อนที่จะมีปัญหาที่ครูผลิต 17 ท่าทางกับ 82 คำสำหรับอัตรา 20.7 ท่าทางต่อ 100 คำ มันเป็นที่น่าสังเกตว่าก่อนนี้ปัญหาจุดอัตราที่สูงขึ้นกว่าระดับไฮเอนด์ของช่วงที่มีการรายงานในการศึกษาอื่น ๆ ของการตั้งค่าที่ไม่ใช่การเรียนการสอน (เช่น Alibali et al, 2001;. Hostetter และ Alibali 2010) อย่างไรก็ตามแม้จะมีพื้นฐานที่สูงนี้เธอเพิ่มขึ้นอย่างมากอัตราท่าทางของเธอหลังจากที่จุดปัญหาที่การผลิต 7 ท่าทางกับ 17 คำเป็นอัตราที่สูงผิดปกติของท่าทาง 41.2 ต่อ 100 คำ ในตัวอย่างนี้ครูนี้ตระหนักดีว่าเธอไม่ได้ร่วมพื้นดินทั่วไปกับนักเรียนของเธอเป็นที่ประจักษ์ในคำถามของพวกเขาและการแสดงออกของการขาดความเข้าใจ ในการตอบสนองที่เธอพยายามที่จะสร้างใหม่พื้นดินทั่วไปขึ้นอย่างรอบคอบโทบี้ความสัมพันธ์ระหว่างสมการที่ใช้ในการกำหนดตัวแปรและการแสดงออกที่ถูกประเมินและเธอไม่ดังนั้นการใช้อัตราที่สูงมากของท่าทาง.
ตัวอย่างที่สองถูกดึงออกมาจากบทเรียน มุ่งเน้นไปที่รูปแบบของการเจริญเติบโตแสดงโดยก้อนที่มีความยาวด้านที่แตกต่าง ในบทเรียนนี้ 8 ชั้นครูพยายามที่จะแสดงให้เห็นว่ารูปแบบการเจริญเติบโตของส่วนที่เป็นส่วนประกอบที่แตกต่างกันของจำนวนก้อนรวมของบล็อกจำนวนบล็อกมุม (3 ใบหน้าแสดง) จำนวนบล็อกขอบ (2 ใบหน้าแสดง) จำนวน ใบหน้าของบล็อก (แสดงใบหน้า 1) และจำนวนของก้อนภายใน (0 ใบหน้าแสดง) ควรตามฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นจำนวนของบล็อกมุมเป็นฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่อง; จำนวนบล็อกขอบเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของความยาวด้าน ครูสรุปค่าตัวแปรแต่ละก้อนที่มีความยาวด้านที่แตกต่างกันในตารางบนโปร่งใสค่าใช้จ่าย ก่อนที่จะจุดปัญหาที่ครูและชั้นได้สร้างรายการตารางสำหรับก้อนที่มีความยาวด้านที่ 2, 3, 4, 5 และมีข้อยกเว้นของรายการสำหรับจำนวนของบล็อกกับใบหน้าที่แสดงสำหรับสามของความยาวด้านที่ 5 นักศึกษาคนหนึ่งชี้ให้เห็นว่าการหาค่าที่ขาดหายไปใครจะเริ่มต้นด้วยจำนวนรวมของบล็อกใน 5 9 5 9 5 ก้อนและลบจำนวนบล็อกมุมจำนวนบล็อกขอบและจำนวนของก้อนภายใน ครูได้รับการยอมรับว่าเรื่องนี้จะเป็นวิธีที่ถูกต้องในการกำหนดจำนวนของบล็อกที่มีการแสดงใบหน้าหนึ่ง แต่เป็นกำลังใจให้นักเรียนที่จะต้องพิจารณาอีกวิธีหนึ่งคือการหาจำนวนบล็อกกับใบหน้าที่แสดงในแต่ละด้านของลูกบาศก์และคูณด้วย จำนวนของด้าน ในขณะที่ถือลูกบาศก์รูบิคที่มีความยาว 4 ด้านครูถามนักเรียนว่าหลายบล็อกจะเป็น '' ในช่วงกลางของใบหน้า '' เมื่อวันที่ 5 9 5 9 5 ก้อน ในการวางตัวคำถามที่เขาชี้ไปที่สี่ช่วงตึก '' ในช่วงกลางของใบหน้า '' เมื่อวันที่ 4 9 4 9 4 ก้อนโดยใช้ท่าทางวงเพื่อเป็นตัวแทนของ '' กลาง '' ของใบหน้า
