Euclidean Geometry, Neutral Geometr

Euclidean Geometry, Neutral Geometry, Non-Euclidean Geometry

Part I: Euclidean Geometry: Euclid (about 300 B.C.) wrote the first set of axioms for ordinary Euclidean geometry. Euclid’s Elements consisted of 13 books containing 465 propositions (theorems and proofs).

These propositions were based on 23 definitions and Five Postulates:

1) A straight line can be drawn from any point to any point.
2) A finite straight line can be produced continuously in a straight line.
3) A circle may be described with any point as center and any distance as radius.
4) All right angles are equal to one another.
5) The Parallel Postulate: If a transversal falls on two lines in such a way that the interior angles on one side of the transversal are less than two right angles, then the lines meet on that side on which the two angles are less than two right angles.

Though several flaws have been discovered with Euclid’s choice of postulates, it is postulate 5 (The Parallel Postulate) that prompted great discussion and discoveries. For nearly 2000 years geometer’s tried (and failed) to show that Postulate 5 was a theorem that followed from the first four postulates. In the process, it was shown that Postulate 5 is equivalent to many well known Euclidean statements:

5a) Playfair’s Postulate: For every line m and point P not on m, there exists a unique line n that contains P and is parallel to m.
5a) Straight lines parallel to the same straight line are parallel to each other.
5b) There exists a triangle for which the sum of the measures of the angles is p radians.
5c) The sum of the measures of the interior angles of a triangle is the same for all triangles.
5d) There exists a pair of similar, but non-congruent triangles.
5e) Every triangle can be circumscribed.
5f) There exists a pair of straight lines that are the same distance apart at every point.
5g) There exists a rectangle ( a quadrilateral with four right angles).






















Part II: Neutral Geometry: Because of the controversy over the 5th Postulate, the theorems that can be proved without the use of the 5th Postulate was of great interest. That is, theorems in this geometry do not depend on the existence of parallel lines and even if we change the 5th Postulate (as we will do below in the development of Non-Euclidean Geometry), these theorems would all be valid. Actually, the first 28 of Euclid’s propositions are neutral – suggesting that Euclid himself may have been suspect of his 5th postulate. Here is a list of some of these:

Construction propositions:
E3: If two segments are of unequal length, then a segment congruent to the shorter can be constructed on the longer segment.
E9: The bisector of an angle can be constructed.
E10: The midpoint of a segment can be constructed.
E11: Given a line m and a point P on m, a line perpendicular to m and containing P can be constructed.
E12: Given a line m and a point P not on m, a line perpendicular to m and containing P can be constructed.
E23: Given an angle and a line, a congruent angle can be constructed on the line through a point on the line.

Angles and Triangles Propositions:

E5: Isosceles Triangle Theorem: If two sides of a triangle are congruent, then the angles opposite those sides are congruent.
E6: Converse of the Isosceles Triangle Theorem: If two angles of a triangle are congruent, then the sides opposite those angles are congruent.
E13: If two lines intersect, adjacent angles are supplementary.
E15: If two lines intersect, then the vertical angles are congruent.
E16: Exterior Angle Theorem (weak version): The measure of an exterior angle of a triangle is greater than either of the non-adjacent interior angles of the triangle.
E17: The sum of the measures of any two angles in a triangle is less than p radians.
E18: In a triangle, if two sides are not congruent, then the angles opposite them are not congruent, and the larger angle is opposite the larger side.
E19: In a triangle, if two angles are not congruent, then the sides opposite them are not congruent, and the larger side is opposite the larger angle.
E20: The Triangle Inequality: In any triangle, the sum of the lengths of two sides is greater than the length of the third.

Triangle Congruence Propositions:

E4: Side-Angle-Side (SAS) Congruence.
E8: Side-Side-Side (SSS) Congruence.
E26: Angle-Side-Angle (ASA) Congruence
Angle-Angle-Side (AAS) Congruence










Existence of parallel lines:

E27*: Alternate Interior Angle Theorem: If two lines are intersected by a transversal such that a pair of alternate interior angles are congruent, then the two lines are parallel.
E28: If two lines are intersected by a transversal such that a pair of corresponding angles are congruent, then the two lines are parallel.

If two lines are intersected by a transversal such that a pair of interior angles on the same side of the transversal are supplementary, then the two lines are parallel.

* Be careful – In Euclidean geometry the converse is true, but in neutral geometry it is not. I.e. It is not true in Neutral Geometry that if two parallel lines are intersected by a transversal then the alternate interior angles are congruent.

Significant Consequences of Neutral Geometry:

Saccheri-Legendre Theorem: The angle sum of any triangle is less than or equal to p radians.

Exterior Angle Theorem (Strong version): The measure of an exterior angle of a triangle is greater than or equal to the sum of the two non-adjacent interior angles.

Part III: Non-Euclidean Geometry: Attempts to validate Euclid’s geometry was to take the negation of Postulate 5 and try to find contradictions (but keeping the first 4 postulates and, hence, all theorems from Neutral Geometry).

