Uncountability of Real NumbersAbstr

Uncountability of Real Numbers
Abstract: In this article, it will be shown that the set of Real numbers is uncountable in four different ways. The
first one uses the least upper bound property of the set of real numbers ℝ (sometimes called the completeness
property of ℝ), the second one uses the nested intervals property of ℝ, the third one uses Cantor’s diagonal
argument and the fourth one by proving that a non- empty perfect subset ofℝ is uncountable.
Keywords:Uncountable set, monotone sequences, bounded above, bounded below, perfect set ,neighbourhood
of a point, limit point of a set.

In this article the Uncountabilityof ℝ, the set of real numbers is shown in four different ways and each
time one can observe that the completeness property of ℝ is very much needed to prove that ℝ is uncountable.
In the first proof the completeness property of ℝ sometimes called the least upper bound property of ℝ plays a
crucial role in order to show that ℝ is uncountable. Similarly the second proof uses the nested intervals property
of ℝwhich is just another version of the completeness property of ℝ and the third one uses the so- called
Cantor’s diagonal argument.Here it is pointed out that in this proof the fact that for each

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

Uncountability ของจำนวนจริงบทคัดย่อ: ในบทความนี้ มันจะแสดงว่า ชุดของตัวเลขจำนวนจริงมีสี่วิธีที่แตกต่างกันในด้าน การครั้งแรก ใช้คุณสมบัติบนผูกพันน้อยของชุดของจำนวนจริงℝ (บางครั้งเรียกว่าสมบูรณ์คุณสมบัติของℝ), คนสองใช้คุณสมบัติช่วงเวลาซ้อนกันของℝ หนึ่งในสามใช้แนวทแยงของคันทอร์อาร์กิวเมนต์และสี่ทีพิสูจน์ว่าในด้านการย่อยสมบูรณ์ไม่ว่าง ofℝคำสำคัญ: อังกฤษชุด ชุด bounded เหนือ bounded ด้านล่าง สมบูรณ์แบบ ลำดับทางเดียว ละแวกจุด จุดของขีดจำกัดของชุดในบทความ Uncountabilityof ℝ ชุดของจำนวนจริงจะปรากฏขึ้น ในสี่วิธีด้วยกัน และแต่ละเวลาหนึ่งสามารถสังเกตได้ว่า คุณสมบัติครบถ้วนของℝมากจำℝที่เป็นอังกฤษในหลักฐานครบถ้วนของℝบางครั้งเรียกว่าพักบนผูกพันน้อยของℝแรกเล่นเป็นบทบาทสำคัญเพื่อแสดงว่าℝเป็นอังกฤษ ในทำนองเดียวกัน หลักฐานสองใช้คุณสมบัติช่วงเวลาซ้อนกันℝwhich เป็นอีกรุ่นของคุณสมบัติครบถ้วนของℝ และหนึ่งในสามใช้การมาก-เรียกว่าอาร์กิวเมนต์แนวทแยงของคันทอร์ นี่มันจะชี้ให้เห็นว่า ในนี้พิสูจน์ความจริงที่สำหรับแต่ละ