นักเรียนตอบความไม่แน่นอนว่า '' 4? หรือไม่มีเลยไม่เคยคิด. '' คำพูดนี้ถูกกำหนดเป็นจุดปัญหาที่นักศึกษานำเสนอการตอบสนอง dysfluent เป็นที่น่าสังเกตว่าคำตอบที่มีความไม่แน่นอนของนักเรียน, 4, ในความเป็นจริงจำนวนที่แท้จริงของบล็อกกับใบหน้าที่แสดงบนใบหน้าของแต่ละ 4 9 4 9 4 ก้อนว่าครูถือ-แต่ครูได้ถามเกี่ยวกับ 5 9 5 ใบหน้าก้อนไม่ได้เป็น 4 9 4 หนึ่ง โดยชี้ไปที่ '' กลาง '' บล็อกใน 4 9 4 ก้อนใบหน้าของเขามีไว้สำหรับนักเรียนที่จะคิดเกี่ยวกับ '' กลาง '' บล็อก 5 9 5 ใบหน้าก้อน ต่อไปนี้การตอบสนองของนักเรียนครูที่ทำท่าทางดำเนินการเฉพาะเจาะจงมากขึ้นใน 4 9 4 9 4 ก้อนรูปสมมุติ 5 9 5 ใบหน้าก้อนและไฮไลท์ '' กลาง '' 3 9 3 ตารางอยู่ภายในว่า '' ถ้าเรามี ห้าห้าก้อนก็จะเป็นชนิดของก้อนเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่นี่อยู่ตรงกลาง (รูปที่. 4). '' การใช้ท่าทางดำเนินครู '' สร้าง '' สมมุติ 5 9 5 ใบหน้าก้อนในพื้นที่ท่าทางด้วย ที่เกิดขึ้นจริง 4 9 4 ก้อนใบหน้าเป็นส่วนที่เหลือด้านล่างของ 5 9 5 ใบหน้า (ดูรูปที่. 5) จากนั้นเขาก็ตรวจสอบส่วนหนึ่งของวงแหวนรอบนอกของบล็อกบนสมมุติ 5 9 5 ใบหน้าก้อนเพื่อเน้นอ้างอิงของ '' กลาง '' ในบริบทนี้แล้วปลอด '' กลาง '' 3 9 3 ส่วนของสมมุติ 5 9 5 ใบหน้าโดยชี้ในลักษณะเป็นวงกลมที่เกี่ยวข้องในช่วง 3 9 3 ('' กลาง '') ส่วนหนึ่งของสมมุติ 5 9 5 ใบหน้า (ขวาบน 3 9 3 ส่วน 4 ที่เกิดขึ้นจริง 9 ใบหน้า 4) ในตัวอย่างนี้ครูที่ดูเหมือนจะตระหนักว่าเดิมของเขาก่อนปัญหาจุดท่าทางแสดง '' กลาง '' 4 9 4 ใบหน้าก้อนเพื่ออ้างถึง '' กลาง '' ของ 5 9 5 ใบหน้าก้อน -was สับสนสำหรับนักเรียน ครูและนักเรียนไม่ใช้พื้นดินทั่วไปเป็นนักเรียนที่กำลังมุ่งเน้นไปที่ 4 4 9 9 4 ก้อนและครูผู้สอนได้รับการมุ่งเน้นไปที่สมมุติ 5 9 5 9 5 ก้อน หลังจากจุดปัญหาที่ครู gesturally '' สร้าง '' 5 9 5 ใบหน้าก้อนที่เกิดขึ้นจริงรวม 4 9 4 ก้อนใบหน้า ด้วยวิธีนี้เขาพยายามที่จะสร้างใหม่พื้นดินทั่วไปโดยภาพวาดเนื้อหาที่เฉพาะเจาะจงในรายละเอียดมากขึ้น ความพยายามนี้ก็ประสบความสำเร็จเช่นเดียวกับในทางกลับกันที่ตามมาของนักเรียนเขากล่าวว่า '' 3 9 3 '' - ขนาดที่แท้จริงของส่วน '' กลาง '' ของ 5 9 5 ใบหน้าก้อน นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่าครูที่ใช้ท่าทางที่มีลักษณะเป็นวงกลมซ้ำแล้วซ้ำอีกเมื่อพูดเกี่ยวกับ '' middles '' ใบหน้าก้อน การเก็บกักน้ำนี้อาจได้ทำหน้าที่เพื่อเน้นการเชื่อมต่อระหว่างส่วนตรงกลางของจริง 4 9 4 ก้อนใบหน้าและสมมุติ 5 9 5 ใบหน้าก้อน ในแง่ปริมาณในการเปิดจุดก่อนที่จะมีปัญหาที่ครูผลิต 8 ท่าทางกับ 53 คำอัตรา 15.1 ท่าทางต่อ 100 คำ ต่อไปนี้จุดปัญหาที่เขาเพิ่มอัตราท่าทางของเขาผลิต 5 ท่าทางกับ 20 คำสำหรับอัตรา 25 ท่าทางต่อ 100 คำ ขณะที่การวิเคราะห์เชิงคุณภาพพบลักษณะท่าทางของเขาเปลี่ยนไปยัง หลังจากจุดปัญหาที่เขาเป็นตัวแทนของ 5 9 5 ใบหน้าก้อนว่าเขาอยากให้นักเรียนที่จะใช้จินตนาการเฉพาะเจาะจงมากขึ้น represe รายละเอียด

