Proposition 2.2. Let A, B ∈ P(Wτ (X

Proposition 2.2. Let A, B ∈ P(Wτ (X)) and let i 6= j ∈ {1, . . . , n}. Then
(i) If xj 6∈ V ar(A), then there is a set A0 ∈ P(Wτ (X)) such that A·xiB =
A0
·xj B for all B ∈ P(Wτ (X)).
(ii) If xi 6∈ V ar(A), then A ·xi B = A.
(iii) xi 6∈ V ar(A ·xi B) if and only if xi 6∈ V ar(A) or xi 6∈ V ar(B).
(iv) xi 6∈ A·xiB if and only if xi 6∈ A or xi 6∈ B.
(v) If xi ∈ A ·xi B, then B ⊆ A ·xi B.
(vi) If xj ∈ A ·xi B and xj 6∈ A, then B ⊆ A ·xi B and xj ∈ B.
(vii) If xj ∈ A ·xi B, then A ∩ Xn 6= ∅.
Proof. (i) First, we prove that for all terms t ∈ Wτ (X) and for all
B ⊆ Wτ (X), if xj 6∈ V ar({t}), then there exists a term t
0 ∈ Wτ (X) such
that
{t} ·xi B = {t
0
} ·xj B.
If xi 6∈ V ar({t}), then {t} ·xi B = {t} = {t} ·xj B. Assume that xi ∈
V ar({t}). Then we proceed by induction on the complexity of term t. If
t = xi
, then with t
0 = xj we have {t} ·xi B = B = {t
0} ·xj B. Let t =
fi(t1, . . . , tni
). Then from xj 6∈ V ar({t}) there follows that xj 6∈ V ar({tk})
for all 1 ≤ k ≤ ni and inductively we assume that there are terms t
0
k
such
that {tk} ·xi B = {t
0
k
} ·xj B for all 1 ≤ k ≤ ni
. Then
{t} ·xi B
= Sˆn
g
({fi(t1, . . . , tni
)}, {x1}, . . . , {xi−1}, B, {xi+1}, . . . , {xn})
= {fi(r1, . . . , rni
) | rk ∈ Sˆn
g
({tk}, {x1}, . . . , {xi−1}, B, {xi+1}, . . . ,
{xn}), 1 ≤ k ≤ ni}
= {fi(r1, . . . , rni
) | rk ∈ Sˆn
g
({t
0
k
}, {x1}, . . . , {xj−1}, B, {xj+1}, . . . ,
{xn}), 1 ≤ k ≤ ni}
= Sˆn
g
({fi(t
0
1
, . . . , t0
ni
)}, {x1}, . . . , {xj−1}, B, {xj+1}, . . . , {xn})
= {t
0} ·xj B where t
0 = fi(t
0
1
, . . . , t0
ni
).
If A ∈ P(Wτ (X)) is an arbitrary set, then A =
S
a∈A
{a} and A ·xi B
= Sˆn
g
(A, {x1}, . . . , {xi−1}, B, {xi+1}, . . . , {xn})
= Sˆn
g
(( S
a∈A
{a}), {x1}, . . . , {xi−1}, B, {xi+1}, . . . , {xn})
=
S
a∈A
(Sˆn
g
({a}, {x1}, . . . , {xi−1}, B, {xi+1}, . . . , {xn}))
=
S
a0∈A0
(Sˆn
g
({a
0}, {x1}, . . . , {xj−1}, B, {xj+1}, . . . , {xn}))
(where A0 = {a
0
| {a} ·xi B = {a
0} ·xj B, a ∈ A})

