The square 169 can be written as a

The square 169 can be written as a sum of two squares 52 + 122, as a sum of three
squares 32 + 42 + 122, as a sum of four squares 12 + 22 + 82 + 102, as a sum of five
squares 12 + 22 + 22 + 42 + 122, and so on for quite a long while. In fact, Jackson,
et al. [5] note that 169 can be written as a sum of k positive squares for all k from 1
to 155 and first fails as a sum of length 156. The authors go on to ask whether there is
any limit to such a string of sums. Specifically, for every positive integer b is there an
integer n which can be written as a sum of k positive squares for all k from 1 to b? We
assemble a collection of results, most of which have been known for quite some time,
to answer this question and, in fact, to specify all possible lengths for sums of squares
equal to a given square.
This investigation began when I read a manuscript in which the author proved that a
certain combinatorially defined integer c(k) could be written as a sum of k positive integer
squares. Although the proof technique was interesting, I wondered if it wouldn’t
be more surprising to find that a sufficiently large integer couldn’t be written as a sum
of k squares. For that reason, in what follows we address the possible lengths for sums
of squares equal to a given integer which may or may not be a square.
Sums of 5 or more positive squares Dickson [1] credits Dubouis with publishing
the following theorem in 1911. An integer n ≥ 34 can be written as a sum of k positive
squares for all k satisfying 5 ≤ k ≤ n except for k = n − 13, n − 10, n − 7,
n − 5, n − 4, n − 2, n − 1. Writing 20 years later, Pall [7] laments over having duplicated
Dubouis’ work before noticing the report of it but resists presenting his own
proof. Writing over 75 years later still, I suspect that both Dubouis’ and Pall’s proofs
resembled the following.
First we show that no integer n can be written as a sum of k positive squares for
k ∈ {n − 13, n − 10, n − 7, n − 5, n − 4, n − 2, n − 1}. To see this note that the sum
of k positive squares n = s2
1
+ · · · + s2
k can be obtained from the sum of n ones by
repeatedly replacing s2
i of the ones with the single square s2
i . This replacement reduces
the number of summands by s2
i
− 1. For example, replacing four ones, 1 + 1 + 1 + 1,
with a single square 22 reduces the number of summands by 3. A replacement of 32
ones reduces the number of summands by 8 and larger squares reduce the number of
summands by at least 15. A quick check shows that the count of n summands in the
sum of all ones cannot be reduced by any of the amounts 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13 using
reductions of 3 and 8.
We now use induction to show that n can be written as sums of the specified lengths,
securing the base case of n = 34 with a hand check. For n > 34 we add 12 to each of
the sums of squares equal to n − 1 given by the induction hypothesis. This gives all of
the required lengths of sums for n except for a length 5 sum.
The proof is completed by showing that all n > 34 can be written as a sum of 5
positive squares. A computer check (an additional hand check for Pall and Dubouis)
verifies this for 34 < n ≤ 169. For n > 169 we use Lagrange’s theorem, which states
that every positive integer can be written as a sum of four or fewer positive squares.
For n > 169, use Lagrange’s theorem to write n − 169 as a sum of 1, 2, 3 or 4 positive
squares. Then add the appropriate representation of 169 as the sum of 4, 3, 2, or 1
positive squares to obtain five positive squares summing to n.
So, except for lengths of 2, 3, and 4, this result specifies all possible lengths for sums
of squares equal to a given square. In addition the result greatly simplifies the question
in Jackson, et al., since if a square n can be written as a sum of 2, 3, and 4 positive
squares then n can be written as a sum of k positive squares for all 1 ≤ k ≤ n − 14.
Sums of two positive squares There seems to be some disagreement about when
an integer can be written as a sum of two positive squares. In the 1959 article [3] the
condition is stated that the integer must have the form 4an1n22
, with integral a ≥ 0,
n1 > 1, the prime factors of n1 congruent to 1 mod 4 and the prime factors of n2
congruent to 3 mod 4. In the 2006 book [6] the condition is the same except that 4a is
replaced with 2e, with e a nonnegative integer. In both sources the claims are said to
follow easily from previous results, but proofs are not given. However, neither of these
conditions include 18 = 2 × 32 = 32 + 32 since 18 has no 4k + 1 prime factor. More
generally the conditions exclude the numbers n = m2 + m2 where m has no 4k + 1
prime. Perhaps the authors meant to describe conditions in which n could be written
as a sum of two distinct positive squares.
In any case, the correct statement is that a positive integer n can be written as the
sum of two positive squares if and only if either n is twice a square or n has at least
one 4k + 1 prime factor and all of its 4k + 3 prime factors appear to even powers.
This fact follows easily from the much deeper theory for computing rk(n) which
is defined to be the number of ways of writing n as a sum of k integer squares. In
computing rk(n) the squares of both positive and negative integers as well as 02 are
allowed and permutations of addends are counted as distinct sums. So, for example
r2(9) = 4 since 9 = 02 + (±3)2 = (±3)2 + 02 are the four ways to express 9 as the
sum of two integer squares.
Let n = 2k  pai
i qb j
j be the prime factorization of n with the pi and qj being the
primes congruent to 1 and 3 mod 4, respectively. Gauss showed that if any of the bj are
odd then r2(n) = 0 and otherwise r2(n) = 4(1 + ai ). So for example, since n = 9
has no 4k + 3 primes to an odd power, and all 4k + 1 primes occur to the zero power,
r2(9) = 4(1 + 0) = 4 as counted above.
Now assume that n = a2 + b2 is the sum of two positive squares. Either n is twice
a square or a = b in which case n = (±a)2 + (±b)2 = (±b)2 + (±a)2 shows that
r2(n) ≥ 8. From this it follows that all 4k + 3 primes appear to even powers and there
is at least one 4k + 1 prime. Conversely, if n = 2k2, then clearly n is the sum of two
nonzero squares. If, on the other hand, all 4k + 3 primes appear to even power and
there is at least one 4k + 1 prime, then r2(n) ≥ 8. Since at most 4 of these sums can
use 02, there must be a sum with two positive squares.
