3. CLASSROOM LESSONS A. Pythagorean

3. CLASSROOM LESSONS
A. Pythagorean Triples I begin by proposing that Pythagorean triples give evidence of how problems generate new problems in mathematics. The students are amazed to discover that such integers were known in ancient civilizations 1200 years before Pythagoras. I try to give them a sense that what perhaps is more exciting is that these triples have inspired interesting problems in mathematics since the time of Pythagoras. My students learn, by perusing the list of resources, that the generation of Pythagorean triples is a topic that still fascinates some contemporary mathematicians (cf. [2], [5], [6], [10], [11], [14], [16], [17], [20], [22], [23]). I challenge the students to work in groups to discover common characteristics of Pythagorean triples with the goal of finding a generating form for them. I begin by asking the students to create triples, after we list the ones known to them. This induces a discussion of multiples of triples and a conjecture that multiples of triples are triples, motivating the need for a proof that this is indeed so. I form the class into small groups (four to five students per group) and ask them to form conjectures about characteristics of primitive Pythagorean triples [we had read and discussed Polya's heuristics for problem solving (1)]. The students work together, observing patterns and making guesses. For example, by looking at (3, 4, 5), (5, 12, 13), and (8, 5, 17), (12, 35, 37), they make the following conjectures: only one number of the triple could be even; when the smallest number of the triple is even, the difference between the two larger numbers is two; when the smallest number of the triple is odd, the difference between the two larger numbers is one; that five is a factor of some number of the triple; etc. Then, as a class, we discuss each group's conjectures, attempting to prove or disprove their hypotheses. Their conjectures introduce many interesting class discussions about numbers and their relationships. We explored, for example, questions of divisibility, prime factorization, what it means for integers to be relatively prime, etc. After the students play with the Pythagorean triples and examine some characteristics of these numbers, they are eager to find a systematic way to generate them.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

3 บทเรียนห้องเรียน A. Pythagorean Triples I begin by proposing that Pythagorean triples give evidence of how problems generate new problems in mathematics. The students are amazed to discover that such integers were known in ancient civilizations 1200 years before Pythagoras. I try to give them a sense that what perhaps is more exciting is that these triples have inspired interesting problems in mathematics since the time of Pythagoras. My students learn, by perusing the list of resources, that the generation of Pythagorean triples is a topic that still fascinates some contemporary mathematicians (cf. [2], [5], [6], [10], [11], [14], [16], [17], [20], [22], [23]). I challenge the students to work in groups to discover common characteristics of Pythagorean triples with the goal of finding a generating form for them. I begin by asking the students to create triples, after we list the ones known to them. This induces a discussion of multiples of triples and a conjecture that multiples of triples are triples, motivating the need for a proof that this is indeed so. I form the class into small groups (four to five students per group) and ask them to form conjectures about characteristics of primitive Pythagorean triples [we had read and discussed Polya's heuristics for problem solving (1)]. The students work together, observing patterns and making guesses. For example, by looking at (3, 4, 5), (5, 12, 13), and (8, 5, 17), (12, 35, 37), they make the following conjectures: only one number of the triple could be even; when the smallest number of the triple is even, the difference between the two larger numbers is two; when the smallest number of the triple is odd, the difference between the two larger numbers is one; that five is a factor of some number of the triple; etc. Then, as a class, we discuss each group's conjectures, attempting to prove or disprove their hypotheses. Their conjectures introduce many interesting class discussions about numbers and their relationships. We explored, for example, questions of divisibility, prime factorization, what it means for integers to be relatively prime, etc. After the students play with the Pythagorean triples and examine some characteristics of these numbers, they are eager to find a systematic way to generate them.

