APOS: A Constructivist Theory of Le

APOS: A Constructivist Theory of Learning
in Undergraduate Mathematics Education Research
Ed Dubinsky, Georgia State University, USA
and
Michael A. McDonald, Occidental College, USA
The work reported in this paper is based on the principle that research in mathematics education
is strengthened in several ways when based on a theoretical perspective. Development of a theory or
model in mathematics education should be, in our view, part of an attempt to understand how
mathematics can be learned and what an educational program can do to help in this learning. We do
not think that a theory of learning is a statement of truth and although it may or may not be an
approximation to what is really happening when an individual tries to learn one or another concept in
mathematics, this is not our focus. Rather we concentrate on how a theory of learning mathematics
can help us understand the learning process by providing explanations of phenomena that we can
observe in students who are trying to construct their understandings of mathematical concepts and by
suggesting directions for pedagogy that can help in this learning process.
Models and theories in mathematics education can
• support prediction,
• have explanatory power,
• be applicable to a broad range of phenomena,
• help organize one’s thinking about complex, interrelated phenomena,
• serve as a tool for analyzing data, and
• provide a language for communication of ideas about learning that go beyond superficial
descriptions.
We would like to offer these six features, the first three of which are given by Alan Schoenfeld in
“Toward a theory of teaching-in-context,” Issues in Education, both as ways in which a theory can
contribute to research and as criteria for evaluating a theory.
2
In this paper, we describe one such perspective, APOS Theory, in the context of undergraduate
mathematics education. We explain the extent to which it has the above characteristics, discuss the
role that this theory plays in a research and curriculum development program and how such a program
can contribute to the development of the theory, describe briefly how working with this particular
theory has provided a vehicle for building a community of researchers in undergraduate mathematics
education, and indicate the use of APOS Theory in specific research studies, both by researchers who
are developing it as well as others not connected with its development. We provide, in connection
with this paper, an annotated bibliography of research reports which involve this theory.
APOS Theory
The theory we present begins with the hypothesis that mathematical knowledge consists in an
individual’s tendency to deal with perceived mathematical problem situations by constructing mental
actions, processes, and objects and organizing them in schemas to make sense of the situations and
solve the problems. In reference to these mental constructions we call it APOS Theory. The ideas
arise from our attempts to extend to the level of collegiate mathematics learning the work of J. Piaget
on reflective abstraction in children’s learning. APOS Theory is discussed in detail in Asiala, et. al.
(1996). We will argue that this theoretical perspective possesses, at least to some extent, the
characteristics listed above and, moreover, has been very useful in attempting to understand students’
learning of a broad range of topics in calculus, abstract algebra, statistics, discrete mathematics, and
other areas of undergraduate mathematics. Here is a brief summary of the essential components of the
theory.
An action is a transformation of objects perceived by the individual as essentially external and
as requiring, either explicitly or from memory, step-by-step instructions on how to perform the
operation. For example, an individual with an action conception of left coset would be restricted to
working with a concrete group such as Z20 and he or she could construct subgroups, such as
H={0,4,8,12,16} by forming the multiples of 4. Then the individual could write the left coset of 5 as
the set 5+H={1,5,9,13,17} consisting of the elements of Z20 which have remainders of 1 when divided
by 4.