Sums of three positive squares When an integer can be written as a sum of three
positive squares has not quite been pinned down. Legendre showed that numbers of
the form 4h(8k + 7) are those which cannot be written as the sum of three or fewer
positive squares. But this left open the set of numbers which cannot be written as a sum
of three positive squares but can be written as a sum of one or two. In 1959 Grosswald,
et al., [3] proved that there exists a finite set of integers S such that n is not the sum
of three positive squares if and only if n = 4hq where q = 7 mod 8 or q is an element
of the finite set S. They conjectured that S = {1, 2, 5, 10, 13, 25, 37, 58, 85, 130} but
their proof showed only that the set S is finite.
Despite this disappointment, it is known which squares are sums of three positive
squares. Hurwitz [4] proved that with the exception of (2k)2 and (5 × 2k)2, every positive
square can be written as a sum of three positive squares. Fraser and Gordon later
gave an elementary proof of this fact in [2].
As a digression, note that Hurwitz’s result shows that the set S contains no squares
other than 1 and 25. So, in considering whether there might be additional numbers in
S, we need only consider nonsquares. If n is not a square, then for n = a2 + b2 neither
a nor b are zero and so the orderings in the three sums 02 + a2 + b2, a2 + 02 + b2,
a2 + b2 + 02 are distinct. If n cannot be written as a sum of three positive squares,
then all sums of three squares equal to n must have one of these three forms. Thus if n
is not a square, then n cannot be written as a sum of three positive squares if and only if
r3(n) = 3r2(n). In three hours, a laptop search using Mathematica’s built-in SquaresR
function verified that the conjectured values for S are correct for n ≤ 5 × 106.
Sums of four positive squares In [6], Pall is credited with showing that n can be
written as a sum of four positive squares if and only if n is not one of {1, 3, 5, 9, 11,
17, 29, 41} or of the form 2 × 4k , 6 × 4k , 14 × 4k . In a footnote of the cited work [7],
Pall says that “the reader will have no difficulty in proving [this result] by using the
following classical result, which was first stated by Fermat, and was first proved by
Legendre in 1798. A positive integer is a sum of three [or fewer positive] squares if
and only if it is not of the form 4h(8k + 7)”. With such a challenge I picked up my
pen and searched for the proof. Minutes ticked away to hours with my ego sinking
all the while. I eventually did hit upon the following proof similar to the one I later
found in [8].
First note that 4h(8k + 7) = 0, 4, 7 mod 8. If n = 2, 3, 4, 6, 7 mod 8, then n − 132 =
1, 2, 3, 5, 6 mod 8 and so n − 132 is not of the form 4h(8k + 7). Thus for n > 132,
Legendre’s results shows that n − 132 can be written as a sum of three or fewer positive
squares. Augment this sum with the appropriate choice from among 132 = 52 + 122 =
32 + 42 + 122 to obtain four positive squares summing to n. For n ≤ 132, a computer
check finds that {2, 3, 6, 11, 14} are the only integers in these congruence classes
which cannot be written as a sum of four positive squares.
If n = 1, 5 mod 8, then n − 262 = 5, 1 mod 8. So for n > 262, n − 262 can be
written as a sum of three positive squares. Augment this sum with the appropriate
choice from among 262 = 102 + 242 = 62 + 82 + 242 to obtain four positive squares
summing to n. For n ≤ 262, a computer check finds that {1, 5, 9, 17, 29, 41} are the
only integers in these congruence classes which cannot be writ

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

สแควร์ 169 สามารถเขียนเป็นผลรวมของสองช่อง 52 + 122 เป็นผลรวมของสามสี่เหลี่ยม 32 + 42 + 122 เป็นผลรวมของสี่เหลี่ยม 12 + 22 + 82 + 102 เป็นผลรวมของ 5สี่เหลี่ยม 12 + 22 + 22 + 42 + 122 และค่อนข้างยาวนานในขณะที่ ในความเป็นจริง Jacksonหมายเหตุ al. ร้อยเอ็ด [5] ที่ 169 สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองบวก k สำหรับ k ทั้งหมด 1155 และแรกเหลวเป็นผลรวมของความยาว 156 ผู้เขียนไปถามว่า มีมีจำกัดเช่นสายผล โดยเฉพาะ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก b มีการn จำนวนเต็มซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองบวก k สำหรับ k ทั้งหมดจาก 1 ลงใน b เรารวบรวมชุดของผลลัพธ์ มากที่สุดที่รู้จักค่อนข้างบางเวลาตอบคำถามนี้และ ในความเป็น จริง การระบุความยาวได้ทั้งหมดสำหรับผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมเท่ากับสี่เหลี่ยมที่กำหนดให้นี้เริ่มเมื่อผมอ่านฉบับที่ผู้เขียนได้ที่การบาง c(k) combinatorially กำหนดจำนวนเต็มที่สามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก kสี่เหลี่ยม แม้ว่าเทคนิคการพิสูจน์น่าสนใจ ฉันสงสัยว่า ถ้า มันจะไม่ได้เพิ่มเติมพบว่า ไม่สามารถเขียนเป็นจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่เพียงพอเป็นผลของสี่เหลี่ยม k เหตุผล ในสิ่งต่อไปนี้เรายาวสุดในผลรวมยกกำลังสองเท่ากับจำนวนเต็มที่กำหนดซึ่งอาจ หรืออาจไม่เหลี่ยมผลรวมของช่อง 5 หรือมากกว่าบวกดิกสัน [1] เครดิต Dubouis มีการเผยแพร่ทฤษฎีบทต่อไปนี้พ.