It was known in 1733 that Postulate 5 was equivalent to
Playfair’s Postulate: For every line m and point P not on m, there exists a unique line n that contains P and is parallel to m.

Girolamo Saccheri was an Italian priest who considered the two negations and their consequences in 1733:

Elliptic Parallel Postulate: For every line m and point P not on m, there does not exist a line n that contains P and is parallel to m.

Hyperbolic Parallel Postulate: For every line m and point P not on m, there are at least two lines that contain P and are parallel to m.

Immediate contradictions arose with assuming the Elliptic Parallel Postulate** (see exercise below also), but no contradictions were found with the Hyperbolic Parallel Postulate (though Saccheri mistakenly claimed that he had found contradictions and thus shown the axiom were inconsistent). That is, Saccheri had unknowingly discovered a Non-Euclidean geometry (Hyperbolic Geometry) as consistent as that of Euclidean geometry.

** If we look at Postulate 2 , which states that lines can be extended indefinitely in two directions, and alter it and replace the 5th Postulate with the Elliptic Parallel Postulate, a geometry known as Elliptic Geometry can be constructed. This is more difficult because now the Neutral Theorems cannot even be assumed and we would need to start from scratch. However, Elliptic geometry is closely related to Euclidean Geometry on the Surface of a Sphere, so we will look at the surface of the sphere as a model for this geometry.

Neutral Geometry Exercises

Remember that you may not use facts that the sum of the angles in a triangle is 180 degrees or other consequences of parallel lines as is familiar from high school geometry. You can use the First Twenty-eight Propositions of Euclid, some of which are listed above. The rest are in your text. Here you will prove some of the theorems from Neutral Geometry.

1) Prove the Converse of the Isosceles Triangle Theorem. Hint: Begin by dividing the triangle into two congruent triangles with a legitimate construction. This proof is similar to the Euclidean proof.

2) Prove the Exterior Angle Theorem (Weak version). Note: You may not use the Saccheri-Legendre Theorem, as this is a consequence of the EAT. Hint: Begin with a triangle and an exterior angle of course. Construct a segment from one of the non-adjacent interior angles, say A, to the midpoint M of the opposite side of the triangle. Continue to extend this segment AM to a new point E (so E will be outside the triangle) so that M is also the midpoint of this segment AE.(Verify that these constructions are valid) Use congruent triangles to help argue.

3) Prove the Angle-Angle-Side Triangle Congruence Theorem. (You may assume the SAS congruence theorem). Hint: Assume and are such that (i.e. AAS). If you can show then you are done. WHY?? Prove or AB = DE by contradiction. If then, without loss of generality, assume . Use construction E3 to find such that . Compare and .

4) Prove the Angle-Side-Angle Triangle Congruence Theorem. (You may assume the SAS congruence theorem). Alter the proof of AAS above ever so slightly.

5) Prove the Exterior Angle Theorem (Strong version) . Here you can use the Saccheri-Legendre Theorem.

6) Let ABCD be a quadrilateral with . Let M be the midpoint of AD and N the midpoint of BC. (I am walking you through a sequence of little proofs that rely on each other, so you need to start with (a) and progress to (d) – You may write it as one long proof, but label the parts (a), (b), (c), (d) clearly).

a. Prove that .
b. Prove that .
c. Prove that are either both acute or both right angles.
d. Prove that . Explain why AB is parallel to DC and why AD is parallel to BC.

7) **Explain how the Elliptic Parallel Postulate is contradicted by the postulates of Neutral Geometry. I.e. Which theorems of Neutral Geometry guarantee that parallel lines exist (consider con

