2. Notation and mathematical backgr

2. Notation and mathematical background
The set of all nonnegative real numbers is denoted by R+; the set of all n-tuples of nonnegative real
numbers is denoted by Rn
+ and the set of all n × n matrices with nonnegative real entries is denoted
by Rn×n
+ . We denote the set of all n-tuples of positive real numbers by int(Rn
+). For A ∈ Rn×n
+ and
1 ≤ i, j ≤ n, aij refers to the (i, j)th entry of A. The matrix A = [aij] is nonnegative (positive) if aij ≥ 0
(aij > 0) for 1 ≤ i, j ≤ n. This is denoted by A ∈ Rn×n
+ (A > 0).
The weighted directed graph of A is denoted by D(A). It is an ordered pair (N(A), E(A)) where N(A)
is a finite set of nodes {1, 2,..., n} and E(A) is a set of directed edges, with an edge (i, j) from i to
j if and only if aij > 0. A path is a sequence of distinct nodes i1, i2,..., ik of length k − 1 with the
weight ai1i2 ai2i3 ··· aik−1ik , where (ip, ip+1) is an edge in D(A) for p = 1,..., k − 1. It is standard that
A is an irreducible matrix if and only if there is a directed path between any two nodes in D(A). A cycle
of length k is a closed path of the form i1, i2,..., ik, i1. The kth root of its weight is called its cycle
geometric mean. For a matrix A ∈ Rn×n
+ , the maximal cycle geometric mean over all possible cycles
in D(A) is denoted by μ(A). A cycle with the maximum cycle geometric mean is called a critical cycle.
Nodes that lie on some critical cycle are known as critical nodes and denoted by NC (A). The set of
edges belonging to critical cycles are said to be critical edges and denoted by EC (A). The critical matrix
of A [8,9], AC , is formed from the submatrix of A consisting of the rows and columns corresponding to
critical nodes as follows. Set aC
ij = aij if (i, j) lies on a critical cycle and aC
ij = 0 otherwise. We use the
notation DC (A) for the critical graph where DC (A) = D(AC ) = (NC (A), EC (A)).
The max algebra consists of the set of nonnegative numbers together with the two basic operations
a ⊕ b = max(a, b) and a ⊗ b = ab. This is isomorphic to the max-plus algebra [1,5] via the natural
isomorphism x → log(x). These operations extend to nonnegative matrices and vectors in the obvious
manner [1,2,7]. For A in Rn×n
+ , the eigenequation in the max algebra is given by A ⊗ x = λx, x
0, λ 0. μ(A) is the largest max eigenvalue of A [5]. If A is irreducible, then it is the unique max
eigenvalue of A and there is a positive max eigenvector x ∈ int(Rn
+) corresponding to it [1,2]. The
eigenvector v is unique up to a scalar multiple if and only if AC is irreducible.
Observe that an SR-matrix A is irreducible and μ(A) ≥ 1 [10]. Although our primary interest is in
SR-matrices, it is noteworthy that many of our results also hold true for non-zero reducible matrices.
For A ∈ Rn×n
+ withμ(A) ≤ 1, I⊕A⊕A2
⊗ ⊕··· converges to a finite matrix called the Kleene star of
A given by A∗ = I ⊕A⊕A2
⊗ ⊕···⊕An−1
⊗ where μ(A∗) = 1 [1,7,28]. Here, a∗
ij is the maximum weight
of a path from i to j of any length [16] (if i = j), and Ak
⊗ denotes the kth max-algebraic power of A. Note
that for each A ∈ Rn×n
+ , if A∗ is finite then the max-algebraic sum of all of the columns of A∗ is positive.