ศ. 2454 มีจำนวนเต็ม n ≥ 34 สามารถเขียนเป็นผลรวมของ k เป็นบวกสี่เหลี่ยมสำหรับความพึงพอใจ 5 n ≤ k ≤ยกเว้น k k ทั้งหมด = n − 13, n − 10, n − 7n − 5, n − 4, n − 2, n − 1 เขียนหลัง แถบวาย [7] laments 20 ปีผ่านมีซ้ำงานของ Dubouis ก่อนที่จะสังเกตเห็นรายงานได้แต่พยายามขัดขวางการนำเสนอของเขาเองหลักฐานการ ฉันเขียนยังกว่า 75 ปี สงสัยที่หลักฐานของ Dubouis และของแถบวายคล้ายกับต่อไปนี้ครั้งแรก เราแสดงว่า ไม่มีจำนวนเต็ม n สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองบวก k สำหรับk ∈ {n − 13, n − 10, n − 7, n − 5, n − 4, n − 2, n − 1 } เมื่อต้องการดูนี้สังเกตว่า ผลรวมk เหลี่ยมบวก n = s21+ · · · + s2k ได้จากผลรวมของ n คนโดยซ้ำ ๆ แทน s2ฉันคนมี s2 ตารางเดียวฉัน ลดการเปลี่ยนนี้จำนวน summands โดย s2ฉัน− 1 ตัวอย่าง แทนสี่คน 1 + 1 + 1 + 1กับเดียว 22 ลดจำนวน summands 3 แทนที่ 32คนลดจำนวน summands 8 และสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่จำนวนsummands โดยน้อย 15 การตรวจสอบอย่างรวดเร็วแสดงให้เห็นว่าจำนวน n summands ในการไม่สามารถลดจำนวนคนทั้งหมด โดยมีจำนวน 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13 ใช้ลดของ 3 และ 8เราใช้การเหนี่ยวนำเพื่อแสดงว่า n สามารถเขียนเป็นผลรวมของความยาวระบุการรักษาความปลอดภัยกรณีพื้นฐานของ n = 34 ด้วยเครื่องมือ สำหรับ n > 34 เราเพิ่ม 12 แห่งผลรวมของช่องสี่เหลี่ยมเท่ากับ n − 1 กำหนด โดยทฤษฏีแม่เหล็กไฟฟ้า ซึ่งทำให้ทั้งหมดความยาวต้องการผลรวม n ยกเว้นผลยาว 5หลักฐานจะเสร็จสมบูรณ์ โดยแสดงว่า ทั้งหมด n > 34 สามารถเขียนเป็นผลรวมของ 5ยกกำลังสองบวก เครื่องคอมพิวเตอร์ (เป็นมือเพิ่มเติมตรวจสอบแถบวายและ Dubouis)ตรวจสอบนี้สำหรับ 34 < n ≤ 169 สำหรับ n > 169 เราใช้ทฤษฎีบทของโรงแรมลากรองจ์ ระบุว่า ทุกจำนวนเต็มบวกสามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองบวกสี่ หรือน้อยกว่าสำหรับ n > 169 ใช้ทฤษฎีบทของโรงแรมลากรองจ์เขียน n − 169 เป็นผลรวมของ 1, 2, 3 หรือ 4 บวกสี่เหลี่ยม เพิ่มการนำเสนอที่เหมาะสมของ 169 เป็นผลรวมของ 4, 3, 2 หรือ 1ยกกำลังสองบวกรับห้าเหลี่ยมบวกรวมกับ nดังนั้น ยกเว้นความยาว 2, 3 และ 4 ผลลัพธ์นี้ระบุความยาวได้ทั้งหมดสำหรับผลยกกำลังสองเท่ากับสี่เหลี่ยมที่กำหนดให้ นอกจากนี้ ผลมากช่วยให้ง่ายคำถามใน Jackson, et al. ตั้งแต่ถ้า n ตารางสามารถเขียนเป็นผลรวมของ 2, 3 และ 4 บวกสี่เหลี่ยมแล้ว n สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองบวก k สำหรับทุก 1 ≤ k ≤ n − 14ผลรวมของสองบวกสี่เหลี่ยมมีดูเหมือนจะ บางกันเกี่ยวกับเวลาสามารถเขียนจำนวนเต็มที่เป็นผลรวมของกำลังสองบวกสอง ในบทความ 1959 [3]ระบุเงื่อนไขว่า จำนวนเต็มต้องมี 4an1n22 แบบฟอร์มกับทฤษฎีบูรณาการ≥ 0n1 > 1 ของแผง 1 n1 mod 4 และตัวประกอบเฉพาะของ n2แผงไป 3 mod 4 ในหนังสือ 2006 [6] สภาพจะเหมือนกันยกเว้นว่าเป็น 4areplaced with 2e, with e a nonnegative integer. In both sources the claims are said tofollow easily from previous results, but proofs are not given. However, neither of theseconditions include 18 = 2 × 32 = 32 + 32 since 18 has no 4k + 1 prime factor. Moregenerally the conditions exclude the numbers n = m2 + m2 where m has no 4k + 1prime. Perhaps the authors meant to describe conditions in which n could be writtenas a sum of two distinct positive squares.In any case, the correct statement is that a positive integer n can be written as thesum of two positive squares if and only if either n is twice a square or n has at leastone 4k + 1 prime factor and all of its 4k + 3 prime factors appear to even powers.This fact follows easily from the much deeper theory for computing rk(n) whichis defined to be the number of ways of writing n as a sum of k integer squares. Incomputing rk(n) the squares of both positive and negative integers as well as 02 areallowed and permutations of addends are counted as distinct sums. So, for exampler2(9) = 4 since 9 = 02 + (±3)2 = (±3)2 + 02 are the four ways to express 9 as thesum of two integer squares.Let n = 2k  paii qb jj be the prime factorization of n with the pi and qj being theprimes congruent to 1 and 3 mod 4, respectively. Gauss showed that if any of the bj areodd then r2(n) = 0 and otherwise r2(n) = 4(1 + ai ). So for example, since n = 9has no 4k + 3 primes to an odd power, and all 4k + 1 primes occur to the zero power,r2(9) = 4(1 + 0) = 4 as counted above.Now assume that n = a2 + b2 is the sum of two positive squares. Either n is twicea square or a = b in which case n = (±a)2 + (±b)2 = (±b)2 + (±a)2 shows thatr2(n) ≥ 8. From this it follows that all 4k + 3 primes appear to even powers and thereis at least one 4k + 1 prime. Conversely, if n = 2k2, then clearly n is