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

3.
ห้องเรียนบทเรียนเอ พีทาโกรัสอเนกประสงค์ผมเริ่มต้นด้วยการเสนอว่าพีทาโกรัสอเนกประสงค์ให้ปากคำของวิธีการสร้างปัญหาปัญหาใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์ นักเรียนจะประหลาดใจที่พบว่าเลขดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันในอารยธรรมโบราณ 1,200 ปีก่อนที่พีทาโกรัส ฉันพยายามที่จะให้พวกเขามีความรู้สึกว่าสิ่งที่อาจจะเป็นที่น่าตื่นเต้นมากขึ้นก็คืออเนกประสงค์เหล่านี้ได้รับแรงบันดาลใจปัญหาที่น่าสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ตั้งแต่เวลาของพีธากอรัส นักเรียนของฉันได้เรียนรู้โดย perusing รายการของทรัพยากรที่รุ่นของพีทาโกรัสอเนกประสงค์เป็นหัวข้อที่ยังคงร่วมสมัย fascinates นักคณิตศาสตร์บาง (cf [2] [5] [6] [10] [11], [ 14] [16] [17] [20] [22] [23]) ผมขอท้าให้นักเรียนที่จะทำงานในกลุ่มที่จะค้นพบลักษณะทั่วไปของพีทาโกรัสอเนกประสงค์โดยมีเป้าหมายในการหารูปแบบที่สร้างขึ้นสำหรับพวกเขา ฉันจะเริ่มต้นโดยขอให้นักเรียนที่จะสร้างอเนกประสงค์หลังจากที่เราได้รายชื่อคนที่รู้จักกันกับพวกเขา นี้ก่อให้เกิดการอภิปรายของหลายอเนกประสงค์และการคาดเดาว่าหลายอเนกประสงค์มีความอเนกประสงค์ที่สร้างแรงจูงใจความจำเป็นในการพิสูจน์ว่าเป็นจริงดังนั้น ผมในรูปแบบชั้นเรียนเป็นกลุ่มขนาดเล็ก (4-5 คนต่อกลุ่ม) และขอให้พวกเขาในรูปแบบคาดเดาเกี่ยวกับลักษณะของอเนกประสงค์พีทาโกรัสดั้งเดิม [เราได้อ่านและกล่าวถึงการวิเคราะห์พฤติกรรม Polya สำหรับการแก้ปัญหา (1)] นักเรียนทำงานร่วมกันสังเกตรูปแบบและการคาดเดา ตัวอย่างเช่นโดยการมองหาที่ (3, 4, 5), (5, 12, 13) และ (8, 5, 17), (12, 35, 37) พวกเขาทำให้คาดเดาต่อไปนี้: เพียงหนึ่งในจำนวน สามอาจจะ; เมื่อจำนวนที่เล็กที่สุดของสามแม้จะมีความแตกต่างระหว่างทั้งสองตัวเลขขนาดใหญ่เป็นสอง; เมื่อจำนวนที่เล็กที่สุดของสามแปลกแตกต่างระหว่างสองตัวเลขขนาดใหญ่เป็นหนึ่ง; ที่เป็นปัจจัยที่ห้าของจำนวนของสามบาง; ฯลฯ จากนั้นเป็นระดับที่เราคาดเดาหารือของแต่ละกลุ่มพยายามที่จะพิสูจน์หรือหักล้างสมมติฐานของพวกเขา คิดเห็นของพวกเขาแนะนำอภิปรายในชั้นเรียนที่น่าสนใจมากมายเกี่ยวกับตัวเลขและสัมพันธ์ของพวกเขา เราสำรวจตัวอย่างเช่นคำถามของหาร, ตัวประกอบที่สำคัญสิ่งที่มันหมายถึงการที่จะเป็นจำนวนเต็มความสำคัญ ฯลฯ หลังจากที่นักเรียนเล่นกับพีทาโกรัสอเนกประสงค์และตรวจสอบลักษณะบางส่วนของตัวเลขเหล่านี้พวกเขามีความกระตือรือร้นที่จะหาวิธีการที่เป็นระบบเพื่อ สร้างพวกเขา

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

3 . เรียนบทเรียน
. สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสชั้นเริ่มต้น โดยเสนอว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสให้หลักฐานว่าปัญหาการสร้างปัญหาใหม่ในวิชาคณิตศาสตร์ นักเรียนประหลาดใจที่ค้นพบว่าจำนวนเต็มดังกล่าวเป็นที่รู้จักในอารยธรรมโบราณ 200 ปี ก่อนที่ พีทากอรัสฉันพยายามที่จะให้พวกเขารู้สึกว่าสิ่งที่อาจจะน่าตื่นเต้นมากขึ้นคือการที่อเนกประสงค์เหล่านี้ได้แรงบันดาลใจที่น่าสนใจปัญหาคณิตศาสตร์ เพราะเวลาของพีทากอรัส นักเรียนได้เรียนรู้โดยการตรวจสอบรายการของทรัพยากรที่รุ่นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเป็นหัวข้อที่ยังคง fascinates บางร่วมสมัยนักคณิตศาสตร์ ( CF . [ 2 ] , [ 5 ] [ 6 ] [ 10 ] [ 11 ] , [ 14 ] , [ 16 ] , [ 17 ] , [ 20 ] [ 22 ] [ 23 ] )ฉันท้าทายให้นักเรียนทำงานเป็นกลุ่ม เพื่อค้นหาลักษณะทั่วไปของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสกับเป้าหมายของการสร้างรูปแบบสำหรับพวกเขา ผมเริ่มถามนักเรียนเพื่อสร้างอเนกประสงค์ หลังจากที่เรารายชื่อคนที่รู้จักพวกเขา นี้ก่อให้เกิดการอภิปรายของหลาย ๆ อเนกประสงค์ และการคาดเดาว่าหลาย ๆเป็นอเนกประสงค์อเนกประสงค์ ,แรงจูงใจ ต้องพิสูจน์ว่ามันเป็นความจริง . ผมรูปแบบการเรียนเป็นกลุ่มเล็ก ๆ ( 4-5 คน / กลุ่ม ) และถามพวกเขาที่จะฟอร์มความคิดเห็นเกี่ยวกับคุณลักษณะของการตรวจสอบสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส [ เราได้อ่านและกล่าวถึงพอลยาฮิวริสติกการแก้ปัญหา ( 1 ) ] นักเรียนทำงานร่วมกัน รูปแบบของการสังเกตและการคาดเดา ตัวอย่างเช่น โดยมองไปที่ 3 , 4 , 5 ) , ( 5 , 12