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

2. สัญลักษณ์และพื้นหลังทางคณิตศาสตร์ชุดของจำนวนจริงทั้งหมดที่ nonnegative สามารถระบุ โดย R + ชุดของทั้งหมด n-tuples ของจริง nonnegativeสามารถระบุหมายเลข โดย Rn+ และสามารถระบุชุดของเมทริกซ์ n n ×ทั้งหมดด้วยรายการ nonnegative จริงโดย Rn × n+ . เราแสดงชุดของ n tuples ทุกจำนวนจริงบวก โดย int (Rn+). สำหรับการ∈ Rn × n+ และ1 ≤ i, j ≤ n, aij หมายถึง (i, j) รายการ th ของอ. เมตริกซ์ = [aij] เป็น nonnegative (เป็นบวก) ถ้า aij ≥ 0(aij > 0) สำหรับ 1 ≤ j ≤ n, i นี้สามารถระบุ โดย∈ Rn × n+ (ตัว > 0)กราฟแบบถ่วงน้ำหนักของ A สามารถระบุ โดย D(A) เป็นคู่ที่สั่ง (N(A), E(A)) ที่ N(A)คือแบบจำกัดของโหน {1, 2,..., n } และ E(A) เป็นชุดของขอบโดยตรง มีขอบ (i, j) จากผมเจถ้าและเฉพาะถ้า aij > 0 เส้นทางเป็นลำดับของโหนทั้งหมด i1, i2,..., ik ยาว k − 1 มีการน้ำหนัก ai1i2 ai2i3 ··· aik−1ik ที่ (ip, ip + 1) จะมีขอบใน D(A) p = 1,..., k − 1 เป็นมาตรฐานที่คือ เมตริกซ์เป็นอย่างต่ำถ้าและเดียวถ้ามีเส้นทางโดยตรงระหว่างโหนดใด ๆ สองใน D(A) วงจรการ ความยาว k เป็นเส้นปิดของฟอร์ม i1, i2,..., ik, i1 เรียกว่าราก kth ของน้ำหนักตัวในวงจรเรขาคณิต สำหรับแบบเมตริกซ์ A ∈ Rn × n+, เรขาคณิตรอบสูงสุดผ่านวงจรได้ทั้งหมดใน D(A) คุณสามารถระบุ โดย μ(A) รอบ ด้วยค่าเฉลี่ยเรขาคณิตรอบสูงสุดจะเรียกว่าเป็นวงจรที่สำคัญโหนดที่อยู่ในบางรอบที่สำคัญเรียกว่าโหนที่สำคัญ และสามารถบุโดย NC (A) ชุดของขอบของวงจรที่สำคัญกล่าวได้ว่า เป็นขอบที่สำคัญ และสามารถบุโดย EC (A) เมตริกซ์สำคัญของการ [8,9], AC จะเกิดขึ้นจาก submatrix ของประกอบด้วยแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกับโหนดที่สำคัญเป็นดังนี้ ชุด aCij แค = aij ถ้า (i, j) อยู่บนวงจรสำคัญและ aCij แค = 0 เป็นอย่างอื่น เราใช้สัญกรณ์ที่ DC (A) สำหรับกราฟสำคัญที่ DC (A) = D (AC) = (NC (A), EC (A))พีชคณิตสูงสุดประกอบด้วยชุดของตัวเลข nonnegative กับการดำเนินงานพื้นฐานที่สองb ดังนั้น = max (a, b) และ⊗ b = ab นี่คือ isomorphic การพีชคณิต max-plus [1.5] ผ่านธรรมชาติisomorphism x → log(x) การดำเนินการเหล่านี้ขยาย nonnegative เมทริกซ์และเวกเตอร์ในชัดเจนลักษณะ [1,2,7] สำหรับ A ใน Rn × n+, eigenequation ในพีชคณิตสูงสุดถูกกำหนด โดย⊗เป็น x = λx, x0 Λ 0 Μ(A) เป็น eigenvalue สูงสุดที่ใหญ่ที่สุด [5] ถ้าเป็นอย่างต่ำ เป็นสูงสุดเฉพาะeigenvalue ของ A และเป็นบวกสูงสุด eigenvector x ∈ int (Rn+) ที่สอดคล้องกับมัน [1, 2] ที่eigenvector v ไม่ซ้ำกันได้หลายแบบสเกลาถ้าและเฉพาะถ้า AC เป็นอย่างต่ำสังเกตว่า SR เมตริกซ์ A เป็นอย่างต่ำ และ μ(A) ≥ 1 [10] แม้ว่าดอกเบี้ยหลักของเราอยู่ในSR-เมทริกซ์ เป็นที่น่าสังเกตว่า ผลของเรามากมายยังถือจริงสำหรับเมทริกซ์ reducible ศูนย์ไม่สำหรับการ∈ Rn × nwithμ(A) ≤ 1, I⊕A⊕A2 +⊗ ⊕··· converges จะเรียกดาว Kleene ของเมทริกซ์จำกัดโดย A∗ A =ฉัน ⊕A⊕A2⊗ ⊕··· ⊕An−1⊗ที่ μ(A∗) = 1 [1,7,28] ที่นี่ a∗ij แคเป็นน้ำหนักสูงสุดเส้นทางจากฉันไปเจยาว [16] ของ (ถ้าฉัน = j), และ Ak⊗หมายถึงอำนาจสูงสุดพีชคณิต kth A. ตั๋วที่สำหรับแต่ละ A ∈ Rn × n+, A∗ มีแล้วผลรวมของคอลัมน์ของ A∗ สูงสุดพีชคณิตว่าบวก