the sum of twononzero squares. If, on the other hand, all 4k + 3 primes appear to even power andthere is at least one 4k + 1 prime, then r2(n) ≥ 8. Since at most 4 of these sums canuse 02, there must be a sum with two positive squares.Sums of three positive squares When an integer can be written as a sum of threepositive squares has not quite been pinned down. Legendre showed that numbers ofthe form 4h(8k + 7) are those which cannot be written as the sum of three or fewerpositive squares. But this left open the set of numbers which cannot be written as a sumof three positive squares but can be written as a sum of one or two. In 1959 Grosswald,et al., [3] proved that there exists a finite set of integers S such that n is not the sumof three positive squares if and only if n = 4hq where q = 7 mod 8 or q is an elementof the finite set S. They conjectured that S = {1, 2, 5, 10, 13, 25, 37, 58, 85, 130} buttheir proof showed only that the set S is finite.Despite this disappointment, it is known which squares are sums of three positivesquares. Hurwitz [4] proved that with the exception of (2k)2 and (5 × 2k)2, every positivesquare can be written as a sum of three positive squares. Fraser and Gordon latergave an elementary proof of this fact in [2].As a digression, note that Hurwitz’s result shows that the set S contains no squaresother than 1 and 25. So, in considering whether there might be additional numbers inS, we need only consider nonsquares. If n is not a square, then for n = a2 + b2 neithera nor b are zero and so the orderings in the three sums 02 + a2 + b2, a2 + 02 + b2,a2 + b2 + 02 are distinct. If n cannot be written as a sum of three positive squares,then all sums of three squares equal to n must have one of these three forms. Thus if nis not a square, then n cannot be written as a sum of three positive squares if and only ifr3(n) = 3r2(n). In three hours, a laptop search using Mathematica’s built-in SquaresRfunction verified that the conjectured values for S are correct for n ≤ 5 × 106.Sums of four positive squares In [6], Pall is credited with showing that n can bewritten as a sum of four positive squares if and only if n is not one of {1, 3, 5, 9, 11,17, 29, 41} or of the form 2 × 4k , 6 × 4k , 14 × 4k . In a footnote of the cited work [7],Pall says that “the reader will have no difficulty in proving [this result] by using thefollowing classical result, which was first stated by Fermat, and was first proved byLegendre in 1798. A positive integer is a sum of three [or fewer positive] squares ifand only if it is not of the form 4h(8k + 7)”. With such a challenge I picked up mypen and searched for the proof. Minutes ticked away to hours with my ego sinkingall the while. I eventually did hit upon the following proof similar to the one I laterfound in [8].First note that 4h(8k + 7) = 0, 4, 7 mod 8. If n = 2, 3, 4, 6, 7 mod 8, then n − 132 =1, 2, 3, 5, 6 mod 8 and so n − 132 is not of the form 4h(8k + 7). Thus for n > 132,Legendre’s results shows that n − 132 can be written as a sum of three or fewer positivesquares. Augment this sum with the appropriate choice from among 132 = 52 + 122 =32 + 42 + 122 to obtain four positive squares summing to n. For n ≤ 132, a computercheck finds that {2, 3, 6, 11, 14} are the only integers in these congruence classeswhich cannot be written as a sum of four positive squares.If n = 1, 5 mod 8, then n − 262 = 5, 1 mod 8. So for n > 262, n − 262 can bewritten as a sum of three positive squares. Augment this sum with the appropriatechoice from among 262 = 102 + 242 = 62 + 82 + 242 to obtain four positive squaressumming to n. For n ≤ 262, a computer check finds that {1, 5, 9, 17, 29, 41} are theonly integers in these congruence classes which cannot be writ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ตาราง 169 สามารถเขียนเป็นผลรวมของสองสี่เหลี่ยม 52 + 122 เป็นผลรวมของสาม
สี่เหลี่ยม 32 + 42 + 122 เป็นผลรวมของสี่สี่เหลี่ยม 12 + 22 + 82 + 102 เป็นผลรวมของห้า
สี่เหลี่ยม 12 + 22 + 22 + 42 + 122 และอื่น ๆ สำหรับค่อนข้างนาน ในความเป็นจริงแจ็คสัน,
et al, [5] ทราบว่า 169 สามารถเขียนเป็นผลรวมของสี่เหลี่ยมบวก k สำหรับ k จาก 1
ถึง 155 และเป็นครั้งแรกล้มเหลวเป็นผลรวมของความยาว 156 เขียนไปถามว่ามี
ข้อ จำกัด ใด ๆ ไปเช่นสตริงของผลบวก . โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับทุกขจำนวนเต็มบวกจะมี
จำนวนเต็ม n ซึ่งสามารถเขียนเป็นผลรวมของสี่เหลี่ยมบวก k สำหรับ k จาก 1 ถึง b? เรา
รวบรวมคอลเลกชันของผลซึ่งส่วนใหญ่ได้รับทราบสำหรับค่อนข้างบางเวลา
ที่จะตอบคำถามนี้และในความเป็นจริงในการระบุความยาวที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับผลรวมของสี่เหลี่ยม
เท่ากับตารางที่กำหนด.