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

รูปที่ 3 แสดงผลการเรียน จากตอน ที่เป็นทั้ง ก่อนที่จะจุดปัญหา ครู พบการขยายรูปแบบของเลขยกกำลัง และติดป้ายว่า ' 'expanded ฟอร์ม ' ' เธอแสดงสีหน้า ( B2 - C2 ) ซึ่งเธอได้ให้คุณค่ากับ B และ C ( B = 3 , C = 2 ) , และแสดงให้เห็นถึงวิธีการประเมินการแสดงออกโดยการเปลี่ยนค่า B และ C .นักเรียนหลายคนมีความสับสน เช่น พูดว่า ' 'wait . . . . . . . รอ อะ - อะไร ? ' ' หรือเพียงแค่ ' ' ? ' ' ; สาย v9 V10 , ) ดังนั้น จุดปัญหานี้ถูกตั้งเป็นอินสแตนซ์ของนักเรียนเริ่มคำถาม ครูยอมรับคำถามเหล่านี้เป็นปัญหาจุด กล่าวว่า ' ' เรากำลังจะไปอีกครั้ง ' ' ( สาย V10 ) ต่อไปนี้จุดปัญหาอาจารย์เริ่มบรรยายกระบวนการทดแทนในขั้นตอนที่แฟชั่น เธอเริ่มโดยเน้นการเชื่อมโยงระหว่าง B B2 และค่าของ B พบในบอร์ด ( B = 3 ) การใช้คำพูดและชี้แสดงท่าทาง โดยในครั้งนี้ นักศึกษาได้แสดงออกว่าพวกเขาตอนนี้เข้าใจแล้วว่า โอ้ ฉันได้ ' ' ( สาย v13 ) และ ' ' โอคุณกำลังจะบอกเราว่า บี เท่ากับ ' ' ( สาย v15 ) ครูไม่ยกให้ชั้นและแทนที่จะกดไปข้างหน้าด้วยคำอธิบายของเธอ เธออธิบายเชื่อมโยงระหว่าง C ใน C2 และค่าของ C แสดงในบอร์ด ( C = 2 ) ณจุดนี้ มันเป็นที่ชัดเจนจากการตอบสนองของนักเรียนที่ปัญหาได้รับการแก้ไขดังนั้น เธอเสร็จเธออธิบายกระบวนการทดแทน โดยไม่มีรายละเอียดมาก ในความเป็นจริงน้อยกว่าเธอได้ให้ไว้ก่อนที่จะจุดปัญหา ก่อนที่จะจุดปัญหา ครูจะถือว่านักศึกษาเข้าใจว่าสมการ B และ C = 3 = 2 กำหนดค่าให้ตัวแปรในนิพจน์ เธอกล่าว " ฉันบอกคุณสิ่งที่แต่ละคนถูกคุ้มค่า' ' และขณะเดียวกันพบทั้งสองสมการ ( B = 3 และ c = 2 ) การชี้สองนิ้ว ( ท่าทาง G3 ) อย่างไรก็ตาม นักเรียนไม่ได้แบ่งปันความเข้าใจวลี ' ' แต่ละตัวมีค่า ' ' และสองนิ้วชี้เป็น ' 'unpacked ' ' ทราบว่าอาจารย์พูดวลีโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่ซับซ้อนนิพจน์ ' 'each หนึ่ง ' ' หมายถึงสองตัวแปร ( B และ C ) พร้อมกันและวลีโดยรวม ( " อะไรแต่ละอย่างคุ้มค่า ' ' ) หมายถึง การทำงานของสมการ ( คือการกําหนดค่าให้กับตัวแปรเหล่านั้น ) ดังนั้นด้วยข้อกำหนดนี้ ครู หมายถึง ไม่ใช่องค์ประกอบเฉพาะของสมการ หรือแม้แต่สมการเดียว แต่เป็น 2 สมการพร้อมกันในเวลาเดียวกัน