3
When an action is repeated and the individual reflects upon it, he or she can make an internal
mental construction called a process which the individual can think of as performing the same kind of
action, but no longer with the need of external stimuli. An individual can think of performing a
process without actually doing it, and therefore can think about reversing it and composing it with
other processes. An individual cannot use the action conception of left coset described above very
effectively for groups such as S4, the group of permutations of four objects and the subgroup H
corresponding to the 8 rigid motions of a square, and not at all for groups Sn for large values of n. In
such cases, the individual must think of the left coset of a permutation p as the set of all products ph,
where h is an element of H. Thinking about

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

APOS: เนมทฤษฎีการเรียนรู้ในการวิจัยการศึกษาคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีEd Dubinsky มหาวิทยาลัยรัฐจอร์เจีย สหรัฐอเมริกาและMichael A. McDonald วิทยาลัยอ็อคซิเดนทัล สหรัฐอเมริกาการทำงานที่รายงานในเอกสารนี้เป็นไปตามหลักการที่วิจัยในการศึกษาคณิตศาสตร์มีความเข้มแข็งในหลายวิธีเมื่อตามมุมมองทางทฤษฎี การพัฒนาทฤษฎี หรือรูปแบบในการศึกษาคณิตศาสตร์ควร ในมุมมองของเรา ส่วนหนึ่งของความพยายามที่เข้าใจวิธีสามารถเรียนรู้คณิตศาสตร์ และโปรแกรมการศึกษาอย่างไรเพื่อช่วยในการเรียนรู้นี้ เราทำไม่คิดว่า ทฤษฎีการเรียนรู้เป็นคำจริงและถึงแม้ ว่ามันอาจ หรืออาจไม่มีประมาณการสิ่งจริง ๆ ที่เกิดขึ้นเมื่อบุคคลพยายามเรียนรู้หนึ่ง หรืออีกแนวคิดในการคณิตศาสตร์ นี้ไม่ได้มุ่งเน้นการ แต่ เราเน้นที่วิธีการทฤษฎีการเรียนรู้คณิตศาสตร์สามารถช่วยให้เราเข้าใจกระบวนการเรียนรู้ โดยการให้คำอธิบายของปรากฏการณ์ที่เราสามารถสังเกตได้จากนักเรียนที่พยายามสร้างความเข้าใจ ของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ และแนะนำวิธีสอนที่ช่วยในกระบวนการเรียนรู้นี้แบบจำลองและทฤษฎีในการศึกษาคณิตศาสตร์สามารถ•สนับสนุนทำนาย•มีอำนาจอธิบาย•สามารถใช้กับหลากหลายของปรากฏการณ์•ช่วยจัดระเบียบของความคิดเกี่ยวกับปรากฏการณ์ที่ซับซ้อน เชื่อม•เป็นเครื่องมือสำหรับการวิเคราะห์ข้อมูล และ•ให้เป็นภาษาสำหรับการสื่อสารความคิดเกี่ยวกับการเรียนรู้ที่ผิวเผินคำอธิบายเราอยากจะนำเสนอคุณสมบัติเหล่านี้หก สามตัวแรกที่กำหนด โดย Alan Schoenfeld ใน"ไปเป็นทฤษฎีการเรียนการสอนในบริบท ปัญหาในการศึกษา ทั้งเป็นวิธีการที่ทฤษฎีที่สามารถมีส่วนร่วมวิจัย และ เป็นเกณฑ์สำหรับการประเมินทฤษฎี2ในกระดาษนี้ เราอธิบายเช่นมุมมองหนึ่ง ทฤษฎี APOS ในบริบทของปริญญาตรีการศึกษาคณิตศาสตร์ เราอธิบายขอบเขตที่มีลักษณะข้างต้น