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เรื่องที่ 2.2 ให้ A, B ∈ P (Wτ (X)) ให้ผม 6 = j ∈ {1,..., n } จากนั้น(i) ถ้า xj 6∈ V ar(A) แล้วมี A0 เป็นชุด∈ P (Wτ (X)) กล่าวว่า A·xiB =A0·xj B สำหรับทุก B ∈ P (Wτ (X))(ii) ถ้า xi 6∈ V ar(A) แล้ว ·xi B = a(iii) xi 6∈ V ar (การ ·xi B) ถ้าหากซี 6∈ V ar(A) หรือสิ 6∈ V ar(B)(iv) ซี 6∈ A·xiB ถ้าหาก A สิ 6∈ หรือสิ 6∈ b(v) ถ้า xi ∈ A ·xi B แล้ว B ⊆ A ·xi b(vi) หาก xj ∈ A ·xi B และ xj 6∈ A แล้ว B ⊆ A ·xi xj และ B ∈ b(vii) หาก xj ∈ A ·xi B แล้ว A ∩ Xn 6 =∅หลักฐาน (i) ครั้งแรก เราพิสูจน์ว่าเงื่อนไขทั้งหมด t ∈ Wτ (X) และ สำหรับทั้งหมด⊆ B Wτ (X), ถ้า xj 6∈ V ar({t}) แล้วมีคำ t∈ 0 Wτ (X) เช่นที่·xi {t } B = {t0} ·xj bถ้า xi 6∈ V ar({t}) แล้ว ·xi {t } B = {t } = {t } ·xj B. สมมติว่า∈ xiV ar({t}) แล้ว เราดำเนิน โดยเหนี่ยวนำบนความซับซ้อนของคำต.t = xiแล้ว ด้วย t0 = xj เรามี ·xi {t } B = B = {t0 } ·xj b ให้ t =เน็ต (t1,... tni). แล้ว จาก xj 6∈ V ar({t}) มีดังต่อไปนี้ที่ xj 6∈ V ar({tk})สำหรับทั้งหมด 1 ≤ k ≤ ni และ inductively เราสมมติว่า มีเงื่อนไข t0kดังกล่าวที่ ·xi {tk } B = {t0k} ·xj B สำหรับ≤ k ≤ 1 ทั้งหมดนิ. จากนั้น·xi {t } B= Sˆnกรัม({เน็ต (t1,... tni{) }, {x1 },..., {xi−1 }, B, {xi + 1 }, ..., {xn })= {เน็ต (r1,... rni) | rk ∈ Sˆnกรัม({tk }, {x1 },..., {xi−1 }, B, {xi + 1 }, ...,{xn }), 1 ≤ k ≤ ni }= {เน็ต (r1,... rni) | rk ∈ Sˆnกรัม({t0k}, {x1 },..., {xj−1 }, B, {xj + 1 }, ...,{xn }), 1 ≤ k ≤ ni }= Sˆnกรัม({เน็ต (t01, . . . , t0ni{) }, {x1 },..., {xj−1 }, B, {xj + 1 }, ..., {xn })= {t0 } ·xj B ที่ t0 =เน็ต (t01, . . . , t0ni).ถ้า∈ P (Wτ (X)) คือ เซต แล้วแบบ =Sa∈A{แบบ} และ ·xi B= Sˆnกรัม(A, {x1 },..., {xi−1 }, B, {xi + 1 }, ..., {xn })= Sˆnกรัม((Sa∈A{a }), {x1 },..., {xi−1 }, B, {xi + 1 }, ..., {xn })=Sa∈A(Sˆnกรัม({a }, {x 1 }, ..., {xi−1 }, B, {xi + 1 }, ..., {xn }))=Sa0∈A0(Sˆnกรัม({a0 }, {x1 },..., {xj−1 }, {xj + 1 } B, ..., {xn }))(ที่ A0 = {เป็น0| ·xi {} B = {เป็น0 } ·xj B เป็น∈ A })

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

โจทย์ 2.2 ให้ A, B ∈ P (Wτ (X)) และปล่อยให้ฉัน 6 = J ∈ {1, . . , n} จากนั้น
(i) หาก XJ 6∈ V AR (A) แล้วมีชุด A0 ∈ P (Wτ (X)) ดังกล่าวว่าเป็น· xib =
A0
· XJ B สำหรับทุก B ∈ P (Wτ (X))
(ii) หาก Xi 6∈ V AR (A) แล้ว· Xi B = A.
(iii) Xi 6∈ V AR (A · Xi B) และถ้าหาก Xi 6∈ V AR (A) หรือ Xi 6 ∈ V AR (B).
