- ข้อความ
- ประวัติศาสตร์
Coastline of BritainDate: 02/13/200
Coastline of Britain
Date: 02/13/2002 at 20:45:40
From: Jonathan Vivian
Subject: The Coastline of britain IS DEFINITELY finite!
Dr Math, do you agree with my sloppy proof that it is false that
Britain's coastline is infinite?
This is what I want to disprove:
_____________
A long, long time ago, fractal god Benoit Mandelbrot posed a simple
question: How long is the coastline of Britain? His mathematical
colleagues were miffed, to say the least, at such an annoying waste
of their time on such insignifigant problems. They told him to look
it up.
Of course, Madelbrot had a reason for his peculiar question. Quite an
interesting reason. Look up the coastline of Britain yourself, in
some encyclopedia. Whatever figure you get, it is wrong. Quite
simply, the coastline of Briutain is infinite.
You protest that this is impossible. Well, consider this. Consider
looking at Britain on a very large-scale map. Draw the simplest two-
dimensional shape possible, a triangle, that circumscribes Britain
as closely as possible. The perimeter of this shape approximates the
perimeter of Britain.
However, this area is of course highly inaccurate. Increasing the
amount of vertices of the shape going around the coastline, and the
area will become closer. The more vertices there are, the closer the
circumscribing line will be able to conform to the dips and the
protrusions of Britain's rugged coast.
There is one problem, however. Each time the number of vertices
increases, the perimeter increases. It must increase, because of the
triangle inequality. Moreover, the number of vertices never reaches a
maximum. There is no point at which one can say that a shape defines
the coastline of Britain. After all, exactly circumscribing the coast
of Britain would entail encircling every rock, every tide pool, every
pebble which happens to lie on the edge of Britain.
Thus, the coastline of Britian is infinite.
___________________
Here is my proof:
The coastline of Britain theory says that since the perimeter
increases every time you add another vertex, and since you have to
have an infinite number of vertices to be 100% accurate, then the
length of Britain's coastline is infinite.
This is why that is wrong: In order to be accurate you must add
vertices as the distance between them approaches zero. The closer the
distance is to zero between each pair of vertices, the more accurate
the estimation becomes. However, since an infinite number of vertices
is needed to be 100% accurate, the distance between each pair of
vertices must be _ZERO_, making the perimeter of the shape undefined.
The limit of the perimeter of the shape as the number of vertices
approaches infinity and the distance between each pair of vertices
approaches zero is equal to the actual real perimeter of Britain and
is most definitely a finite answer.
Date: 02/14/2002 at 11:39:42
From: Doctor Peterson
Subject: Re: The Coastline of britain IS DEFINITELY finite!
Hi, Jonathan.
There are two issues here.
First, the coastline is really being used only as a metaphor; genuine
fractals can't exist in the real world, because the real world is not
infinitely divisible (as far as we know). Eventually you get down to
the point where you are measuring around individual atoms; if you go
farther, you will have to go around each proton or something, and we
can't say whether protons are smooth or not. The whole thing doesn't
really make sense at that point.
What Mandelbrot is really talking about is a genuine fractal in an
ideal Euclidean space where actual points exist and we can have line
segments as small as we like.
Second, let's suppose there are no physical limitations, and the
irregularity of the coastline really does continue forever at smaller
and smaller scales. The actual length of the coastline has to be taken
as the limit of an infinite sequence of measurements at finer and
finer scales. The mere fact that each measurement is greater than the
previous one does not really imply that the sequence has no limit;
many familiar infinite sequences, like 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, ..., are
always increasing yet never pass some set value (1 in this case).
So the argument you are trying to answer is incomplete. However, your
counterargument is just as faulty, because it is also possible for the
product of a number growing toward infinity (the number of vertices)
and a number decreasing toward zero (the average length of an edge) to
be infinite. The fact is, we simply can't say whether a particular
fractal-like line has finite or infinite length without knowing the
details about it. Here is an example of such an infinitely long
fractal, the Koch snowflake:
An Amazing Phenomenon: Infinite Perimeter - Cynthia Lanius
http://math.rice.edu/~lanius/frac/koch2.html
You will see that the length of each segment decreases to zero (each
1/3 as long as the previous), while the number of sides increases
infinitely (4 times as many each time), and the perimeter is infinite.
Here are some previous discussions I found in our archives by
searching for the words "fractal coastline":
Is the Coastline of Britain Infinite?
http://mathforum.org/dr.math/problems/puzzled.8.17.99.html
Fractal Dimension of a Coastline
http://mathforum.org/dr.math/problems/brotzman1.16.97.html
- Doctor Peterson, The Math Forum
http://mathforum.org/dr.math/
Date: 02/16/2002 at 05:41:43
From: Jonathan Vivian
Subject: The Coastline of britain IS DEFINITELY finite!