พูดคุยเกี่ยวกับการบทบาทที่เล่นทฤษฎีนี้ในการวิจัยและหลักสูตรการพัฒนาโปรแกรม และโปรแกรมวิธีดังกล่าวสามารถนำไปสู่การพัฒนาของทฤษฎี อธิบายสั้น ๆ ว่าทำงาน ด้วยนี้โดยเฉพาะทฤษฎีมียานพาหนะสำหรับการสร้างชุมชนของนักวิจัยในระดับปริญญาตรีคณิตศาสตร์การศึกษา และบ่งชี้ว่า การใช้ทฤษฎี APOS ในการศึกษาวิจัยเฉพาะ ทั้ง โดยนักวิจัยที่กำลังพัฒนามันเป็นคนอื่นที่ไม่ได้เชื่อมต่อกับการพัฒนา เรามี เชื่อมต่อด้วยกระดาษ การใส่คำอธิบายประกอบบรรณานุกรมของรายงานการวิจัยที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีนี้นี้ทฤษฎี APOSทฤษฎีที่เรานำเสนอเริ่มต้น ด้วยสมมติฐานที่มีความรู้ทางคณิตศาสตร์ในการแนวโน้มที่จะจัดการกับปัญหาทางคณิตศาสตร์รับรู้สถานการณ์โดยสร้างทางจิตของแต่ละบุคคลการดำเนินการ กระบวน การ และวัตถุ และจัดระเบียบได้ในแบบแผนจะทำความเข้าใจในสถานการณ์ และแก้ปัญหา อ้างอิงถึงสิ่งก่อสร้างเหล่านี้จิต เราเรียกทฤษฎี APOS มัน ความคิดเกิดขึ้นจากความพยายามของเราจะขยายไปยังระดับของโคล์เกียคณิตศาสตร์เรียนรู้การทำงานของ J. Piagetในนามธรรมสะท้อนในการเรียนรู้ของเด็ก ทฤษฎี APOS กล่าวถึงในรายละเอียดใน Asiala, et อัล(1996) . เราจะยืนยันว่า มุมมองทางทฤษฎีนี้มี น้อยบ้าง การลักษณะดังกล่าวข้างต้น และ นอกจากนี้ มีประโยชน์มากในการพยายามทำความเข้าใจของนักเรียนเรียนรู้ความหลากหลายของหัวข้อในแคลคูลัส สถิติ พีชคณิตนามธรรม คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง และพื้นที่อื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี นี่คือสรุปสั้น ๆ ของส่วนประกอบที่สำคัญของการทฤษฎีการกระทำคือ การเปลี่ยนแปลงของวัตถุที่รับรู้ โดยแต่ละบุคคลเป็นหลักภายนอก และเป็นต้อง ชัดเจน หรือ จากหน่วยความ จำ คำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการดำเนินการการดำเนินงาน เช่น บุคคลกับการคิดการกระทำของ coset ด้านซ้ายจะถูกจำกัดให้ทำงานกับกลุ่มคอนกรีตเป็น Z20 และเขา หรือเธอสามารถสร้างกลุ่ม เช่นH = { 0,4,8,12,16 } โดยคูณ 4 แล้ว แต่ละคนอาจเขียน coset ซ้ายของ 5ชุด 5 + H = { 1,5,9,13,17 } ประกอบด้วยองค์ประกอบของ Z20 ซึ่งมีเหลือ 1 เมื่อแบ่งออกเป็นโดย 43เมื่อการกระทำซ้ำ และบุคคลสะท้อนเมื่อมัน เขาหรือเธอสามารถทำให้ภายในก่อสร้างทางจิตที่เรียกว่ากระบวนการที่บุคคลสามารถเข้าใจได้ว่าการดำเนินการเดียวกันชนิดของการดำเนินการ แต่ไม่ มีความต้องการของสิ่งเร้าภายนอก บุคคลสามารถคิดว่า การดำเนินการดำเนินการโดยไม่ได้ ทำ และดังนั้น สามารถคิดย้อนกลับได้ และเขียนด้วยกระบวนการอื่น ๆ บุคคลไม่สามารถใช้ความคิดการกระทำของ coset ซ้ายที่อธิบายข้างต้นมากได้อย่างมีประสิทธิภาพสำหรับกลุ่มเช่น S4 กลุ่มของวิธีเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุที่สี่และกลุ่ม Hสอดคล้องกับการเคลื่อนไหวแข็งที่ 8 ของตาราง และไม่สำหรับกลุ่ม Sn สำหรับค่าขนาดใหญ่ของ n. ในกรณีดังกล่าว แต่ละคนต้องคิดว่า coset ซ้ายของ p เรียงสับเปลี่ยนเป็นชุดของค่า ph ของผลิตภัณฑ์ทั้งหมดโดยที่ h คือ องค์ประกอบของ H. คิดเกี่ยวกับ

