International Mathematical Forum, V

International Mathematical Forum, Vol. 6, 2011, no. 14, 699 - 701
An Elementary Property of the Equilateral Triangle:
A Tale of Two Proofs
Brian J. McCartin
Applied Mathematics, Kettering University
1700 University Avenue, Flint, MI 48504-6214 USA
[e-mail]
Abstract
An elementary, yet evidently previously unnoticed, property of the
equilateral triangle is presented together with two proofs, one synthetic
and the other analytic.
1 The Property
Traditionally, a distinction is drawn between synthetic geometry based
upon axioms and logic and analytic geometry based upon the number continuum
and algebra [1, p. 165]. We illustrate this distinction with two proofs
of the following elementary property of the equilateral triangle.
Theorem 1 The sum of the shaded areas in Figure 1 is equal to the area of
the incircle of the equilateral triangle.
Proof [Synthetic]: Let R be the radius of the circumcircle and r the radius
of the incircle of the equilateral triangle T, with AR and Ar being the corresponding
circular areas and A the annular area thereby enclosed. Then [2, p.
30],
R = 2r ⇒ AR = 4Ar ⇒ A = AR − Ar = 4Ar − Ar = 3Ar.
As should be clear from Figure 1, the sum of the shaded areas is precisely
equal to 1
3A = 1
3 (3Ar) = Ar. ✷
Proof [Analytic]: Let AL/AS be the area of the large/small shaded area,
respectively, with AT being the area of an equilateral triangle of side s. Then
[2, p. 29],
AT = s2
√3
4 ; AR = s2π
3
; Ar = s2 π
12,
700 B. J. McCartin
Figure 1: Equilateral Triangular Property
together with Figure 1, imply that
AL = 1
3 [AR − AT ] = s2
36

4π − 3
√
3

; AS = 1
3 [AT − Ar] = s2
36

3
√
3 − π

.
Consequently, AL + AS = s2 π
12 = Ar. ✷
While the synthetic proof is clearly the more beautiful, the analytic proof
is capable of qualitative refinement,
AL
Ar
= 1
3

4 − 3
√3
π

≈ .782;
AS
Ar
= 1
3

3
√3
π − 1

≈ .218,
so that the larger/smaller shaded area is approximately 78%/22%, respectively,
of the area of the incircle. In closing, the above property is very much in the
spirit of Leonardo da Vinci’s fascination with the areas of lunes [3, pp. 45-48].
Acknowledgement
The author expresses his sincere gratitude to Mrs. Barbara A. McCartin
for her dedicated assistance in the production of this note.
Equilateral triangular property 701
References
[1] R. Courant and H. Robbins, What Is Mathematics?, Oxford University
Press, New York, NY, 1941.
[2] B. J. McCartin, Mysteries of the Equilateral Triangle, Hikari Ltd., Ruse,
Bulgaria, 2011.
[3] J. L. Coolidge, The Mathematics of Great Amateurs, Dover, New York,
NY, 1963.
Received: September 2010