Dr Peterson, thank you very much for your reply. You have helped me
see more light on the situation. However, I have just one more thing
to clear up.
From what I gather now, I was wrong and the coastline of Britain
isn't _definitely_ finite.
But, couldn't it be finite or infinite? I mean, as humans we don't
know whether the irregularities of the coastline go on forever as we
zoom in (infinite perimeter), or if there is a point where the
irregularities become uniform (atomic level example) and finite. I
mean for all we know, an island could be a perfect circle that has a
finite perimeter by definition.
So my question is: Shouldn't Mandlebrot have said "The Perimeter of
the coastline of Britain COULD be infinite," rather than saying that
it IS infinite?
Thanks again for your time.
Date: 02/16/2002 at 21:06:05
From: Doctor Peterson
Subject: Re: The Coastline of britain IS DEFINITELY finite!
Hi, Jonathan.
Yes, that's part of what I was trying to say; I don't believe
Mandelbrot was really talking about the actual coastline, since you
would have to know its behavior all the way down to the smallest scale
to say it is infinite. However, he may have had in mind the particular
kind of irregularity you see in a coastline, and assumed for the sake
of argument that it is a true fractal and has the same irregularity at
all scales. Unfortunately, I don't have his book to look it up in and
see just how he stated this argument; but I think he was using the
coastline to illustrate a concept that can be proved rigorously for
mathematically defined fractals.
Here are some links that show some of the details of this argument:
Coastline Paradox - MathWorld, Eric Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/CoastlineParadox.html
Fractals and the Fractal Dimension - Vanderbilt Univ.
http://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/Fractals.html
The latter illustrates specifically what the former states generally;
and if you assume that the graphs shown continue forever, then the
length will indeed be infinite!
- Doctor Peterson, The Math Forum
http://mathforum.org/dr.math/
Date: 02/13/2002 at 20:45:40
From: Jonathan Vivian
Subject: The Coastline of britain IS DEFINITELY finite!
Dr Math, do you agree with my sloppy proof that it is false that
Britain's coastline is infinite?
This is what I want to disprove:
_____________
A long, long time ago, fractal god Benoit Mandelbrot posed a simple
question: How long is the coastline of Britain? His mathematical
colleagues were miffed, to say the least, at such an annoying waste
of their time on such insignifigant problems. They told him to look
it up.
Of course, Madelbrot had a reason for his peculiar question. Quite an
interesting reason. Look up the coastline of Britain yourself, in
some encyclopedia. Whatever figure you get, it is wrong. Quite
simply, the coastline of Briutain is infinite.
You protest that this is impossible. Well, consider this. Consider
looking at Britain on a very large-scale map. Draw the simplest two-
dimensional shape possible, a triangle, that circumscribes Britain
as closely as possible. The perimeter of this shape approximates the
perimeter of Britain.
However, this area is of course highly inaccurate. Increasing the
amount of vertices of the shape going around the coastline, and the
area will become closer. The more vertices there are, the closer the
circumscribing line will be able to conform to the dips and the
protrusions of Britain's rugged coast.
There is one problem, however. Each time the number of vertices
increases, the perimeter increases. It must increase, because of the
triangle inequality. Moreover, the number of vertices never reaches a
maximum. There is no point at which one can say that a shape defines
the coastline of Britain. After all, exactly circumscribing the coast
of Britain would entail encircling every rock, every tide pool, every
pebble which happens to lie on the edge of Britain.
Thus, the coastline of Britian is infinite.
___________________
Here is my proof:
The coastline of Britain theory says that since the perimeter
increases every time you add another vertex, and since you have to
have an infinite number of vertices to be 100% accurate, then the
length of Britain's coastline is infinite.
This is why that is wrong: In order to be accurate you must add
vertices as the distance between them approaches zero. The closer the
distance is to zero between each pair of vertices, the more accurate
the estimation becomes. However, since an infinite number of vertices
is needed to be 100% accurate, the distance between each pair of
vertices must be _ZERO_, making the perimeter of the shape undefined.
The limit of the perimeter of the shape as the number of vertices
approaches infinity and the distance between each pair of vertices
approaches zero is equal to the actual real perimeter of Britain and
is most definitely a finite answer.
Date: 02/14/2002 at 11:39:42
From: Doctor Peterson
Subject: Re: The Coastline of britain IS DEFINITELY finite!
Hi, Jonathan.