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

APOS: ทฤษฎีคอนสตรัคติของการเรียนรู้
ในระดับปริญญาตรีคณิตศาสตร์ศึกษาวิจัย
เอ็ด Dubinsky มหาวิทยาลัยรัฐจอร์เจียสหรัฐอเมริกา
และ
ไมเคิลเอแมคโดนั Occidental College, USA
การทำงานรายงานในบทความนี้จะขึ้นอยู่กับหลักการที่ว่าการวิจัยในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์
มีความเข้มแข็งในหลาย วิธีเมื่อขึ้นอยู่กับมุมมองของทฤษฎี การพัฒนาทฤษฎีหรือ
รูปแบบในการศึกษาคณิตศาสตร์ที่ควรจะเป็นในมุมมองของเราเป็นส่วนหนึ่งของความพยายามที่จะเข้าใจวิธีการ
ทางคณิตศาสตร์สามารถเรียนรู้และสิ่งที่โปรแกรมการศึกษาสามารถทำได้เพื่อช่วยในการเรียนรู้นี้ เราไม่
ได้คิดว่าทฤษฎีของการเรียนรู้เป็นคำสั่งของความเป็นจริงและถึงแม้ว่ามันอาจจะหรืออาจจะไม่
ใกล้เคียงกับสิ่งที่เป็นจริงที่เกิดขึ้นเมื่อบุคคลพยายามที่จะเรียนรู้หนึ่งหรือแนวคิดอื่นใน
คณิตศาสตร์นี้ไม่ได้โฟกัสของเรา แต่เรามุ่งเน้นวิธีทฤษฎีของการเรียนรู้คณิตศาสตร์
สามารถช่วยให้เราเข้าใจกระบวนการเรียนรู้โดยการให้คำอธิบายของปรากฏการณ์ที่เราสามารถ
สังเกตในกลุ่มนักเรียนนักศึกษาที่มีความพยายามที่จะสร้างความเข้าใจของพวกเขาจากแนวคิดทางคณิตศาสตร์และ
แนะนำเส้นทางสำหรับการเรียนการสอนที่สามารถช่วยในการเรียนรู้นี้ กระบวนการ.
รุ่นและทฤษฎีในการศึกษาคณิตศาสตร์สามารถ
•ทำนายสนับสนุน
•มีอำนาจอธิบาย
•สามารถใช้กับความหลากหลายของปรากฏการณ์
•ช่วยจัดระเบียบความคิดของคนเกี่ยวกับความซับซ้อนปรากฏการณ์สัมพันธ์
•ทำหน้าที่เป็นเครื่องมือสำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลและ
• ให้ภาษาเพื่อการสื่อสารความคิดเกี่ยวกับการเรียนที่นอกเหนือไปจากผิวเผิน
รายละเอียด.
เราอยากจะนำเสนอคุณสมบัติเหล่านี้หกสามคนแรกที่จะได้รับจากอลัน Schoenfeld ใน
"สู่ทฤษฎีของการเรียนการสอนในบริบท" ประเด็นในการศึกษา ทั้งสองเป็นวิธีที่ทฤษฎีที่สามารถ
นำไปสู่การวิจัยและเป็นเกณฑ์สำหรับการประเมินทฤษฎี.
2
ในบทความนี้เราจะอธิบายมุมมองหนึ่งเช่นทฤษฎี APOS ในบริบทของระดับปริญญาตรี
การศึกษาคณิตศาสตร์ เราจะอธิบายขอบเขตที่มีลักษณะดังกล่าวข้างต้นหารือเกี่ยวกับ
บทบาทว่าทฤษฎีนี้เล่นในการวิจัยและพัฒนาหลักสูตรโปรแกรมและวิธีการที่โปรแกรมดังกล่าว
สามารถนำไปสู่การพัฒนาทฤษฎีที่อธิบายสั้น ๆ ว่าการทำงานกับเรื่องนี้โดยเฉพาะ
ทฤษฎีได้จัดให้มี ยานพาหนะสำหรับการสร้างชุมชนของนักวิจัยในวิชาคณิตศาสตร์ในระดับปริญญาตรี
การศึกษาและการบ่งบอกถึงการใช้ทฤษฎี APOS ในการศึกษาวิจัยที่เฉพาะเจาะจงทั้งโดยนักวิจัยที่
มีการพัฒนามันเช่นเดียวกับคนอื่น ๆ ที่ไม่เกี่ยวข้องกับการพัฒนา เราให้บริการในการเชื่อมต่อ
กับบทความนี้บรรณานุกรมข้อเขียนของรายงานการวิจัยที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีนี้.