การตรวจสอบนี้เริ่มเมื่อฉันอ่านต้นฉบับ ซึ่งพิสูจน์ให้เห็นว่าผู้เขียน
บางจำนวนเต็มกำหนด combinatorially ค (k) สามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก k
สี่เหลี่ยม แม้ว่าเทคนิคการพิสูจน์เป็นที่น่าสนใจผมสงสัยว่ามันจะไม่
เป็นที่น่าแปลกใจมากที่พบว่าเป็นจำนวนเต็มขนาดใหญ่พอไม่สามารถเขียนเป็นผลรวม
ของสี่เหลี่ยม k สำหรับเหตุผลที่ในสิ่งต่อไปนี้เราอยู่ที่ความยาวเป็นไปได้สำหรับผลรวม
ของช่องสี่เหลี่ยมเท่ากับจำนวนเต็มซึ่งได้รับอาจจะหรืออาจจะไม่ได้ตาราง.
ผลรวมของ 5 หรือมากกว่าบวกดิกสันสแควร์ [1] Dubouis สินเชื่อที่มีการเผยแพร่
ทฤษฎีบทต่อไปในปี 1911 . จำนวนเต็ม n ≥ 34 สามารถเขียนเป็นผลรวมของ k บวก
สี่เหลี่ยมสำหรับทุกความพึงพอใจ 5 k ≤ k ≤ n ยกเว้น k = n - 13 n - 10 n - 7,
n - 5, n - 4, n - 2, n - 1. เขียน 20 ปีต่อมาพอล [7] วายในช่วงที่มีการทำซ้ำ
การทำงาน Dubouis 'ก่อนที่จะสังเกตเห็นรายงานของมัน แต่ต่อต้านการนำเสนอของเขาเอง
หลักฐาน เขียนกว่า 75 ปีต่อมายังคงฉันสงสัยว่าทั้ง Dubouis และหลักฐานของพอล
คล้ายกับต่อไปนี้.
ครั้งแรกที่เราแสดงให้เห็นว่าจำนวนเต็ม n ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของสี่เหลี่ยมบวก k สำหรับ
k ∈ {n - 13 n - 10, n - 7, n - 5, n - 4, n - 2, n - 1} หากต้องการดูข้อมูลนี้ว่าผลรวม
ของ k สี่เหลี่ยมบวก n = s2
1
+ ··· + s2
k สามารถหาได้จากผลรวมของ n คนโดย
ซ้ำเปลี่ยน s2
ผมของคนที่มีตารางเดียว s2
ฉัน ทดแทนซึ่งจะช่วยลด
จำนวน summands โดย s2
ฉัน
- 1 ตัวอย่างเช่นแทนที่สี่คนที่ 1 + 1 + 1 + 1,
ด้วย 22 ตารางเดียวจะช่วยลดจำนวนของ summands โดย 3. เปลี่ยนจาก 32
คนที่ช่วยลดจำนวนของ summands โดยสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่ 8 และลดจำนวนของ
summands อย่างน้อย 15 ตรวจสอบอย่างรวดเร็วแสดงให้เห็นว่านับ summands n ใน
ผลรวมของทุกคนไม่สามารถจะลดลงโดยใด ๆ ของจำนวนเงินที่ 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13 การใช้
ลดลง 3 และ 8
ตอนนี้เราใช้การเหนี่ยวนำที่จะแสดง n ที่สามารถเขียนเป็นผลรวมของความยาวที่ระบุ
การรักษาความปลอดภัยกรณีฐานของ n = 34 มีการตรวจสอบมือ สำหรับ n> 34 เราเพิ่ม 12 แต่ละ
ผลรวมของสี่เหลี่ยมเท่ากับ n - 1 ที่ได้รับจากสมมติฐานการเหนี่ยวนำ นี้จะช่วยให้ทุก
ความยาวของผลรวมที่จำเป็นสำหรับ n ยกเว้นสำหรับความยาว 5 ผลรวม.
หลักฐานจะเสร็จสมบูรณ์โดยแสดงให้เห็นว่าทั้งหมด n> 34 สามารถเขียนเป็นผลรวมของ 5
สี่เหลี่ยมบวก การตรวจสอบคอมพิวเตอร์ (มือตรวจสอบเพิ่มเติมสำหรับพอลและ Dubouis)
ตรวจสอบนี้ 34 <n ≤ 169 สำหรับ n> 169 เราใช้ทฤษฎีบทของ Lagrange ซึ่งระบุ
ว่าทุกจำนวนเต็มบวกสามารถเขียนเป็นผลรวมของสี่หรือน้อยสี่เหลี่ยมบวก
สำหรับ n> 169 ใช้ทฤษฎีบทของ Lagrange เขียน n - 169 เป็นผลรวมของ 1, 2, 3 หรือ 4 บวก
สี่เหลี่ยม แล้วเพิ่มเป็นตัวแทนที่เหมาะสมของ 169 เป็นผลรวมของ 4, 3, 2, 1 หรือ
สี่เหลี่ยมบวกที่จะได้รับในเชิงบวกสี่เหลี่ยมห้าข้อสรุปถึง n.
ดังนั้นยกเว้นสำหรับความยาวของ 2, 3, และ 4 ผลนี้ระบุความยาวที่เป็นไปได้ทั้งหมด ผลรวม
ของช่องสี่เหลี่ยมเท่ากับตารางที่กำหนด นอกจากนี้ผลง่ายมากคำถาม
ในแจ็คสัน, et al., เพราะถ้า n ตารางสามารถเขียนเป็นผลรวมของ 2, 3, และ 4 บวก
สี่เหลี่ยมแล้ว n สามารถเขียนเป็นผลรวมของ k สี่เหลี่ยมในเชิงบวกสำหรับทั้งหมด 1 ≤ k ≤ n - 14.
