The idea of structure-preserving fu

The idea of structure-preserving functions, or homomorphisms, led to the abstract notion of morphism, the key concept of category theory. In fact, functions f: X → Y are the morphisms in the category of sets, including the empty set: if the domain X is the empty set, then the subset of X × Y describing the function is necessarily empty, too. However, this is still a well-defined function. Such a function is called an empty function. In particular, the identity function of the empty set is defined, a requirement for sets to form a category.

The concept of categorification is an attempt to replace set-theoretic notions by category-theoretic ones. In particular, according to this idea, sets are replaced by categories, while functions between sets are replaced by functors.[13]

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

ความคิดในการรักษาโครงสร้างฟังก์ชัน หรือ homomorphisms นำไปสู่ความคิดนามธรรมของ morphism แนวคิดสำคัญของทฤษฎีประเภท ในความเป็นจริง ฟังก์ชัน f: X → Y เป็น morphisms ในประเภทของชุด รวมทั้งชุดว่างเปล่า: ถ้าโดเมน X ชุดว่างเปล่า แล้วเซตย่อยของ X × Y อธิบายฟังก์ชันเปล่าจำเป็นต้อง เกินไป อย่างไรก็ตาม นี่คือยังมีฟังก์ชัน ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันการว่างเปล่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีกำหนดรหัสประจำตัวฟังก์ชันของชุดว่างเปล่า ความต้องการสำหรับการตั้งค่าแบบประเภทแนวคิดของ categorification เป็นความพยายามที่แทนความสดชุด โดยคนประเภทสด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตามแนวคิดนี้ ชุดจะถูกแทนที่ตามหมวดหมู่ ในขณะที่ฟังก์ชันระหว่างชุดจะถูกแทนที่ โดย functors [13]

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

ความคิดของฟังก์ชั่นการรักษาโครงสร้างหรือ homomorphisms นำไปสู่ความคิดนามธรรมของฟิซึ่มส์แนวคิดที่สำคัญของทฤษฎีประเภท ในความเป็นจริงฟังก์ชัน f: X → Y มี morphisms ในหมวดหมู่ของชุดรวมทั้งชุดที่ว่างเปล่า: ถ้าโดเมน X เป็นเซตว่างแล้วย่อยของ X × Y อธิบายฟังก์ชั่นที่มีความจำเป็นต้องว่างมากเกินไป แต่นี้ก็ยังคงเป็นฟังก์ชั่นที่ดีที่กำหนด เช่นฟังก์ชั่นที่เรียกว่าฟังก์ชั่นที่ว่างเปล่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชั่นตัวตนของเซตว่างมีการกำหนดความต้องการสำหรับชุดในรูปแบบหมวดหมู่นี้. แนวคิดของ categorification เป็นความพยายามที่จะเปลี่ยนความคิดตั้งทฤษฎีโดยคนประเภททฤษฎี โดยเฉพาะอย่างยิ่งตามความคิดนี้ชุดจะถูกแทนที่ด้วยประเภทในขณะที่ฟังก์ชั่นระหว่างชุดจะถูกแทนที่ด้วย functors. [13]

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

的想法，或structure-preserving functions），导致到abstract同态的概念，notion morphism of key功能理论在事实类。f：X→Y，态射是在类的空套，包括一个的IF的设置：域X是空的set，然后subset X×Y）的功能是describing necessarily人去楼空。然而，这是，太还有一well-defined function。Such功能是一个空函数，叫A。在particular，高岭石的身份。需求定义的，一个是空套，套到一类的形式。categorification）的概念是一个概念attempt replace set-theoretic category-theoretic ones在particular，通过。根据这个想法，是通过replaced套之间，套在功能类别是由13 ] [ replaced函子。