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

รูปทรงเรขาคณิตไม่ใช่ Euclidean Euclidean เรขาคณิต เรขาคณิตเป็นกลาง Part i: Euclidean เรขาคณิต: ยุคลิด (ประมาณ 300 บี) เขียนชุดแรกของสัจพจน์สำหรับเรขาคณิต Euclidean ธรรมดา องค์ประกอบของยุคลิดประกอบด้วยหนังสือ 13 ประกอบด้วยขั้น 465 (ทฤษฎีและหลักฐาน) ขั้นเหล่านี้ถูกใช้คำนิยามและ Postulates ห้า 23: 1) เป็นเส้นตรงสามารถวาดจากจุดใด ๆ ไปยังจุดใด ๆ2) สามารถผลิตจำกัดเส้นตรงอย่างต่อเนื่องเป็นเส้นตรง3) อาจจะอธิบายวงกลม มีจุดใดเป็นศูนย์กลางและไกลเป็นรัศมี4) มุมถูกทั้งหมดจะเท่ากับหนึ่ง5 Postulate ขนาน): transversal ตรงกับบรรทัดที่สองในลักษณะทำให้มุมภายในบนด้านหนึ่งของ transversal มุมขวาน้อยกว่าสอง แล้วบรรทัดตรงกับด้านที่ที่มุมทั้งสองจะน้อยกว่าสองมุมขวากัน แม้ว่าข้อบกพร่องต่าง ๆ ถูกค้นพบกับทางเลือกของยุคลิด postulates ได้ postulate 5 (Postulate ขนาน) ที่ทำให้การสนทนาที่ดีและการค้นพบ เกือบ 2000 ปี geometer พยายาม (และล้มเหลว) เพื่อแสดงว่า Postulate 5 คือ ทฤษฎีบทที่ตามจาก postulates ก่อน 4 ในกระบวนการ จะถูกแสดงว่า Postulate 5 เทียบเท่ากับงบ Euclidean รู้จักหลาย: Postulate ของ 5a) Playfair: ทุกบรรทัด m และจุด P ไม่อยู่บน m มี n เฉพาะบรรทัดที่ประกอบด้วย P และขนานกับ mของ 5a) ตรงบรรทัดขนานกับเส้นตรงเดียวกันจะขนานกัน5b) มีอยู่เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ผลรวมของมุมที่วัดเป็นหน่วยเรเดียน pซี 5) ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมวัดจะเหมือนกันทั้งหมดสามเหลี่ยม5 d) มีคู่ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน แต่ไม่ใช่แผง5e คือแบบ) สามารถ circumscribed ทุกสามเหลี่ยมได้5f) มีคู่ของเส้นตรงที่มีระยะห่างกันจากกันทุกจุดแล้ว5 กรัม) มีสี่เหลี่ยม (quadrilateral กับสี่มุมขวา) ส่วนที่ II: กลางเรขาคณิต: เพราะถกเถียงผ่าน Postulate 5 ทฤษฎีที่สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ใช้ที่ 5 Postulate ถูกน่าสนใจดี นั่นคือ ทฤษฎีบทในเรขาคณิตนี้ขึ้นอยู่กับการดำรงอยู่ของเส้นขนานและแม้ เราเปลี่ยน Postulate 5 (ตามที่เราจะทำด้านล่างในการพัฒนาเรขาคณิต Non-Euclidean) ทฤษฎีเหล่านี้ทั้งหมดจะถูกต้อง จริง 28 ที่แรกของขั้นของยุคลิดเป็นกลาง – แนะนำว่า ยุคลิดเองเคยสงสัยของ postulate เขา 5 นี่คือรายการบางส่วนของเหล่านี้: เริ่มก่อสร้าง:E3: ถ้าสองเซ็กเมนต์มีความยาวไม่เท่ากัน แล้วส่วนแผงเพื่อสั้นสามารถสร้างบนเซ็กเมนต์อีกต่อไป E9: bisector ของมุมสามารถสร้าง E10: จุดกึ่งกลางของส่วนสามารถสร้างE11: รับ m บรรทัดและ P เป็นจุดบน m เส้นตั้งฉากกับ m และประกอบด้วย P สามารถสร้างE12: รับ m บรรทัดและ P เป็นจุดบน m ไม่ เส้นตั้งฉากกับ m และประกอบด้วย P สามารถสร้างE23: ให้มุมและเส้น มุมแผงสามารถสร้างบรรทัดผ่านจุดบนบรรทัด มุมและขั้นสามเหลี่ยม: E5: ทฤษฎีบทสามเหลี่ยมหน้าจั่วทรง: ถ้าทั้งสองด้านของรูปสามเหลี่ยมเป็นแผง แล้วมุมตรงข้ามกับด้านที่มีแผงE6: ตรงกันข้ามของทฤษฎีบทสามเหลี่ยมหน้าจั่ว: สองมุมของรูปสามเหลี่ยมมีแผง ถ้าด้านตรงข้ามมุมนั้นมีแผงE13: สองบรรทัดอิน adjacent มุมจะเสริมE15: ถ้าสองบรรทัดอิน แล้วมุมแนวตั้งได้แผงE16: ทฤษฎีบทนอกมุม (อ่อนรุ่น): การวัดมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีมากกว่าหนึ่งมุมภายในไม่ติดกันของรูปสามเหลี่ยมE17: ผลรวมของการวัดมุมสองใด ๆ ในรูปสามเหลี่ยมมีน้อยกว่า p เป็นเรเดียนE18: ในรูปสามเหลี่ยม ทั้งสองด้านจะไม่แผง แล้ว มุมตรงข้ามของพวกเขา และจะ ไม่แผง มุมขนาดใหญ่อยู่ตรงข้ามกับด้านที่มีขนาดใหญ่E19: ในรูปสามเหลี่ยม มุมสองไม่แผง แล้ว ด้านตรงข้ามพวกเขา และจะ ไม่แผง ด้านใหญ่อยู่ตรงข้ามกับมุมมีขนาดใหญ่E20: อสมการสามเหลี่ยม: ในสามเหลี่ยมใด ๆ ผลบวกของความยาวของด้านที่สองเป็นระยะที่สาม สามเหลี่ยมลงตัวเริ่ม: E4: ด้านมุมด้าน (SAS) ลงตัวE8: ด้านด้านด้าน (SSS) ลงตัวE26: มุมด้านมุม (ASA) ลงตัว มุมมุมด้าน (AAS) ลงตัว มีเส้นขนาน: E27 *: สลับมุมภายในทฤษฎีบท: สองบรรทัดจะระดับ โดยเป็น transversal เช่นที่คู่ของมุมภายในอื่นแผง แล้วบรรทัดสองจะขนานกันE28: สองบรรทัดเป็นระดับ โดยเป็น transversal เช่นที่คู่ของมุมตรงแผง แล้วบรรทัดสองจะขนานกัน ถ้าสองบรรทัดเป็นระดับ โดยเป็น transversal เช่นที่คู่ของมุมภายในด้านเดียวกันของ transversal จะเสริม บรรทัดสองจะขนาน * ต้องระวัง – ในทางเรขาคณิต Euclidean ตรงกันข้ามเป็นจริง แต่ในทางเรขาคณิตเป็นกลาง ไม่ เช่นนั้นได้จริงในทางเรขาคณิตเป็นกลางถ้าเส้นขนานสองเป็นระดับ โดยเป็น transversal แล้วมุมภายในอื่นแผง ผลกระทบที่สำคัญของกลางเรขาคณิต: ทฤษฎีบท Saccheri เลอฌ็องดร์: ผลรวมของมุมของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะน้อยกว่า หรือเท่ากับ p เป็นเรเดียน ทฤษฎีบทมุมภายนอก (แรงรุ่น): การวัดมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่า หรือเท่ากับผลรวมของมุมภายในไม่ติดกัน 2 Part III: Euclidean ไม่ใช่เรขาคณิต: พยายามตรวจสอบเรขาคณิตของยุคลิดเป็นนิเสธของ Postulate 5 และพยายามค้นหากันข้าม (แต่รักษา postulates แรก 4 และ จึง ทฤษฎีทั้งหมดจากกลางเรขาคณิต) ถูกเรียกใน 1733 ที่ Postulate 5 เทียบเท่ากับPlayfair ของ Postulate: ทุกบรรทัด m และจุด P ไม่อยู่บน m มี n เฉพาะบรรทัดที่ประกอบด้วย P และขนานกับ m Girolamo Saccheri คือ ปุโรหิตอิตาลีซึ่งถือว่า negations สองและผลกระทบของพวกเขาใน 1733: Postulate ขนาน elliptic: ทุกบรรทัด m และจุด P ไม่อยู่บน m มีไม่มี n บรรทัดที่ประกอบด้วย P และขนานกับ m ไฮเพอร์โบลิ Postulate ขนาน: ทุกบรรทัด m และจุด P ไม่อยู่บน m มีบรรทัดที่สองที่ประกอบด้วย P และขนานกับ m กันข้ามทันทีเกิดกับสมมติ Elliptic ขนาน Postulate ** (ดูออกกำลังกายด้านล่างยัง), แต่กันก็ไม่พบกับ Postulate ขนานไฮเพอร์โบลิ (แม้ Saccheri แสดงอ้างว่า เขาได้พบกันข้าม และจึง แสดงสัจพจน์ได้ไม่สอดคล้องกัน) นั่นคือ Saccheri ได้โดยไม่รู้ตัวพบแบบ Euclidean ไม่ใช่เรขาคณิต (ไฮเพอร์โบลิเรขาคณิต) ที่สอดคล้องกับเรขาคณิต Euclidean ** ถ้าเราดู 2, Postulate ซึ่งระบุว่า บรรทัดสามารถขยายอย่างไม่มีกำหนดในสองทิศทาง เปลี่ยนแปลงแก้ไข และแทน Postulate 5 Postulate ขนาน Elliptic สามารถสร้างรูปทรงเรขาคณิตที่เป็นรูปทรงเรขาคณิต Elliptic นี้เป็นเรื่องยาก เพราะทฤษฎีกลางไม่ได้ถือว่า และเราจะต้องเริ่มตั้งแต่ตอนนี้ อย่างไรก็ตาม เรขาคณิต Elliptic ใกล้ชิดเกี่ยวข้องกับเรขาคณิต Euclidean บนพื้นผิวของทรงกลม ดังนั้นเราจะมองไปที่พื้นผิวของทรงกลมรูปเรขาคณิตนี้ ออกกำลังกายกลางเรขาคณิต จำไว้ว่า คุณอาจใช้ข้อเท็จจริงว่า ผลรวมของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมคือ 180 องศา หรือจากเส้นขนานเป็นไม่คุ้นเคยจากเรขาคณิตมัธยม คุณสามารถใช้แรกยี่สิบ - แปดขั้นของยุคลิด ซึ่งอยู่ด้านบน ส่วนเหลือในข้อความของคุณได้ นี่คุณจะพิสูจน์ทฤษฎีบางจากกลางเรขาคณิต 1) พิสูจน์ตรงกันข้ามของทฤษฎีบทสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คำแนะนำ: เริ่มต้น ด้วยการแบ่งสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมแผงสองกับก่อสร้างถูกต้องตามกฎหมาย หลักฐานนี้จะคล้ายกับหลักฐาน Euclidean 2) พิสูจน์ทฤษฎีบทมุมภายนอก (ฉบับง่าย) หมายเหตุ: คุณไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทเลอฌ็องดร์ Saccheri นี้เป็นเวร EAT คำแนะนำ: เริ่มต้น ด้วยรูปสามเหลี่ยมและมุมภายนอกแน่นอน สร้างเซกเมนต์จากมุมภายในไม่ติดกัน พูด A กับจุดกึ่งกลาง M ของด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม ยังขยายเซ็กเมนต์นี้ AM ให้ E เป็นจุดใหม่ (ดังนั้น E จะอยู่นอกสามเหลี่ยม) ให้ M เป็นจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์นี้แอะยังว่า (ตรวจสอบการก่อสร้างเหล่านี้ถูก) ใช้สามเหลี่ยมแผงเพื่อช่วยในการโต้เถียง 3) พิสูจน์ทฤษฎีบทลงตัวสามเหลี่ยมมุมมุมด้าน (คุณอาจถือว่าทฤษฎีบทลงตัว SAS) คำแนะนำ: สมมติ และมีให้ (เช่น AAS) ถ้าคุณสามารถแสดง แล้วคุณจะทำ ทำไม?? พิสูจน์ หรือ AB = DE โดยความขัดแย้ง ถ้าแล้ว โดยไม่สูญเสีย generality สมมติ ใช้ก่อสร้าง E3 เพื่อค้นหาให้ เปรียบเทียบ และการ 4) พิสูจน์ทฤษฎีบทลงตัวสามเหลี่ยมมุมด้านมุม (คุณอาจถือว่าทฤษฎีบทลงตัว SAS) เปลี่ยนแปลงหลักของ AAS เหนือเคยดังนั้นเล็กน้อย 5) พิสูจน์ทฤษฎีบทมุมภายนอก (รุ่นแข็งแรง) ที่นี่คุณสามารถใช้ทฤษฎีบท Saccheri เลอฌ็องดร์ 6 ให้ ABCD quadrilateral ด้วยได้ ให้ M เป็นจุดกึ่งกลางของ AD และ N จุดกึ่งกลางของ BC (ฉันกำลังเดินคุณผ่านลำดับของหลักฐานเล็กน้อยที่พึ่งกัน ดังนั้นคุณจำเป็นจะเริ่มต้นด้วย (ก) และดำเนินการ (d) - คุณอาจเขียนเป็นหนึ่งหลักฐานนาน แต่ป้ายชื่อชิ้นส่วน (a), (b), (c), (d) ชัดเจน) อ.พิสูจน์ที่b. พิสูจน์ที่c. Prove ที่มีทั้งเฉียบพลันหรือทั้งมุมขวาd. พิสูจน์ที่ อธิบายทำไม AB ขนานกับ DC และทำไม AD ขนานกับ BC 7) ** อธิบายวิธี contradicted Postulate ขนาน Elliptic โดย postulates ของกลางเรขาคณิต เช่นที่ทฤษฎีเรขาคณิตกลางรับประกันว่า มีเส้นขนาน (พิจารณาคอน