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

2.
สัญกรณ์และพื้นหลังทางคณิตศาสตร์ชุดของตัวเลขจริงไม่เป็นลบทั้งหมดจะถูกแสดงโดยR +; ชุดของทุก tuples-n
จริงไม่เป็นลบตัวเลขจะเขียนแทนด้วยRn
+ และชุดของทั้งหมด n × n
เมทริกซ์ที่มีรายการที่แท้จริงติดลบจะแสดงโดยRn × n
+ เราแสดงว่าชุดของทุก tuples-n ของจำนวนจริงบวกโดย int (Rn
+) สำหรับ∈ Rn × n
+ และ
1 ≤ฉัน j ≤ n, AIJ หมายถึง (ฉัน j) ครั้งที่การเข้ามาของเอเมทริกซ์ A = [AIJ] เป็นค่าลบ (บวก) ถ้า AIJ ≥ 0
(AIJ> 0 ) 1 ≤ฉัน j ≤ n นี้แสดงโดย∈ Rn × n
+ (A> 0).
กราฟถ่วงน้ำหนักของผู้กำกับจะแสดงโดย D (A) มันเป็นคู่ที่สั่งซื้อ (N (A) E (A)) โดยที่ N (A)
คือขอบเขตของโหนด {1, 2, ... , n} และ E (A) เป็นชุดของขอบกำกับ, ที่มีขอบ (ฉัน j) จาก i
เพื่อญถ้าหากAIJ> 0 เส้นทางเป็นลำดับของโหนดที่แตกต่างกัน i1 ที่ i2, ... , IK ของความยาว k - 1
กับน้ำหนักai1i2 ai2i3 ··· AIK-1ik ที่ (IP, IP + 1) เป็นขอบใน D (A) p = 1, ... , k - 1
คือมาตรฐานที่เป็นเมทริกซ์ลดลงไม่ได้ถ้าหากมีการกำกับเส้นทางระหว่างสองโหนดใน D (A) วงจรของความยาว k เป็นเส้นทางที่ปิดของ i1 รูปแบบ i2, ... , IK, i1
ราก KTH
ของน้ำหนักของมันจะถูกเรียกว่าวงจรเรขาคณิตหมายถึง สำหรับเมทริกซ์∈ Rn × n
+
วงจรสูงสุดเฉลี่ยเรขาคณิตมากกว่ารอบเป็นไปได้ทั้งหมดในD (A) แสดงโดยμ (A) วงจรที่มีรอบสูงสุดเฉลี่ยเรขาคณิตเรียกว่าวงจรที่สำคัญ.
โหนดที่อยู่ในบางวงจรที่สำคัญที่รู้จักกันเป็นโหนดที่สำคัญและการแสดงโดยอร์ทแคโรไลนา (A) ชุดของขอบที่เป็นรอบที่สำคัญจะกล่าวว่าเป็นขอบที่สำคัญและแสดงโดยอีซี (A)
เมทริกซ์ที่สำคัญของ [8,9], AC จะถูกสร้างขึ้นจาก submatrix ของประกอบด้วยแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกับโหนดที่สำคัญดังต่อไปนี้ ตั้ง AC เจ = ถ้า AIJ (ฉัน j) อยู่ในรอบที่สำคัญและ AC เจ = 0 เป็นอย่างอื่น เราใช้สัญกรณ์ DC (A) สำหรับกราฟที่สำคัญที่ซี (A) = D (AC) = (NC (A), EC (A)). พีชคณิตสูงสุดประกอบด้วยชุดของตัวเลขติดลบร่วมกับทั้งสองขั้นพื้นฐาน การดำเนินงาน⊕ข= max (A, B) และข = ⊗ AB นี่คือ isomorphic ให้สูงสุดบวกพีชคณิต [1,5] ผ่านทางธรรมชาติมอร์ฟx →ล็อก (x) การดำเนินงานเหล่านี้ขยายไปถึงการฝึกอบรมไม่เป็นลบและเวกเตอร์ที่เห็นได้ชัดในลักษณะ [1,2,7] สำหรับใน Rn × n + eigenequation ในพีชคณิตสูงสุดจะได้รับจาก⊗ x = λx, x 0, 0 λμ (A) เป็นที่ใหญ่ที่สุดสูงสุดค่าเฉพาะของ [5] ถ้าเป็นลดลงไม่ได้แล้วมันเป็นสูงสุดที่ไม่ซ้ำกันeigenvalue ของและมีความเป็นบวกสูงสุดวิคเตอร์ x ∈ int (Rn +) ที่สอดคล้องกับมัน [1,2] โววิคเตอร์ที่ไม่ซ้ำกันถึงหลายเกลาถ้าหาก AC เป็นลดลงไม่ได้. สังเกตว่าเออาร์แมทริกซ์คือลดลงและμ (A) ≥ 1 [10] แม้ว่าความสนใจหลักของเราคือในการฝึกอบรม-SR ก็เป็นที่น่าสังเกตว่าหลายผลของเรายังถือเป็นจริงสำหรับไม่ใช่ศูนย์ฝึกอบรมออกซิเจน. สำหรับ∈ Rn × n + withμ (A) ≤ 1, I⊕A⊕A2⊗⊕· ··ลู่ไปยังเมทริกซ์ จำกัด ที่เรียกว่าดาว Kleene ของที่กำหนดโดย* A = ฉัน⊕A⊕A2⊗⊕···⊕An-1 ⊗ที่μ (A *) = 1 [1,7,28] นี่เป็น * เจเป็นน้ำหนักสูงสุดของเส้นทางจาก i เพื่อญของความยาวใด ๆ [16] (ถ้าฉัน = ญ) และ Ak ⊗ KTH หมายถึงอำนาจสูงสุดเกี่ยวกับพีชคณิตของเอหมายเหตุว่าสำหรับแต่ละ∈ Rn × n + A * ถ้ามี จำกัด แล้วรวมสูงสุดเกี่ยวกับพีชคณิตของคอลัมน์ทั้งหมดของ A * เป็นบวก