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เวทีคณิตศาสตร์นานาชาติ ปี 6, 2011 หมายเลข 14, 699-701คุณสมบัติที่ระดับประถมศึกษาของรูปสามเหลี่ยม:เรื่องของหลักฐานที่สองไบรอัน J. McCartinคณิตศาสตร์ประยุกต์ มหาวิทยาลัยเดย์ตัน1700 มหาวิทยาลัย Avenue มนุษย์ MI 48504-6214 สหรัฐอเมริกา[e-mail]บทคัดย่อการประถมศึกษา ได้อย่างเห็นได้ชัดก่อนหน้านี้ส่วนใหญ่ คุณสมบัติของการรูปสามเหลี่ยมจะแสดงพร้อมกับหลักฐาน 2 หนังสังเคราะห์หนึ่งและอื่น ๆ ที่สำคัญคือ1 จำนวนแห่งประเพณี วาดมีความแตกต่างระหว่างเรขาคณิตสังเคราะห์ตามสัจพจน์ และตรรกะ และเรขาคณิตวิเคราะห์ตามเลขสมิติและพีชคณิต [1, p. 165] เราแสดงให้เห็นถึงความแตกต่างกับหลักฐานที่สองแห่งระดับประถมศึกษาต่อไปนี้ของรูปสามเหลี่ยมทฤษฎีบท 1 ผลรวมของพื้นที่แรเงาในรูปที่ 1 จะเท่ากับพื้นที่ของวงกลมแนบในสามเหลี่ยมด้านเท่า[หนังสังเคราะห์] หลักฐาน: ให้ R เป็นรัศมีของ circumcircle และมีรัศมีของวงกลมแนบในสามเหลี่ยมด้านเท่า T, AR และ Ar จะให้สอดคล้องกับพื้นที่วงกลมและ A พื้นที่ annular จึงอยู่ แล้ว [2, p30],R = 2r ⇒ AR 4Ar ⇒ = A = AR − Ar = 4Ar − Ar = 3Arควรมีความชัดเจนจากรูปที่ 1 ผลรวมของพื้นที่แรเงาเป็นอย่างแม่นยำเท่ากับ 13A = 13 (3Ar) = Ar. ✷[วิเคราะห์] หลักฐาน: AL/AS ให้เป็นพื้นที่ของร่มเงาขนาดใหญ่/เล็กตามลำดับ กับที่เป็นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฝั่ง s ได้แล้ว[2, p. 29],ที่ = s2√34 AR = s2π3; Ar = s2 π12McCartin J. เกิด 700รูปที่ 1: ลักษณะสามเหลี่ยมด้านเท่าพร้อมภาพประกอบ 1 นัยว่าAL = 13 [− AR ที่] = s2364Π − 3√3; เป็น = 13 [ที่− Ar] = s2363√Π 3 −.ดังนั้น AL + เป็น = s2 π12 = Ar. ✷ในขณะที่หลักฐานสังเคราะห์ ชัดเจนที่สวยงามมากขึ้น ก่อสร้างสามารถของเชิงคุณภาพอัลAr= 134 − 3√3Π≈. 782เป็นAr= 133√3Π− 1≈.218เพื่อให้ร่มเงามีขนาดใหญ่ขึ้น/เล็กลง พื้นที่คือประมาณ 78/22% ตามลำดับพื้นที่ของวงกลมแนบในการ ในการปิดบัญชี คุณสมบัติข้างต้นเป็นอย่างมากในการจิตวิญญาณของ Leonardo da Vinci's เสน่ห์กับพื้นที่ของ lunes [3 นำ 45-48]ยอมรับผู้เขียนแสดงความกตัญญูของเขาจริงใจนาง Barbara A. McCartinเธอทุ่มเทความช่วยเหลือในการผลิตของบันทึกนี้รูปสามเหลี่ยมแห่ง 701การอ้างอิง[1] R. Courant และร็อบบินส์ H. คณิตศาสตร์คืออะไร?, มหาวิทยาลัยออกซฟอร์ดกด New York, NY, 1941[2] เกิด J. McCartin ลึกลับ Ruse Equilateral สามเหลี่ยม ฮิคาริ จำกัดบัลแกเรีย 2011[3] J. L. Coolidge คณิตศาสตร์ของมือสมัครเล่นดี โดเวอร์ นิวยอร์กNY, 1963รับ: 2010 กันยายน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