There are two issues here.
First, the coastline is really being used only as a metaphor; genuine
fractals can't exist in the real world, because the real world is not
infinitely divisible (as far as we know). Eventually you get down to
the point where you are measuring around individual atoms; if you go
farther, you will have to go around each proton or something, and we
can't say whether protons are smooth or not. The whole thing doesn't
really make sense at that point.
What Mandelbrot is really talking about is a genuine fractal in an
ideal Euclidean space where actual points exist and we can have line
segments as small as we like.
Second, let's suppose there are no physical limitations, and the
irregularity of the coastline really does continue forever at smaller
and smaller scales. The actual length of the coastline has to be taken
as the limit of an infinite sequence of measurements at finer and
finer scales. The mere fact that each measurement is greater than the
previous one does not really imply that the sequence has no limit;
many familiar infinite sequences, like 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, ..., are
always increasing yet never pass some set value (1 in this case).
So the argument you are trying to answer is incomplete. However, your
counterargument is just as faulty, because it is also possible for the
product of a number growing toward infinity (the number of vertices)
and a number decreasing toward zero (the average length of an edge) to
be infinite. The fact is, we simply can't say whether a particular
fractal-like line has finite or infinite length without knowing the
details about it. Here is an example of such an infinitely long
fractal, the Koch snowflake:
An Amazing Phenomenon: Infinite Perimeter - Cynthia Lanius
http://math.rice.edu/~lanius/frac/koch2.html
You will see that the length of each segment decreases to zero (each
1/3 as long as the previous), while the number of sides increases
infinitely (4 times as many each time), and the perimeter is infinite.
Here are some previous discussions I found in our archives by
searching for the words "fractal coastline":
Is the Coastline of Britain Infinite?
http://mathforum.org/dr.math/problems/puzzled.8.17.99.html
Fractal Dimension of a Coastline
http://mathforum.org/dr.math/problems/brotzman1.16.97.html
- Doctor Peterson, The Math Forum
http://mathforum.org/dr.math/
Date: 02/16/2002 at 05:41:43
From: Jonathan Vivian
Subject: The Coastline of britain IS DEFINITELY finite!
Dr Peterson, thank you very much for your reply. You have helped me
see more light on the situation. However, I have just one more thing
to clear up.
From what I gather now, I was wrong and the coastline of Britain
isn't _definitely_ finite.
But, couldn't it be finite or infinite? I mean, as humans we don't
know whether the irregularities of the coastline go on forever as we
zoom in (infinite perimeter), or if there is a point where the
irregularities become uniform (atomic level example) and finite. I
mean for all we know, an island could be a perfect circle that has a
finite perimeter by definition.
So my question is: Shouldn't Mandlebrot have said "The Perimeter of
the coastline of Britain COULD be infinite," rather than saying that
it IS infinite?
Thanks again for your time.
Date: 02/16/2002 at 21:06:05
From: Doctor Peterson
Subject: Re: The Coastline of britain IS DEFINITELY finite!
Hi, Jonathan.
Yes, that's part of what I was trying to say; I don't believe
Mandelbrot was really talking about the actual coastline, since you
would have to know its behavior all the way down to the smallest scale
to say it is infinite. However, he may have had in mind the particular
kind of irregularity you see in a coastline, and assumed for the sake
of argument that it is a true fractal and has the same irregularity at
all scales. Unfortunately, I don't have his book to look it up in and
see just how he stated this argument; but I think he was using the
coastline to illustrate a concept that can be proved rigorously for
mathematically defined fractals.
Here are some links that show some of the details of this argument:
Coastline Paradox - MathWorld, Eric Weisstein
http://mathworld.wolfram.com/CoastlineParadox.html
Fractals and the Fractal Dimension - Vanderbilt Univ.
http://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/Fractals.html
The latter illustrates specifically what the former states generally;
and if you assume that the graphs shown continue forever, then the
length will indeed be infinite!