เธอโปร vides ข้อมูลเกี่ยวกับการทำงานของสมการดังกล่าว ข้อมูลที่ซับซ้อนนี้เกิดขึ้นกับท่าทางนั้นมี 3 คู่ : แสดงทั้งสองสมการในเวลาเดียวกัน โดยใช้จุดสองนิ้ว ดังนั้น ข้อมูลนักศึกษาที่คาดว่าจะใช้เวลาในการพูดนี้ค่อนข้างซับซ้อนจริงๆ ไม่น่าแปลกใจที่นักเรียนไม่เข้าใจความหมายของเธอและเธออยู่ขาดความเข้าใจร่วมกันใช้คำพูดและท่าทางจะอธิบายแต่ละความสัมพันธ์ต่างหาก
เธอครั้งแรกที่เชื่อมโยงใน B2 C2 B - ถึง B B = 3 ว่า " สำหรับ B , B = 3 ' ' ในขณะที่ชี้ก่อนให้ B B2
- C2 แล้วสมการ บี = 3 เธอเกี่ยวข้องกับ C กับ C - B2 C2 C = 2 "' ' C = 2 ' ' ในขณะที่ชี้ก่อนให้ C - B2 C2 แล้วสมการ C = 2 ท่าทางของเธอที่เชื่อมต่อชิ้นส่วนที่เกี่ยวข้องของทั้งสองสัญลักษณ์ตัวแทน ( เช่น ตัวแปรในนิพจน์ B2 - C2 และสมการที่กำหนดค่าให้ตัวแปรเหล่านั้น ) น่าจะมีเป้าหมายในการช่วยให้นักเรียนเชื่อมโยงสอง
ใช้แทนนอกจากนี้ยังมีมูลค่า noting ที่ครูใช้ซ้ำฝ่ามือลง handshape ในอธิบายส่วนที่เกี่ยวข้องของทั้งสองที่ใช้แทน นี้ซ้ำท่าทางรูปแบบผ่านชุดของท่าทางเรียกว่าพื้นที่รับน้ำ ( และ แม็คนีลดันแคน 2000 ) และให้บริการเพื่อส่งเสริมการทำงานร่วมกัน เช่น catchments ในวาทกรรม ( เมิกนิล 2010 ) ในบริบทนี้ รับผิดชอบหน้าที่ ไฮไลท์หรือบางทีก็ปลอม , แนวคิดการเชื่อมต่อผ่านตัวแทน ( ดูเนธานและ alibali 2011 ) ครูเปลี่ยนรูปร่าง มือนาง ตอนจบ catchment ขณะที่เขาไปในการอธิบายแทน และเพิ่มพูน ในแง่ปริมาณ ในเปิดก่อนที่จะจุดปัญหา ครูผลิต 17 ท่าทางกับ 82 คำ สำหรับอัตราสูงท่าทางต่อ 100 คำเป็นมูลค่า noting ว่าก่อนปัญหาจุดคะแนนมากกว่าปลายสูงของช่วงการรายงานในการศึกษาอื่น ๆของการตั้งค่าการสอนที่ไม่ใช่ ( เช่น alibali et al . ฮอสติเตอร์ alibali 2001 และ 2010 ) อย่างไรก็ตาม แม้จะมีพื้นฐานสูงมากอัตราการเพิ่มขึ้นนี้ เธอท่าทางของเธอหลังจากจุดปัญหาในการผลิต 7 ท่าทางมี 17 คำ สำหรับคะแนนสูงเป็นพิเศษของตนเอง2 ท่าทางต่อ 100 คำ ในตัวอย่างนี้ อาจารย์นี้ตระหนักดีว่าเธอไม่ได้ใช้จุดร่วมกับนักเรียนของเธอที่ปรากฏในคำถามและสีหน้าของขาดความเข้าใจ ในการตอบสนอง , เธอพยายามที่จะสร้างพื้นดินทั่วไปโดยอย่างระมัดระวังมากขึ้นอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างสมการที่ใช้ในการกำหนดตัวแปรและการแสดงออกที่ถูกประเมินและ เธอได้ ดังนั้นการใช้อัตราที่สูงมากของท่าทาง .
ตัวอย่างที่สองที่วาดจากบทเรียนที่เน้นในรูปแบบของการจัดแสดง โดยก้อนที่มีความยาวด้านต่าง ๆ ในเกรด 8 บทเรียน ครูพยายามที่จะแสดงให้เห็นว่า รูปแบบการเจริญเติบโตขององค์ประกอบที่แตกต่างกัน ส่วนของลูกบาศก์จำนวนทั้งหมดของบล็อกจำนวนมุมบล็อก ( 3 หน้าแสดง )