ผลรวมของสองสี่เหลี่ยมบวกดูเหมือนจะมีความขัดแย้งเกี่ยวกับเมื่อบาง
จำนวนเต็มสามารถเขียนเป็นผลรวมของสองสี่เหลี่ยมบวก ในบทความ 1959 [3]
เงื่อนไขที่ระบุไว้ว่าจำนวนเต็มจะต้องมีรูปแบบ 4an1n22
กับหนึ่ง≥ 0,
n1> 1 ปัจจัยที่สำคัญของการสอดคล้องกัน n1 1 4 สมัยและปัจจัยที่สำคัญของ n2
สอดคล้องกันถึง 3 สมัย 4. ในปี 2006 หนังสือ [6] เงื่อนไขเป็นเหมือนกันยกเว้น 4a ที่
ถูกแทนที่ด้วย 2e กับเอจำนวนเต็มไม่เป็นลบ ในแหล่งที่มาของการเรียกร้องทั้งสองบอกว่าจะ
ทำตามได้อย่างง่ายดายจากผลก่อนหน้านี้ แต่พิสูจน์ไม่ได้รับ แต่ไม่มีของเหล่านี้
รวมถึงสภาพ 18 = 2 × 32 = 32 + 32 ตั้งแต่วันที่ 18 มี 4k + 1 ปัจจัยสำคัญไม่มี อื่น ๆ
โดยทั่วไปสภาพไม่รวมตัวเลข n = m2 + m2 ที่ม. ไม่เคยมีใคร 4k + 1
ที่สำคัญ บางทีผู้เขียนหมายถึงการอธิบายเงื่อนไขที่ n สามารถเขียน
เป็นผลรวมของสองสี่เหลี่ยมบวกที่แตกต่างกัน.
ในกรณีใด ๆ คำสั่งที่ถูกต้องคือจำนวนเต็มบวก n สามารถเขียนเป็น
ผลรวมของสองสี่เหลี่ยมบวกถ้าหากทั้งสอง n เป็นสองเท่าของตารางหรือ n มีอย่างน้อย
หนึ่ง 4k + 1 ปัจจัยสำคัญและทั้งหมดของ 4k + 3 ปัจจัยสำคัญที่ปรากฏที่จะได้อำนาจ.
ความจริงเรื่องนี้ดังต่อไปนี้ได้อย่างง่ายดายจากทฤษฎีลึกมากสำหรับการคำนวณ RK (n) ซึ่ง
ถูกกำหนดให้เป็น หลายวิธีของการเขียน n เป็นผลรวมของสี่เหลี่ยมจำนวนเต็ม k ใน
การคำนวณ RK (n) สี่เหลี่ยมของจำนวนเต็มทั้งบวกและลบเช่นเดียวกับ 02 จะ
ได้รับอนุญาตและพีชคณิต addends จะถูกนับเป็นจำนวนเงินที่แตกต่างกัน ดังนั้นสำหรับตัวอย่างเช่น
r2 (9) = 4 ตั้งแต่ 9 = 02 + (± 3) 2 = (± 3) 2 + 02 มีสี่วิธีในการแสดง 9 เป็น
ผลรวมของสองสี่เหลี่ยมจำนวนเต็ม.
ให้ n = 2k? ปาย
ฉัน? qb เจ
เจเป็นตัวประกอบที่สำคัญของ n กับปี่และ QJ เป็น
ช่วงเวลาที่สอดคล้องกันในการที่ 1 และ 3 4 สมัยตามลำดับ เกาส์แสดงให้เห็นว่าถ้ามี bj เป็น
คี่แล้ว r2 (n) = 0 และอื่น r2 (n) = 4 (1 + ไอ) ดังนั้นตัวอย่างเช่นเมื่อ n = 9
ไม่มี 4k + 3 ช่วงเวลาในการใช้พลังงานที่แปลกและทุก 4k + 1 ช่วงเวลาที่เกิดขึ้นในการใช้พลังงานเป็นศูนย์
r2 (9) = 4 (1 + 0) = 4 นับเป็นข้างต้น.
ตอนนี้ถือว่า ที่ n = a2 + b2 เป็นผลรวมของสองสี่เหลี่ยมบวก ทั้ง n เป็นสองเท่าของ
ตารางหรือ? b = ในกรณีที่ n = (±) 2 + (±ข) 2 = (±ข) 2 + (±) 2 แสดงให้เห็นว่า
r2 (n) ≥ 8 จากนี้ มันตามที่ทุก 4k + 3 ช่วงเวลาที่ปรากฏที่จะได้อำนาจและมี
อย่างน้อยหนึ่ง 4k + 1 ที่สำคัญ ตรงกันข้ามถ้า n = 2k2 แล้วอย่างเห็นได้ชัด n คือผลรวมของสอง
สี่เหลี่ยมภัณฑ์ ถ้าในมืออื่น ๆ ทั้งหมด 4k + 3 ช่วงเวลาที่ดูเหมือนจะใช้พลังงานมากและ
มีอย่างน้อยหนึ่ง 4k + 1 ที่สำคัญแล้ว r2 (n) ≥ 8. ตั้งแต่ที่มากที่สุดที่ 4 ของจำนวนเงินเหล่านี้สามารถ
ใช้ 02 จะต้องมี รวมกับสองสี่เหลี่ยมบวก.
ผลรวมของสามสี่เหลี่ยมบวกเมื่อจำนวนเต็มสามารถเขียนเป็นผลรวมของสาม
สี่เหลี่ยมบวกไม่ได้รับค่อนข้างตรึงลง ช็แสดงให้เห็นว่าตัวเลขของ
รูปแบบ 4h (8k + 7) เป็นผู้ที่ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของสามหรือน้อย
สี่เหลี่ยมบวก แต่ตอนนี้เปิดทิ้งชุดของตัวเลขที่ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวม
ของสามสี่เหลี่ยมบวก แต่สามารถเขียนเป็นผลรวมของการหนึ่งหรือสอง ในปี 1959 Grosswald,
et al., [3] ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีขอบเขตของจำนวนเต็ม S ดังกล่าวที่ n คือไม่ได้ผลรวม
ของสามสี่เหลี่ยมบวกถ้าหาก n = 4HQ เมื่อ q = 7 สมัย 8 หรือคิวเป็นองค์ประกอบ
ของชุดเอส จำกัด พวกเขาสันนิษฐานว่า S = {1, 2, 5, 10, 13, 25, 37, 58, 85, 130} แต่
หลักฐานของพวกเขาแสดงให้เห็นเพียงว่า S ชุดมี จำกัด .
