studied the works of Wallis and Bar

studied the works of Wallis and Barrow; he and Leibniz became friends and tutored each other. Jacob developed important methods for integral and differential equations, coining the word integral. He and his brother were the key pioneers in mathematics during the generations between the era of Newton-Leibniz and the rise of Leonhard Euler.
Jacob liked to pose and solve physical optimization problems. His "catenary" problem (what shape does a clothesline take?) became more famous than the "tautochrone" solved by Huygens. Perhaps the most famous of such problems was the brachistochrone, wherein Jacob recognized Newton's "lion's paw", and about which Johann Bernoulli wrote: "You will be petrified with astonishment [that] this same cycloid, the tautochrone of Huygens, is the brachistochrone we are seeking." Jacob did significant work outside calculus; in fact his most famous work was the Art of Conjecture, a textbook on probability and combinatorics which proves the Law of Large Numbers, the Power Series Equation, and introduces the Bernoulli numbers. He is credited with the invention of polar coordinates (though Newton and Alberuni had also discovered them). Jacob also did outstanding work in geometry, for example constructing perpendicular lines which quadrisect a triangle.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ศึกษาผลงานของวาลลิและแบร์โรว เขาและ Leibniz กลายเป็น เพื่อน และ tutored แต่ละอื่น ๆ จาค็อบพัฒนาวิธีการที่สำคัญสำหรับสถาปนิกและสมการเชิงอนุพันธ์ บัญญัติศัพท์สำคัญคำ น้องชายเป็นผู้บุกเบิกสำคัญในคณิตศาสตร์ระหว่างรุ่นระหว่างยุคของนิวตัน Leibniz และการเพิ่มขึ้นของออนฮาร์ดออยเลอร์จาค็อบที่ชอบก่อให้เกิด และแก้ปัญหาทางกายภาพ ปัญหา "catenary" ของเขา (รูปไม่มีราวตากผ้าใช้เวลา) กลายเป็นที่รู้จักมากขึ้นกว่า "tautochrone" แก้ไข โดยดล บางทีชื่อเสียงที่สุดของปัญหาดังกล่าวคือ brachistochrone ประเด็นจาค็อบรู้จักของนิวตัน "ตีนสิงโต" และที่ Johann Bernoulli เขียน: "คุณจะเป็นเพทริฟีฟอเรสต์ ด้วยเมือ [ที่] ไซคลอยด์เดียวนี้ tautochrone ของดล brachistochrone ที่เรากำลังมองหา" จาค็อบได้งานนอกแคลคูลัส ในความเป็นจริงทำงานที่มีชื่อเสียงของเขาคือ ศิลปะข้อความคาดการณ์ ตำราน่าเป็นและคณิตศาสตร์เชิงการจัดซึ่งพิสูจน์การกฎหมายจำนวนมาก สมการอนุกรมกำลัง และแนะนำหมายเลข Bernoulli เขาได้รับการประดิษฐ์ของพิกัดเชิงขั้ว (แม้ว่านิวตันและ Alberuni ได้นอกจากนี้ยังค้นพบพวกเขา) จาค็อบยังได้ผลงานที่โดดเด่นในเรขาคณิต เช่น สร้างเส้น quadrisect ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ศึกษาผลงานของวาลลิสและสาลี่; เขาและไลบ์นิซและกลายเป็นเพื่อนที่เรียนหนังสือแต่ละอื่น ๆ จาค็อบพัฒนาวิธีการที่สำคัญสำหรับสมการหนึ่งและความแตกต่าง, การบัญญัติศัพท์คำหนึ่ง เขาและน้องชายของเขาเป็นผู้บุกเบิกที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ระหว่างชั่วอายุระหว่างยุคของนิวตันไลบ์นิซและการเพิ่มขึ้นของ Leonhard ออยเลอร์. ที่
จาค็อบชอบที่จะก่อให้เกิดและแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพทางกายภาพ "โซ่" ของเขาปัญหา (สิ่งที่รูปร่างไม่ใช้เวลาราว?) กลายเป็นที่รู้จักมากขึ้นกว่า "tautochrone" แก้ไขได้โดย Huygens บางทีอาจจะมีชื่อเสียงที่สุดของปัญหาดังกล่าวเป็น brachistochrone ประเด็นจาค็อบได้รับการยอมรับของนิวตัน "ตีนสิงโต" และเกี่ยวกับการที่ฮัน Bernoulli เขียน: "คุณจะกลายเป็นหินด้วยความประหลาดใจ [ว่า] cycloid เดียวกันนี้ tautochrone ของ Huygens เป็น brachistochrone เรา กำลังมองหา. " จาค็อบได้ทำงานอย่างมีนัยสำคัญนอกแคลคูลัส; ในความเป็นจริงงานที่มีชื่อเสียงที่สุดของเขาคือศิลปะของการคาดเดา, ตำราเรียนในโอกาสและ combinatorics ซึ่งพิสูจน์กฎหมายจำนวนมากที่กำลังชุดสมการและแนะนำหมายเลข Bernoulli เขาให้เครดิตกับการประดิษฐ์ของพิกัดเชิงขั้ว (แม้ว่านิวตันและ Alberuni ยังได้ค้นพบพวกเขา) จาค็อบยังได้ทำงานที่โดดเด่นในรูปทรงเรขาคณิตเช่นการสร้างเส้นตั้งฉากซึ่ง quadrisect รูปสามเหลี่ยม