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ยุคลิดเรขาคณิตเรขาคณิต Neutral, เรขาคณิต euclidean Part I: เรขาคณิตแบบยุคลิด: Euclid (ประมาณ 300 BC) เขียนชุดแรกของหลักการเรขาคณิตแบบยุคลิดสามัญ Euclid 's องค์ประกอบประกอบด้วย 13 หนังสือที่มี 465 ข้อเสนอ (ทฤษฎีและหลักฐาน). ข้อเสนอเหล่านี้ขึ้นอยู่กับ 23 คำจำกัดความและห้าสมมุติฐาน: 1) เส้นตรงสามารถดึงออกมาจากจุดไปยังจุดใด. 2) เส้นตรง จำกัด สามารถผลิตได้ . อย่างต่อเนื่องเป็นเส้นตรง3) วงกลมอาจจะอธิบายกับจุดใดเป็นศูนย์กลางและระยะทางใด ๆ ที่เป็นรัศมี. 4) มุมขวาทั้งหมดมีค่าเท่ากันกับอีกคนหนึ่ง. 5) สมมุติขนาน: ถ้าขวางตรงกับสองสายดังกล่าว วิธีการที่มุมภายในบนด้านหนึ่งของขวางที่มีน้อยกว่าสองมุมขวาแล้วเส้นที่ตอบสนองในด้านที่เกี่ยวกับการที่ทั้งสองมุมที่น้อยกว่าสองมุมที่ถูกต้อง. แม้ว่าข้อบกพร่องหลายคนได้รับการค้นพบกับทางเลือก Euclid ของ postulates, มันเป็นหลักฐานที่ 5 (สมมุติขนาน) ที่ได้รับแจ้งการอภิปรายและการค้นพบที่ยิ่งใหญ่ เป็นเวลาเกือบ 2000 ปีเรขาคณิตพยายาม (และล้มเหลว) เพื่อแสดงให้เห็นว่าสมมุติ 5 เป็นทฤษฎีบทที่ตามมาจากครั้งแรกที่สี่ postulates ในขั้นตอนมันก็แสดงให้เห็นว่าสมมุติ 5 เทียบเท่ากับหลาย ๆ ที่รู้จักกันดีงบยุคลิด: 5a) สมมุติเพลย์แฟร์: สำหรับม. ทุกเส้นและจุด P ไม่ได้อยู่ในม. มีอยู่ n เส้นที่ไม่ซ้ำกันที่มี P และขนานกับม. 5a) เส้นตรงขนานไปกับเส้นตรงเดียวกันขนานกัน. 5b) มีอยู่เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ผลรวมของการวัดมุมเป็นเรเดียนพี. 5c) ผลรวมของมาตรการของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม จะเหมือนกันสำหรับรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด. 5d) มีคู่ของที่คล้ายกันอยู่ แต่รูปสามเหลี่ยมที่ไม่สอดคล้องกัน. 5e) สามเหลี่ยมทุกคนสามารถ circumscribed. 5) มีอยู่คู่ของเส้นตรงที่มีระยะทางเดียวกันออกจากกันในทุกจุด. 5g ) มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปสี่เหลี่ยมที่มีสี่มุมขวามี). Part II: เรขาคณิต Neutral: เพราะความขัดแย้งมากกว่าสมมุติที่ 5 ทฤษฎีบทที่สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องใช้ของสมมุติที่ 5 เป็นที่น่าสนใจดี นั่นคือทฤษฎีบทในเรขาคณิตนี้ไม่ขึ้นอยู่กับการดำรงอยู่ของเส้นคู่ขนานและแม้ว่าเราจะเปลี่ยนสมมุติ 5 (ที่เราจะทำดังต่อไปนี้ในการพัฒนาไม่เรขาคณิตแบบยุคลิด) ทฤษฎีบทเหล่านี้จะถูกต้องทั้งหมด ที่จริงเป็นครั้งแรก 28 ข้อเสนอของยุคลิดเป็นกลาง - บอกว่า Euclid ตัวเองอาจจะเป็นผู้ต้องสงสัยของสมมุติที่ 5 ของเขา นี่คือรายการของบางส่วนของเหล่านี้: ข้อเสนอการก่อสร้าง: E3: ถ้าทั้งสองกลุ่มมีความยาวไม่เท่ากันแล้วส่วนที่สอดคล้องกันที่จะสั้นจะถูกสร้างขึ้นในส่วนของอีกต่อไป. E9: bisector ของมุมที่สามารถสร้าง. E10: จุดกึ่งกลางของส่วนการให้สามารถสร้าง. E11: ให้เส้นเมตรและจุด P บนเมตรเส้นตั้งฉากกับม. และ P ที่มีสามารถสร้าง. E12: ให้สายเมตรและจุด P ไม่เกี่ยวกับม., สาย ตั้งฉากกับม. และมี P สามารถสร้าง. E23:. ให้มุมและเส้นมุมที่สอดคล้องกันจะถูกสร้างขึ้นบนเส้นผ่านจุดบนเส้นมุมและข้อเสนอสามเหลี่ยม: E5: จั่วสามเหลี่ยมทฤษฎีบท: ถ้าทั้งสองด้านของ เป็นรูปสามเหลี่ยมจะสอดคล้องกันแล้วตรงมุมด้านเหล่านั้นจะสอดคล้องกัน. E6: Converse ของหน้าจั่วสามเหลี่ยมทฤษฎีบท: ถ้าสองมุมของรูปสามเหลี่ยมจะสอดคล้องกันแล้วฝ่ายตรงข้ามมุมเหล่านั้นจะสอดคล้องกัน. E13: ถ้าทั้งสองสายตัดมุมที่อยู่ติดกัน มีเสริม. E15: ถ้าสองเส้นตัดกันแล้วมุมแนวตั้งจะสอดคล้องกัน. E16: ภายนอกมุมทฤษฎีบท (รุ่นที่อ่อนแอ): วัดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมที่มีขนาดใหญ่กว่าทั้งของมุมภายในที่ไม่อยู่ติดกันของรูปสามเหลี่ยม . E17: ผลรวมของมาตรการของสองมุมในรูปสามเหลี่ยมน้อยกว่าเรเดียนพี. E18: ในรูปสามเหลี่ยมถ้าทั้งสองฝ่ายไม่ได้สอดคล้องกันแล้วมุมตรงข้ามพวกเขาไม่สอดคล้องกันและมุมที่มีขนาดใหญ่อยู่ตรงข้าม รูปร่างใหญ่. E19: ในรูปสามเหลี่ยมถ้าสองมุมที่ไม่สอดคล้องกันแล้วฝ่ายตรงข้ามพวกเขาไม่สอดคล้องกันและด้านข้างขนาดใหญ่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่มีขนาดใหญ่. E20: อสมการสามเหลี่ยม: ในรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ผลรวมของความยาวที่ ของทั้งสองฝ่ายที่มีค่ามากกว่าความยาวของที่สาม. สามเหลี่ยมข้อเสนอสอดคล้อง: E4. ด้านข้างมุมด้านข้าง (SAS) สอดคล้องE8: ด้านข้างด้าน (SSS) สอดคล้อง. E26: มุมด้านข้างมุม (ASA) สอดคล้องมุมมุมด้านข้าง(AAS) สอดคล้องดำรงอยู่ของเส้นคู่ขนาน: E27 *: อื่นมหาดไทยมุมทฤษฎีบท. ถ้าสองบรรทัดเป็น intersected โดยขวางดังกล่าวว่าคู่ของมุมภายในสำรองจะสอดคล้องกันจากนั้นทั้งสองเส้นจะขนานE28 : ถ้าสองบรรทัดเป็น intersected โดยขวางดังกล่าวว่าคู่ของมุมที่สอดคล้องกันจะสอดคล้องกันจากนั้นทั้งสองเส้นจะขนาน. ถ้าสองบรรทัดเป็น intersected โดยขวางดังกล่าวว่าคู่ของมุมภายในในด้านเดียวกันของขวางที่มีเสริม จากนั้นทั้งสองเส้นจะขนาน. * ระวัง - ในเรขาคณิตแบบยุคลิดสนทนาเป็นความจริง แต่ในเรขาคณิตที่เป็นกลางก็ไม่ได้เป็น คือมันไม่เป็นความจริงในเรขาคณิต Neutral ว่าถ้าสองเส้นคู่ขนานจะ intersected โดยขวางแล้วมุมภายในอื่นจะสอดคล้องกัน. ผลกระทบอย่างมีนัยสำคัญของเรขาคณิตปุถุชนSaccheri-Legendre ทฤษฎีบท: ผลรวมมุมของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับพี เรเดียน. ภายนอกมุมทฤษฎีบท (รุ่นที่แข็งแกร่ง): วัดของมุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมที่มากกว่าหรือเท่ากับผลรวมของทั้งสองมุมภายในที่ไม่อยู่ติดกัน. ส่วนที่สาม: ไม่ยุคลิดเรขาคณิต: ความพยายามที่จะตรวจสอบรูปทรงเรขาคณิตของ Euclid เป็น ที่จะใช้การปฏิเสธของสมมุติที่ 5 และพยายามที่จะหาความขัดแย้ง (แต่การรักษาครั้งแรก 4 สมมุติฐานและดังนั้นทฤษฎีจากเรขาคณิต Neutral). มันเป็นที่รู้จักใน 1,733 ที่สมมุติ 5 เท่ากับสมมุติเพลย์แฟร์: สำหรับม. ทุกเส้นและจุด P ไม่ได้อยู่ในม. มีอยู่ n เส้นที่ไม่ซ้ำกันที่มี P และขนานกับม. จิโรลาโม Saccheri เป็นพระสงฆ์ชาวอิตาลีที่ถือว่าทั้งสอง negations และผลกระทบของพวกเขาใน 1733: รูปไข่สมมุติขนาน: สำหรับม. ทุกเส้นและจุด P ไม่ได้อยู่ใน มมีไม่มีอยู่ n บรรทัดที่มีค่า P และขนานกับม. ซึ่งเกินความจริงสมมุติขนาน: สำหรับม. ทุกเส้นและจุด P ไม่ได้อยู่ในเมตรมีอย่างน้อยสองเส้นที่มี P และขนานกับม. ความขัดแย้งทันที ที่เกิดขึ้นกับสมมติว่ารูปไข่สมมุติขนาน ** (ดูการออกกำลังกายยังด้านล่าง) แต่ไม่พบว่ามีความขัดแย้งกับผ่อนชำระสมมุติขนาน (แม้ว่า Saccheri เข้าใจผิดอ้างว่าเขาได้พบความขัดแย้งและแสดงให้เห็นความจริงจึงมีความไม่สอดคล้องกัน) นั่นคือ Saccheri ได้ค้นพบต้นเหตุของรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่ (ซึ่งเกินความจริงเรขาคณิต) สอดคล้องกับที่ของรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด. ** ถ้าเราดูที่สมมุติ 