APOS ทฤษฎี
ทฤษฎีที่เรานำเสนอเริ่มต้นด้วยสมมติฐานที่ว่าความรู้ทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยใน
แนวโน้มของแต่ละบุคคลที่จะจัดการกับการรับรู้สถานการณ์ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยการสร้างจิต
กระทำ กระบวนการและวัตถุและการจัดระเบียบพวกเขาใน schema ที่จะทำให้ความรู้สึกของสถานการณ์และ
แก้ปัญหา ในการอ้างอิงถึงการก่อสร้างทางจิตเหล่านี้เราเรียกว่าทฤษฎี APOS ความคิด
เกิดขึ้นจากความพยายามของเราที่จะขยายไปถึงระดับของคณิตศาสตร์วิทยาลัยการเรียนรู้การทำงานของเจเพียเจต์
ในนามธรรมสะท้อนแสงในการเรียนรู้ของเด็ก ทฤษฎี APOS จะกล่าวถึงในรายละเอียดใน Asiala, et al.
(1996) เราจะยืนยันว่ามุมมองของทฤษฎีนี้มีคุณสมบัติอย่างน้อยบางส่วนที่
มีลักษณะดังกล่าวข้างต้นและยิ่งได้รับประโยชน์อย่างมากในการพยายามที่จะเข้าใจของนักเรียน
ในการเรียนรู้ของความหลากหลายของหัวข้อในแคลคูลัสพีชคณิตนามธรรม, สถิติ, คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง และ
พื้นที่อื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ในระดับปริญญาตรี นี่เป็นบทสรุปสั้น ๆ ของส่วนประกอบสำคัญของ
ทฤษฎี.
การทำงานคือการเปลี่ยนแปลงของวัตถุที่รับรู้โดยบุคคลภายนอกเป็นหลักและ
เป็นที่ต้องการอย่างใดอย่างหนึ่งอย่างชัดเจนหรือจากหน่วยความจำคำแนะนำขั้นตอนโดยขั้นตอนในการดำเนินการ
การดำเนินงาน ตัวอย่างเช่นบุคคลที่มีความคิดการกระทำของ coset ที่เหลือจะถูก จำกัด ให้
ทำงานร่วมกับกลุ่มที่เป็นรูปธรรมเช่น Z20 และเขาหรือเธอสามารถสร้างกลุ่มย่อยเช่น
H = {} 0,4,8,12,16 โดยการขึ้นรูป หลายรายการ 4. จากนั้นบุคคลที่สามารถเขียน coset เหลือ 5
ชุด 5 + H = {} 1,5,9,13,17 ประกอบด้วยองค์ประกอบของ Z20 ที่มีเหลือ 1 เมื่อมีการแบ่งแยกออกจากกัน
โดย 4
3
เมื่อ การกระทำซ้ำแล้วซ้ำอีกและบุคคลสะท้อนให้เห็นถึงว่าเขาหรือเธอสามารถทำให้ภายใน
ก่อสร้างทางจิตที่เรียกว่ากระบวนการที่บุคคลสามารถคิดเป็นประสิทธิภาพชนิดเดียวกันของ
การดำเนินการ แต่ไม่ได้มีความจำเป็นของสิ่งเร้าภายนอก แต่ละคนอาจจะคิดว่าการดำเนินการ
ขั้นตอนโดยไม่ต้องทำมันและดังนั้นจึงสามารถคิดเกี่ยวกับการย้อนกลับของมันและเขียนมันด้วย
กระบวนการอื่น ๆ แต่ละคนไม่สามารถใช้ความคิดการกระทำของ coset ซ้ายอธิบายไว้ข้างต้นมาก
อย่างมีประสิทธิภาพสำหรับกลุ่มเช่น S4 กลุ่มพีชคณิตสี่วัตถุและ H กลุ่มย่อยที่
สอดคล้องกับ 8 เคลื่อนไหวแข็งของตารางและไม่ได้ทั้งหมดสำหรับกลุ่ม Sn ขนาดใหญ่ ค่าของ n ใน
กรณีเช่นนี้บุคคลที่ต้องคิดของ coset ซ้ายของการเปลี่ยนแปลง P เป็นชุดของผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่พีเอชที่
ที่ H เป็นองค์ประกอบของเอชคิดเกี่ยวกับ