แม้จะมีความผิดหวังนี้มันเป็น ซึ่งเป็นที่รู้จักกันเป็นสี่เหลี่ยมผลบวกสามบวก
สี่เหลี่ยม Hurwitz [4] พิสูจน์ให้เห็นว่ามีข้อยกเว้นของ (2k) และ 2 (5 × 2k) 2 บวกทุก
ตารางสามารถเขียนเป็นผลรวมของสามสี่เหลี่ยมบวก เฟรเซอร์และกอร์ดอนในภายหลัง
ให้หลักฐานเบื้องต้นของความจริงใน [2].
ในฐานะที่พูดนอกเรื่องทราบว่าผล Hurwitz แสดงให้เห็นว่าเอสชุดมีสี่เหลี่ยมไม่มี
อื่น ๆ กว่าที่ 1 และ 25 ดังนั้นในการพิจารณาว่าอาจจะมีตัวเลขเพิ่มเติมใน
S เราต้องการเพียงพิจารณา nonsquares ถ้า n ไม่ตารางแล้วสำหรับ n = a2 + b2 ไม่
ว่ามิได้ b เป็นศูนย์และอื่น ๆ orderings ในสามบวก 02 + a2 + b2, a2 + 02 + b2,
a2 + b2 + 02 มีความแตกต่าง ถ้า n ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของสามสี่เหลี่ยมบวก
แล้วผลรวมทั้งหมดของสามสี่เหลี่ยมเท่ากับ n ต้องมีหนึ่งในสามรูปแบบเหล่านี้ ดังนั้นหาก n
ไม่ได้ตารางแล้ว n ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของสามสี่เหลี่ยมบวกถ้าหาก
r3 (n) = 3r2 (n) สามชั่วโมงในการค้นหาโดยใช้แล็ปท็อป Mathematica ในตัว SquaresR
ฟังก์ชั่นการตรวจสอบแล้วว่าค่าที่คาดคะเนสำหรับ S ถูกต้องสำหรับ n ≤ 5 × 106
ผลรวมของสี่สี่เหลี่ยมบวกใน [6], พอลจะให้เครดิตกับการแสดง n ที่สามารถ
เขียน เป็นผลรวมของสี่สี่เหลี่ยมบวกถ้าหากว่า n ไม่ได้เป็นหนึ่ง {1, 3, 5, 9, 11,
17, 29, 41} หรือในรูปแบบ 2 × 4k, 6 ​​× 4k 14 × 4k ในเชิงอรรถของการทำงานที่อ้าง [7],
พอลกล่าวว่า "ผู้อ่านจะมีความยากลำบากในการพิสูจน์ [ผลนี้] โดยใช้
ผลคลาสสิกต่อไปนี้ซึ่งได้ระบุไว้เป็นครั้งแรกโดยแฟร์มาต์และได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นครั้งแรกโดย
ในช็ 1798 จำนวนเต็มบวกคือผลรวมของสาม [หรือน้อยกว่าในเชิงบวก] สี่เหลี่ยมถ้า
หากว่ามันไม่ได้เป็นรูปแบบ 4h (8k + 7) " กับความท้าทายดังกล่าวที่ผมหยิบขึ้นมาฉัน
ปากกาและค้นหาหลักฐาน นาที ticked ออกไปชั่วโมงกับอัตตาของฉันจม
ในขณะที่ทุก ในที่สุดผมก็ตีเมื่อหลักฐานดังต่อไปนี้คล้ายกับที่ผมมา
พบใน [8].
ทราบเป็นครั้งแรกที่ 4h (8k + 7) = 0, 4, 7 สมัย 8 ถ้า n = 2, 3, 4, 6, 7 สมัยที่ 8 แล้ว n - 132 =
1, 2, 3, 5, 6 สมัยและอื่น ๆ 8 n - 132 ไม่ได้เป็นรูปแบบ 4h (8k + 7) ดังนั้นสำหรับ n> 132
ผลการช็แสดงให้เห็นว่า n - 132 สามารถเขียนเป็นผลรวมของสามหรือน้อยลงบวก
สี่เหลี่ยม ขยายผลรวมนี้กับทางเลือกที่เหมาะสมจากบรรดา 132 + 52 = 122 =
32 + 42 + 122 จะได้รับสี่สี่เหลี่ยมบวกข้อสรุปถึง n สำหรับ n ≤ 132 คอมพิวเตอร์
ตรวจสอบพบว่า {2, 3, 6, 11, 14} เป็นจำนวนเต็มเพียงในชั้นเรียนสอดคล้องกันเหล่านี้
ที่ไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของสี่สี่เหลี่ยมบวก.