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

2 . สัญกรณ์คณิตศาสตร์
พื้นหลังและชุดของตัวเลขจริง nonnegative ทั้งหมดเขียนโดย R ; ชุดของทั้งหมด n-tuples เลขจริง ๆ
nonnegative เขียนโดย Rn
และชุดของทั้งหมด n × n เมทริกซ์กับรายการจริง nonnegative เขียนโดย RN × n

เราหมายถึงชุดของทั้งหมด n-tuples ของจำนวนจริงบวกโดย INT ( Rn
) สำหรับ∈ Rn × N

1 ≤และฉัน , J ≤ N , aij อ้างถึง ( ฉันJ ) th รายการของเมทริกซ์ A = [ ] aij nonnegative ( บวก ) ถ้า aij ≥ 0
( aij > 0 ) 1 ≤ I , J ≤ . นี้แทน โดย∈ Rn × N
( > 0 )
กราฟระบุทิศทางถ่วงน้ำหนักของ D ( เขียนโดย ) มันเป็นคู่อันดับ ( N ( A ) E ( มี ) เมื่อ n ( ) เป็นเซตจำกัดของจุด
{ 1 , 2 , . . . , n } และ E ( ) เป็นชุดของการประดับประดาด้วยขอบ ( I , J ) จากฉัน