(iv) Xi 6∈เป็น· xib ถ้าหาก Xi 6∈ A หรือ Xi 6∈บี
(V) หาก Xi ∈เป็น· Xi B แล้ว B ⊆เป็น· Xi บี
( VI) หาก XJ ∈เป็น· Xi บีและ XJ 6∈แล้ว B ⊆เป็น· Xi บีและ XJ ∈บี
(vii) หาก XJ ∈เป็น· Xi B แล้ว∩ Xn 6 = ∅.
หลักฐาน (i) ครั้งแรกที่เราพิสูจน์ว่าเงื่อนไขทั้งหมด T ∈Wτ (X) และสำหรับทั้งหมด
B ⊆Wτ (X) ถ้า XJ 6∈ V AR ({} T) แล้วมีอยู่ระยะเสื้อ
0 ∈Wτ (X ) เช่น
ว่า
{t} · Xi B = {t
0
} · XJ B.
หาก Xi 6∈ V AR ({} T) แล้ว {t} · Xi B = {t} = {T} · XJ บีสมมติ ที่ Xi ∈
V AR ({T}) จากนั้นเราจะดำเนินการโดยการเหนี่ยวนำกับความซับซ้อนของ T คำว่า ถ้า
t = Xi
แล้วกับ T
= 0 XJ เรามี {t} · Xi B = B = {t
0} · XJ บีให้ t =
Fi (T1,..., TNI
) จากนั้น XJ 6∈ V AR ({T}) มีดังต่อไปนี้ที่ XJ 6∈ V AR ({} TK)
สำหรับ≤ทั้งหมด 1 K ≤พรรณีและ inductively เราคิดว่ามีคำ T
0
K
เช่น
ที่ TK {} · Xi B = {t
0
K
} · XJ B สำหรับทุก 1 ≤ k
≤พรรณี แล้ว
{t} · Xi B
= Sn
G
({Fi (T1,..., TNI
)}, {X1}... {Xi-1}, B, {Xi + 1},..., {xn})
= {Fi (R1, RNI...
) | RK ∈ Sn
G
({TK}, {X1}... {Xi-1}, B, {Xi + 1},...,
{xn}) 1 ≤ k ≤พรรณี}
= {Fi ( R1, RNI...
) | RK ∈ Sn
G
({t
0
K
}, {X1}... {XJ-1}, B, {XJ + 1},...,
{xn}) 1 ≤ k ≤พรรณี}
= Sn
G
({Fi (T
0
1
,..., t0
พรรณี
)}, {X1}... {XJ-1}, B, {XJ + 1}... {xn})
= { T
0} · XJ B ที่ T
= 0 Fi (T
0
1
,..., t0
พรรณี
).
ถ้าหากผู้∈ P (Wτ (X)) เป็นชุดพลแล้ว =
S
a∈A
{A} และ เป็น· Xi B
= Sn
G
(A, {X1}... {Xi-1}, B, {Xi + 1}... {xn})
= Sn
กรัม
((S
a∈A
{ A}) {X1}... {Xi-1}, B, {Xi + 1}... {xn})
=
S
a∈A
(Sn
G
({a}, {X1} ,... {Xi-1}, B, {Xi + 1}... {xn}))
=
S
a0∈A0
(Sn
G
({a
0}, {X1}..., {XJ-1}, B, {XJ + 1}, {xn}))...