คณิตศาสตร์ International Forum, ฉบับที่ 6, 2011, ไม่มี 14, 699-701
ประถมศึกษาคุณสมบัติของสามเหลี่ยมด้านเท่ากันหมด:
เรื่องของสองพิสูจน์
ไบรอันเจ McCartin
คณิตศาสตร์ประยุกต์มหาวิทยาลัย Kettering
1700 University Avenue, หินเหล็กไฟ, MI 48504-6214 สหรัฐอเมริกา
[e-mail]
บทคัดย่อ
ประถมยังเห็นได้ชัดว่าก่อนหน้านี้ ไม่มีใครสังเกตเห็นทรัพย์สินของ
สามเหลี่ยมด้านเท่าจะถูกนำเสนอร่วมกับอีกสองบทพิสูจน์หนึ่งสังเคราะห์
และการวิเคราะห์อื่น ๆ .
1 ทรัพย์สิน
ตามเนื้อผ้าความแตกต่างที่ถูกวาดขึ้นระหว่างรูปทรงเรขาคณิตสังเคราะห์ขึ้นอยู่
ตามหลักการและเหตุผลและเรขาคณิตวิเคราะห์ขึ้นอยู่กับความต่อเนื่องจำนวน
และพีชคณิต [1 พี 165] เราแสดงให้เห็นถึงความแตกต่างนี้มีสองพิสูจน์
ต่อไปนี้สถานที่ให้บริการเบื้องต้นของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า.
ทฤษฎีบท 1 ผลรวมของพื้นที่สีเทาในรูปที่ 1 เท่ากับพื้นที่ของ
incircle ของรูปสามเหลี่ยม.
พิสูจน์ [สังเคราะห์]: ให้ R เป็น รัศมีของ circumcircle และ r รัศมี
ของ incircle ของสามเหลี่ยมด้านเท่า T ด้วย AR และเท่เป็นที่สอดคล้อง
พื้นที่วงกลมและพื้นที่วงแหวนล้อมรอบจึง แล้ว [2, p.
30],
R = 2r ⇒ AR = 4AR ⇒ = AR - Ar = 4AR -. Ar = 3AR
ในฐานะที่ควรมีความชัดเจนจากรูปที่ 1 ผลรวมของพื้นที่สีเทาเป็นอย่างแม่นยำ
เท่ากับ 1
3A = 1
3 (3AR) = Ar ✷
หลักฐาน [วิเคราะห์]: Let AL / AS เป็นพื้นที่ขนาดใหญ่ / พื้นที่ร่มขนาดเล็ก
ตามลำดับกับ AT เป็นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านนั้น แล้ว
[2, p 29],
AT = s2
√3
4; AR = s2π
3
; Ar = s2 π
12,
700 BJ McCartin
รูปที่ 1: ด้านเท่ากันหมดสามเหลี่ยมทรัพย์สิน
พร้อมกับรูปที่ 1 หมายความว่า
AL = 1
3 [AR - AT] = s2
36 4π - 3 √ 3 ; AS = 1 3 [AT - Ar] = s2 36 3 √ 3 - π . ดังนั้น AL + AS = s2 π 12 = Ar ✷ ในขณะที่หลักฐานสังเคราะห์อย่างชัดเจนสวยงามมากขึ้น, การวิเคราะห์หลักฐานที่มีความสามารถในการปรับแต่งคุณภาพAL Ar = 1 3 ? 4-3 √3 Pi ที่? ≈ 0.782; AS Ar = 1 3 ? 3 √3 Pi ที่ - 1 ? ≈ 0.218, เพื่อให้มีขนาดใหญ่ / พื้นที่สีเทาที่มีขนาดเล็กจะอยู่ที่ประมาณ 78% / 22% ตามลำดับของพื้นที่ของวงกลมแนบ ในการปิดสถานที่ให้บริการดังกล่าวข้างต้นเป็นอย่างมากในจิตวิญญาณของความหลงใหลเลโอนาร์โดดาวินชีที่มีพื้นที่ของเสาร์ [3, pp. 45-48]. Acknowledgement ผู้เขียนเป็นการแสดงออกถึงความขอบคุณอย่างจริงใจของเขาไปยังนางบาร์บาราเอ McCartin เพื่อขอความช่วยเหลือโดยเฉพาะเธอ ในการผลิตของบันทึกนี้. ด้านเท่ากันหมดอสังหาริมทรัพย์สามเหลี่ยม 701 อ้างอิง[1] อาร์คูรันต์และเอชร็อบบินส์คืออะไรคณิตศาสตร์ ?, Oxford University Press, New York, NY, 1941. [2] BJ McCartin, ลึกลับของสามเหลี่ยมด้านเท่า การิ จำกัด แง่งอน, บัลแกเรีย. 2011 [3] JL คูลิดจ์วิชาคณิตศาสตร์ของมือสมัครเล่นที่ยิ่งใหญ่โดเวอร์นิวยอร์ก. นิวยอร์ก, 1963 ที่ได้รับ: กันยายน 2010

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

แข่งขันคณิตศาสตร์ ฟอรั่ม , ฉบับที่ 6 , 2011 , ฉบับที่ 14 , 699 - 701
ระดับคุณสมบัติของสามเหลี่ยมซึ่งมีด้านเท่ากันทุกด้าน :
เรื่องสองปรู๊ฟ
ไบรอันเจ. mccartin
คณิตศาสตร์ประยุกต์ มหาวิทยาลัย Kettering
1700 ถนนมหาวิทยาลัย หินเหล็กไฟ สหรัฐอเมริกา
มิ 48504-6214 bmccarti @ Kettering . edu