J ถ้าและ ถ้า aij > 0เส้นทางคือลำดับของโหนด i1 I2 , ที่แตกต่างกัน , . . . , ผมยาว K − 1 ด้วย
ai1i2 น้ำหนัก ai2i3 ···ฮอกกี้− 1ik ที่ ( IP , IP 1 ) เป็นขอบใน D ( ) P = 1 , . . . , K − 1 มันเป็นมาตรฐานที่
เป็นเมทริกซ์ลดลงถ้าและเพียงถ้ามันกำกับเส้นทางระหว่างสองโหนดใน D ( A ) วงจร
ความยาว K เป็นปิดเส้นทางของแบบฟอร์ม i1 I2 , , . . . , อิค i0 .การ kth รากของน้ำหนักของมัน เรียกว่าวงจร
เรขาคณิตหมายถึง สำหรับเมทริกซ์∈ Rn × N
, รอบสูงสุดค่าเฉลี่ยเรขาคณิตทั้งหมดเป็นไปได้รอบ
D ( ) เขียนโดยμ ( ) รอบกับรอบสูงสุดค่าเฉลี่ยเรขาคณิตที่เรียกว่าวงจรวิกฤต
โหนดที่อยู่รอบบางท่านจะเรียกว่าจุดวิกฤต และแทน โดย NC ( ) ชุด
รอบขอบของการเป็นขอบที่สำคัญและแทน โดย EC ( ) วิกฤตของ 8,9 เมทริกซ์
[ ] , AC , จะถูกสร้างขึ้นจาก submatrix ของประกอบด้วยแถวและคอลัมน์ที่สอดคล้องกัน
โหนดสําคัญดังนี้ ชุด AC
ij = aij ถ้า ( I , J ) ตั้งอยู่บนวงจรที่สำคัญและ AC
ij = 0 เป็นอย่างอื่น เราใช้
โน้ต DC ( ) เพื่อวิเคราะห์กราฟที่ DC ( ) = D ( AC ) = ( NC ( )EC ( ) ) .
พีชคณิตสูงสุดประกอบด้วยชุดของตัวเลข nonnegative ร่วมกับการดำเนินงานพื้นฐานสอง : ⊕ B = max ( A , B ) และ⊗ B + AB นี่พวกเรา แมกซ์พลัสพีชคณิต [ 1.5 ] ผ่านธรรมชาติ
ก้อน x → keyboard - key - name log ( x ) การดำเนินงานเหล่านี้ขยาย nonnegative เมทริกซ์และเวกเตอร์ ในลักษณะที่เห็นได้ชัด
[ 1,2,7 ] สำหรับใน Rn × N
,การ eigenequation ในพีชคณิตสูงสุดจะได้รับโดย⊗ x = λ X , X
0 λ 0 μ ( ) เป็นที่ใหญ่ที่สุดของค่า Max ของ [ 5 ] ถ้าจะลด มันเป็นเอกลักษณ์ของแม็กซ์
ค่าของและมีบวก แม็กซ์ ไอเกนเวกเตอร์ x ∈ INT ( Rn
) สอดคล้องกับมัน [ 1 , 2 ]
V เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็นเอกลักษณ์ถึงหลายด้าน ถ้าและเพียงถ้า AC
ลด .สังเกตว่า SR เมทริกซ์และจะลดμ ( ) ≥ 1 [ 10 ] แม้ว่าดอกเบี้ยหลักของเราคือใน
SR เมทริกซ์ เป็นที่น่าสังเกตว่าหลายผลของเรายังถือเป็นจริงสำหรับลดไม่เป็นเมทริกซ์
สำหรับ∈ Rn × N
กับμ ( ) ≤ 1 ⊕เป็น⊕ A2
⊗⊕···เข้าสู่เมทริกซ์จำกัด เรียกว่า kleene ดารา
ให้โดย เป็น∗ = ฉัน⊕เป็น⊕ A2
⊗⊕···⊕เป็น− 1
⊗ที่μ ( ∗ ) = 1 [ 1,7,28 ] นี่ ∗
แอลเจเป็นสูงสุดน้ำหนัก
ของเส้นทางจากฉันกับ เจ ของความยาวใด ๆ [ 16 ] ( ถ้าผม = J ) และ AK
⊗แสดงทศนิยม kth แม็กซ์พีชคณิตอำนาจ . หมายเหตุ
ที่แต่ละ∈ Rn × N
ถ้า∗เป็นที่แน่นอนแล้ว แมกซ์ พีชคณิต ผลรวมของทั้งหมดของ คอลัมน์ของ∗เป็นบวก