ถ้า n = 1, 5 สมัยที่ 8 แล้ว n - 262 = 5, 1 สมัย 8. ดังนั้นสำหรับ n> 262 n - 262 สามารถ
เขียนเป็นผลรวมของสามสี่เหลี่ยมบวก เพิ่มจำนวนนี้มีความเหมาะสม
ทางเลือกจากบรรดา 262 = 102 + 242 = 62 + 82 + 242 จะได้รับสี่สี่เหลี่ยมบวก
ข้อสรุปถึง n สำหรับ n ≤ 262 ตรวจสอบคอมพิวเตอร์พบว่า {1, 5, 9, 17, 29, 41} เป็น
จำนวนเต็มเพียงในชั้นเรียนเหล่านี้สอดคล้องกันซึ่งไม่สามารถคำสั่ง

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

ตารางคุณสามารถเขียนเป็นจำนวนสองสี่เหลี่ยม 52 122 , ผลรวมของ 3
สี่เหลี่ยม 32 42 122 เป็นจำนวนสี่สี่เหลี่ยม 12 22 82 102 เป็นจำนวนห้า
สี่เหลี่ยม 12 22 22 42 122 , และอื่น ๆสำหรับค่อนข้างยาว ในความเป็นจริง , แจ็คสัน ,
et al . [ 5 ] โปรดทราบว่าคุณสามารถเขียนเป็นจำนวน K บวกสี่เหลี่ยมทั้งหมด k 1
155 และล้มเหลวในฐานะผลรวมของความยาว 156ผู้เขียนไปถามว่ามี
จํากัดใด ๆเช่น สตริงของผลบวก โดยเฉพาะสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก B มี
เป็นจำนวนเต็มซึ่งสามารถเขียนเป็นจำนวน K บวกสี่เหลี่ยมทั้งหมด K จาก 1 ไป 2 เรา
รวบรวมคอลเลกชันของผลลัพธ์ ซึ่งส่วนใหญ่เป็นที่รู้จักสำหรับค่อนข้างบางเวลา
เพื่อตอบคำถามนี้ และ ในความเป็นจริง การกำหนดความยาวที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับผลรวมของสี่เหลี่ยม
เท่ากับเป็นสี่เหลี่ยมให้ .
การสืบสวนเริ่มขึ้นเมื่อฉันอ่านบทความที่ผู้เขียนได้พิสูจน์ว่า
combinatorially กำหนดจำนวนเต็มบาง C ( K ) อาจจะเขียนเป็น ผลรวมของจำนวนเต็มบวก k
สี่เหลี่ยม แม้ว่าเทคนิคการพิสูจน์ที่น่าสนใจ ผมสงสัยว่า ถ้ามันไม่น่าแปลกใจมากขึ้น
หาจำนวนเต็มขนาดใหญ่เพียงพอไม่สามารถเขียนเป็นสรุป
K เหลี่ยมสำหรับเหตุผลนั้น สิ่งที่ตามเราอยู่ยาวที่สุดสำหรับผลรวม
ของสี่เหลี่ยมเท่ากับจำนวนเต็มที่กำหนดซึ่งอาจจะหรืออาจจะไม่ ตาราง
ผลบวกของ 5 หรือมากกว่าบวกสี่เหลี่ยมดิค [ 1 ] เครดิต dubouis ประกาศ
ดังต่อไปนี้ทฤษฎีบทใน 1911 จำนวนเต็ม n ≥ 34 สามารถเขียนเป็นจำนวน K บวก
สี่เหลี่ยมทั้งหมดเพียง 5 ≤ K K ≤ N ยกเว้น K = n − 13 N − 10 − 7
, n ,n − 2 , − 2 , − 2 , − 1 เขียนเมื่อ 20 ปีก่อน เพื่อน [ 7 ] คร่ำครวญเพราะมีซ้ำกัน
dubouis ' งานก่อนที่จะสังเกตเห็นรายงาน แต่ต่อต้านเสนอหลักฐานของเขาเอง

การเขียนมากกว่า 75 ปีต่อมายัง ฉันสงสัยว่า ทั้ง dubouis ’ และ พอล ก็ปรู๊ฟ

แรกคล้ายกับต่อไปนี้ เราบอกว่าไม่เป็นจำนวนเต็มสามารถเขียนเป็นจำนวน K บวกสี่เหลี่ยมสำหรับ
K ∈ { n − 13 N − 10n − 7 n − 5 n − 2 , − 2 , − 1 } เห็นข้อความที่ผลรวม
K บวกสี่เหลี่ยม n = S2
1
· · · S2
K สามารถหาได้จากผลรวมของคนด้วย

ผมซ้ำๆ แทน S2 ของคนที่มีตารางเดียว S2
ฉัน . แทนซึ่งจะช่วยลดจำนวนของ summands

ผมโดย S2
− 1 ตัวอย่างเช่นแทน 4 คน 1 1 1 1 ,
กับตารางเดียว 22 ลดจำนวน summands โดย 3เปลี่ยน 32
ที่ลดจำนวน summands โดยและขนาดใหญ่สี่เหลี่ยมลดจํานวน
summands อย่างน้อย 15 ตรวจสอบอย่างรวดเร็วแสดงให้เห็นว่าจำนวนของ summands ใน
ผลรวมของทั้งหมดที่ไม่สามารถจะลดลง โดยมีปริมาณ 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 10 , 13 ใช้ร้อยละ 3 และ 8
.
ตอนนี้เราใช้การเหนี่ยวนำ เพื่อแสดงว่าสามารถเขียนเป็นผลรวมของความยาวที่ระบุ
,การรักษาความปลอดภัยฐานกรณี n = 34 ด้วยเช็คมือ สำหรับ n > เราเพิ่ม 12 แต่ละ
ผลรวมของสี่เหลี่ยมเท่ากับ n − 1 ได้รับจากการสมมุติฐาน นี้จะช่วยให้ทุกคนที่ต้องการความยาวของผลบวก
n ยกเว้นความยาว 5 ผลรวม .
หลักฐานเสร็จ โดยการแสดงทั้งหมด n > 34 สามารถเขียนเป็นจำนวน 5
สี่เหลี่ยมบวก ตรวจสอบคอมพิวเตอร์ ( การตรวจสอบเพิ่มเติมและมือพอล dubouis )
ตรวจสอบนี้ 34 < N ≤ 169 . สำหรับ n > เราใช้ทฤษฎีบทของลากรองจ์ซึ่งรัฐ
ว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนสามารถเขียนเป็น 4 หรือน้อยกว่าสี่เหลี่ยมบวก .
n > 169 , ใช้ทฤษฎีบทของลากรองจ์เขียน n −ในฐานะผลรวมของ 1 , 2 , 3 หรือ 4 เหลี่ยมบวก

แล้วเพิ่มการเป็นตัวแทนที่เหมาะสมในฐานะผลรวมของ 4 , 3 , 2 หรือ 1