2 ซึ่งระบุว่าสายสามารถขยายไปเรื่อย ๆ ในสองทิศทางและเปลี่ยนมันและแทนที่ สัจพจน์ 5 กับรูปไข่สมมุติขนานรูปทรงเรขาคณิตที่รู้จักกันเป็นรูปไข่เรขาคณิตสามารถสร้าง นี้เป็นเรื่องยากมากขึ้นเพราะตอนนี้ทฤษฎีบทเป็นกลางไม่สามารถแม้แต่จะคิดและเราจะต้องเริ่มต้นจากรอยขีดข่วน แต่รูปทรงเรขาคณิตรูปไข่มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับเรขาคณิตแบบยุคลิดบนพื้นผิวของทรงกลมดังนั้นเราจะมองไปที่พื้นผิวของทรงกลมเป็นรูปแบบเรขาคณิตนี้ที่. การออกกำลังกายเรขาคณิต Neutral จำไว้ว่าคุณอาจจะไม่ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลรวมของมุมที่ ในรูปสามเหลี่ยมเป็น 180 องศาหรือผลกระทบอื่น ๆ ของเส้นคู่ขนานตามที่เป็นที่คุ้นเคยจากรูปทรงเรขาคณิตที่โรงเรียนมัธยม คุณสามารถใช้เป็นครั้งแรกยี่สิบแปดข้อเสนอของยุคลิดบางส่วนที่มีการระบุไว้ข้างต้น ส่วนที่เหลืออยู่ในข้อความของคุณ ที่นี่คุณจะพิสูจน์ได้ว่าบางส่วนของทฤษฎีบทเรขาคณิตจาก Neutral. 1) พิสูจน์ Converse ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วทฤษฎีบท คำแนะนำ: เริ่มต้นด้วยการแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมสอดคล้องกับการก่อสร้างถูกต้องตามกฎหมาย หลักฐานนี้จะคล้ายกับหลักฐานยุคลิด. 2) พิสูจน์ทฤษฎีบทมุมภายนอก (รุ่นอ่อนแอ) หมายเหตุ: คุณไม่สามารถใช้ทฤษฎีบท Saccheri-Legendre เช่นนี้เป็นผลมาจากการกิน คำแนะนำ: เริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมและมุมด้านนอกของหลักสูตร สร้างส่วนจากหนึ่งในมุมภายในไม่ติดกันพูดเพื่อจุดกึ่งกลาง M ของฝั่งตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม ดำเนินการต่อเพื่อขยายส่วน AM นี้เพื่อจุดใหม่ E (ดังนั้น E จะอยู่นอกรูปสามเหลี่ยม) เพื่อให้ M นอกจากนี้ยังเป็นจุดกึ่งกลางของส่วน AE นี้. (ตรวจสอบว่าที่ดินเหล่านี้ถูกต้อง) ใช้รูปสามเหลี่ยมสอดคล้องกันที่จะช่วยให้เถียง. 3) พิสูจน์ สามเหลี่ยมมุมมุมด้านสอดคล้องทฤษฎีบท (คุณอาจคิดทฤษฎีบทสอดคล้องกัน SAS) คำแนะนำ: สมมติและเป็นเช่นที่ (เช่น AAS) หากคุณสามารถแสดงแล้วคุณจะทำ ทำไม?? พิสูจน์หรือ AB = DE โดยความขัดแย้ง หากแล้วโดยไม่สูญเสียทั่วไปสมมติ ใช้ก่อสร้าง E3 ที่จะหาดังกล่าวว่า เปรียบเทียบและ. 4) พิสูจน์มุมด้านมุมสามเหลี่ยมสอดคล้องทฤษฎีบท (คุณอาจคิดทฤษฎีบทสอดคล้องกัน SAS) Alter หลักฐานการ AAS ข้างต้นเคยดังนั้นเล็กน้อย. 5) พิสูจน์ทฤษฎีบทมุมภายนอก (รุ่นที่แข็งแกร่ง) ที่นี่คุณสามารถใช้ทฤษฎีบท Saccheri-Legendre. 6) ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้วย ให้ M เป็นจุดกึ่งกลางของโฆษณาและไม่มีจุดกึ่งกลางของคริสตศักราชที่ (ผมเดินคุณผ่านลำดับของหลักฐานเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ต้องพึ่งพาซึ่งกันและกันเพื่อให้คุณต้องเริ่มต้นด้วย (ก) และความคืบหน้า (ง) - คุณอาจจะเขียนมันเป็นหนึ่งในหลักฐานนาน แต่ฉลากชิ้นส่วน (a) (ข) (ค) (ง) อย่างชัดเจน). พิสูจน์ว่า. b พิสูจน์ว่า. ค พิสูจน์ให้เห็นว่ามีทั้งทั้งแบบเฉียบพลันหรือทั้งสองมุมขวา. d พิสูจน์สิ่งนั้น . อธิบายว่าทำไม AB ขนานกับดีซีและทำไมโฆษณาขนานกับ BC. 7) ** อธิบายวิธีสมมุติขนานรูปไข่มีการขัดแย้งกับสมมุติฐานของเรขาคณิตเป็นกลาง IE ที่ theorems เรขาคณิตของการรับประกันกลางเส้นคู่ขนานที่มีอยู่ (พิจารณานักโทษ

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ

สมาธิ