ระดับนามธรรม แต่ในปี เคยสังเกต คุณสมบัติของ
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่แสดงร่วมกับสองปรู๊ฟ , และอื่น ๆ วิเคราะห์สังเคราะห์
.
1 คุณสมบัติ
ผ้า ความแตกต่างคือวาดระหว่าง
ตามเรขาคณิตสังเคราะห์บนหลักการและเหตุผล และเรขาคณิตวิเคราะห์ตามจํานวนต่อเนื่อง
และพีชคณิต [ 1 , หน้า 165 ) เรานี้แสดงให้เห็นถึงความแตกต่างกับสองปรู๊ฟ
ของคุณสมบัติเบื้องต้นของสามเหลี่ยมซึ่งมีด้านเท่ากันทุกด้าน ดังต่อไปนี้
ทฤษฎีบทที่ 1 ผลรวมของพื้นที่ที่แรเงาในรูปที่ 1 จะเท่ากับพื้นที่ของวงกลมแนบในสามเหลี่ยมมีด้านเท่ากันหมด
.
หลักฐาน [ สังเคราะห์ ] : ให้ R เป็นรัศมีของ circumcircle
r รัศมีของวงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า T กับ AR และ AR เป็นวงกลมที่สอดคล้องกัน
พื้นที่และ เป็นวงแหวน พื้นที่ซึ่งล้อมรอบ แล้ว [ 2 p .

30 ]R = 2R ⇒ AR = 4ar ⇒ = AR AR = AR = −− 4ar 3ar .
ที่ควรจะชัดเจน จากรูปที่ 1 ผลรวมของพื้นที่สีเทาคือแน่นอน
เท่ากับ 1
3 = 1
3 ( 3ar ) = AR ✷
หลักฐาน [ วิเคราะห์ ] : ปล่อยล / เป็น พื้นที่ของ ใหญ่ / เล็ก สีเทาบริเวณ
ตามลำดับ ที่เป็นพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่าด้านเอสแล้ว
[ ]
2 , หน้า 29 , ที่ = S2
3
4 √ ; AR = S2 π
3
; S2 π AR =

12 , 700 B . J . mccartin
รูปที่ 1 : คุณสมบัติของปาสกาลสามเหลี่ยม
พร้อมกับรูปที่ 1 แสดงให้เห็นว่าอัล =
1
3 [ AR ] = − 36 S2

4 π− 3
√
3

; = 1
3 [ − ar ] = S2
3

3

3 −√π

.
จากนั้น อัลเป็น = S2 π
12 = AR ✷
ในขณะที่หลักฐานสังเคราะห์อย่างชัดเจนยิ่งสวย
หลักฐานเชิงวิเคราะห์ความสามารถของการปรับแต่งคุณภาพ


= AR อัล 1
3

4 − 3
3


√π  782 ≈ . ;


เป็น AR = 1
3

3
3
√π− 1

 ≈ .218
ดังนั้นขนาดใหญ่ / ขนาดเล็กสีเทา พื้นที่ประมาณ 78 % / 22 % ตามลำดับ
ของพื้นที่ของวงกลมแนบใน . ในการปิดคุณสมบัติข้างต้นเป็นอย่างมากใน
วิญญาณของ เลโอนาร์โด ดา วินชี เสน่ห์ ด้วยพื้นที่ของวันจันทร์ [ 3 , pp . 45-48 ] .

ยอมรับผู้เขียนแสดงความขอบคุณอย่างจริงใจของเขานาง Barbara . mccartin
เธอทุ่มเทความช่วยเหลือในการผลิต
บันทึกนี้ซึ่งมีด้านเท่ากันทุกด้านสามเหลี่ยมอ้างอิงคุณสมบัติ 701

[ 1 ] อาร์คูรันต์และ H . Robbins , คณิตศาสตร์คืออะไร ? มหาวิทยาลัยอ๊อกซฟอร์ด
, กด , New York , NY , 2484 .
[ 2 ] B . J . mccartin , ความลึกลับของสามเหลี่ยมด้านเท่า ฮิคาริ จำกัด , Ruse , บัลแกเรีย )
, .
[ 3 ] เจ. แอล. คูลิดจ์ , คณิตศาสตร์ที่ดีมือสมัครเล่น , โดเวอร์ , New York , NY

1963 ได้รับ : กันยายน 2553