(ที่ A0 = {a
0
| {A} · Xi B = {a
0} · XJ ข∈ A} )

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ข้อเสนอ 2.2 . ให้ a , b ∈ P ( W τ ( X ) และให้ฉัน 6 = J ∈ { 1 . . . . . . . . , n } จากนั้น( ผม ) ถ้า XJ 6 ∈ V AR ( 1 ) แล้วมีการตั้ง∈ A0 p ( W τ ( x ) แบบนั้นด้วย xib =A0ด้วยทั้งหมด∈ XJ B B P ( W τ ( x ) )( 2 ) ถ้าซี 6 ∈ V AR ( 1 ) แล้วด้วยซี B = A( 3 ) ซี 6 ∈ V AR ( ด้วยซี B ) ถ้าและเพียงถ้าซี 6 ∈ V AR ( AR ) หรือซี 6 ∈ v ( B )( 4 ) ซี 6 ∈เป็นด้วย xib ถ้าและเพียงถ้าซี 6 ∈หรือซี 6 ∈ B( 5 ) ถ้าซี∈เป็นด้วย ซี บี แล้วบี⊆เป็นด้วย 11 พ.( 6 ) หาก∈ XJ เป็นด้วยซี B และ XJ 6 ∈ แล้ว⊆ Suite B และ B เป็นซี XJ ∈ B( 7 ) ถ้าเป็น XJ ∈ด้วยซี บี แล้ว∩คริสเตียน 6 = ∅ .พิสูจน์ ( ผม ) ตอนแรก เราพิสูจน์ได้ว่า ทุกแง่ T ∈ W τ ( x ) และสำหรับทั้งหมด⊆τ B W ( X ) , ถ้า XJ 6 ∈ V AR ( { t } ) จากนั้นมีอยู่ระยะที0 ∈ W τ ( x ) เช่นว่า{ T } B = { T ด้วยซี0} ด้วย XJ Bถ้าซี 6 ∈ V AR ( { t } { T } ) จากนั้น Suite B = { } = Xi T { } T ด้วยสมมติว่า ซี∈ XJ BAR ( V { T } ) เราดำเนินการโดยอุปนัยกับความซับซ้อนของระยะที ถ้าT = ซีแล้วกับ t0 = { T } XJ เรามีด้วยซี B = B = { T0 } ด้วย XJ ให้ t = BFI ( T1 , . . . . . . . . ที่นี่ ,) จาก 6 ∈ XJ 5 AR ( { t } ) มีดังนี้ ที่ XJ 6 ∈ AR ( { TK } ) Vทั้งหมด 1 ≤ K ≤นิกเกิลและอุปนัย สันนิษฐานว่ามีเงื่อนไขที่ T0เคเช่นที่ { TK } B = { T ด้วยซี0เค} ด้วย XJ B ทั้งหมด 1 ≤ K ≤ นิ. จากนั้น{ T } ด้วยซี บีˆ = S Nกรัม( { Fi ( T1 , . . . . . . . . ที่นี่ ,) } , { X1 } , . . . . . . . . { 11 − 1 } , B , { ซี + 1 } , . . . . . . . . { คริสเตียน } )= { Fi ( R1 , . . . . . . . . rni ,) | RK ∈ˆ N Sกรัม( { TK } { X1 } , . . . . . . . . { 11 − 1 } , B , { ซี + 1 } , . . . . . . . . ,} { ซิน ) 1 ≤ K } ≤ นิ= { Fi ( R1 , . . . . . . . . rni ,) | RK ∈ˆ N Sกรัม( { t0เค} { X1 } , . . . . . . . . { XJ − 1 } , B , { 1 } + ท . . . . . . . . ,} { ซิน ) 1 ≤ K } ≤ นิˆ = S Nกรัม( T ( { ,01, . . . . . . . . t0 ,นิ) } , { X1 } , . . . . . . . . { XJ − 1 } , B , { 1 } + ท . . . . . . . . { คริสเตียน } )= { T0 } ด้วย XJ B ที่ T0 = Fi ( T01, . . . . . . . . t0 ,นิ)ถ้า∈ P ( W τ ( x ) เป็นชุดโดยพลการแล้ว =sเป็น∈เป็น{ } และ B ด้วยซีˆ = S Nกรัม( { X1 } , . . . . . . . . { 11 − 1 } , B , { ซี + 1 } , . . . . . . . . { คริสเตียน } )ˆ = S Nกรัม( ( ของเป็น∈เป็น{ } ) { X1 } , . . . . . . . . { 11 − 1 } , B , { ซี + 1 } , . . . . . . . . { คริสเตียน } )=sเป็น∈เป็น( ˆ N Sกรัม( { a } { X1 } , . . . . . . . . { 11 − 1 } , B , { ซี + 1 } , . . . . . . . . } { ซิน )=s∈ A0 A0( ˆ N Sกรัม( { เป็น0 } , { X1 } , . . . . . . . . { XJ − 1 } , B , { 1 } + ท . . . . . . . . } { ซิน )( A0 = { เป็น0| { A } B = { ด้วยซี0 } ด้วย XJ B , } ) ∈เป็น