- Doctor Peterson, The Math Forum
http://mathforum.org/dr.math/
0/5000
ชายฝั่งของสหราชอาณาจักรวัน: 02/13/2002 ที่ 20:45:40จาก: Jonathan วิเวียนหัวข้อ: ชายฝั่งของสหราชอาณาจักรมีแน่นอนมีจำกัดดร.คณิตศาสตร์ เห็น ด้วยหลักฐานของฉันเพราะว่า มันเป็นเท็จที่ ชายฝั่งของสหราชอาณาจักรเป็นอนันต์หรือไม่นี่คือสิ่งที่ฉันต้องการพิสูจน์หักล้าง:_____________ยาว นาน พระแฟร็กทัลเบอนัวมานดัลบรออิทธพลที่เรียบง่าย คำถาม: ระยะเป็นแนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักรหรือไม่ ทางคณิตศาสตร์ของเขา เพื่อนร่วมงานถูก miffed จะ ที่เช่นขยะน่ารำคาญ เวลาของพวกเขาใน insignifigant ปัญหาดังกล่าว พวกเขาบอกว่า เขาดู มันค่า แน่นอน Madelbrot มีเหตุผลสำหรับคำถามของเขาแปลก ค่อนข้าง เหตุผลที่น่าสนใจ หาชายฝั่งของสหราชอาณาจักรด้วยตนเอง ใน สารานุกรมบาง รูปอะไรก็ตามคุณได้รับ ไม่ถูกต้อง ค่อนข้าง เพียง ชายฝั่ง Briutain มีอนันต์ คุณปฏิเสธว่า เป็นไปไม่ได้ ดี พิจารณาเรื่องนี้ พิจารณา ดูที่สหราชอาณาจักรในแผนที่ขนาดใหญ่มาก วาดง่ายที่สุดสอง-มิติรูปร่างได้ สามเหลี่ยม ที่ circumscribes ราชอาณาจักร ใกล้เคียงที่สุด ขอบเขตของรูปร่างนี้ approximates การ ขอบเขตของสหราชอาณาจักร อย่างไรก็ตาม ความแน่นอนสูงไม่ เพิ่มการ จำนวนจุดยอดของรูปร่างไปที่ริมทะเล และ ตั้งจะใกล้ชิด มีจุดยอดเพิ่มเติม ที่ใกล้ circumscribing บรรทัดจะได้สอดคล้องกับการหมักและ protrusions แข็งแรงทนทานของสหราชอาณาจักร มีอยู่ปัญหาหนึ่ง อย่างไรก็ตาม แต่ละครั้งจำนวนจุดยอด เพิ่ม เพิ่มขอบเขต ต้องเพิ่ม เนื่องจากการ ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม นอกจากนี้ จำนวนจุดยอดไม่ถึงการ สูงสุด มีจุดที่หนึ่งสามารถพูดได้ว่า กำหนดรูปร่าง ชายฝั่งของสหราชอาณาจักร หลังจากที่ทุก circumscribing ชายฝั่งตรง ของสหราชอาณาจักรจะอันรร็อคทุก ทุกน้ำ สระว่ายน้ำทุก เพบเบิลซึ่งเกิดขึ้นอยู่บนขอบของสหราชอาณาจักร ดังนั้น ชายฝั่ง Britian เป็นอนันต์ ___________________นี่คือหลักฐานของฉัน:ชายฝั่งของสหราชอาณาจักรทฤษฎีบอกว่า ตั้งแต่ขอบเขต เพิ่มทุก ครั้งที่คุณเพิ่มอีกจุดยอด และเนื่อง จากคุณต้อง มีจำนวนจุดยอดได้ 100% แม่นยำ อนันต์นั้น ความยาวของชายฝั่งของสหราชอาณาจักรเป็นอนันต์นี่คือเหตุผลที่ไม่ถูกต้อง: เพื่อให้ถูก ต้อง จุดยอดเป็นระยะห่างระหว่างพวกเขาแจ้ง ที่ใกล้ตัว ระยะทางศูนย์ระหว่างแต่ละคู่ของจุดยอด ความถูกต้องมากขึ้น การประเมินกลายเป็น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากจำกัดจำนวนของจุดยอด จำเป็นต้องใช้ได้ 100% แม่นยำ ระยะห่างระหว่างแต่ละคู่ จุดยอดต้อง _ZERO_ ทำขอบเขตของรูปร่างที่ยังไม่ได้กำหนด ข้อจำกัดของขอบเขตของรูปร่างเป็นจำนวนจุดยอด วิธีว่ายและระยะห่างระหว่างแต่ละคู่ของจุดยอด แนวทางศูนย์จะเท่ากับขอบเขตจริงจริงของราชอาณาจักร และ เป็นคำตอบที่แน่นอนที่สุดแน่นอนวัน: 02/14/2002 เวลา 11:39:38จาก: หมอ Petersonหัวข้อ: Re: ชายฝั่งของสหราชอาณาจักรมีแน่นอนสวัสดี Jonathanมีสองปัญหาที่นี่ครั้งแรก ชายฝั่งจริง ๆ ถูกใช้เท่าเทียบ ของแท้ fractals ไม่มีอยู่ในโลกจริง เพราะโลกแท้จริง เพียงหารได้ (เท่าที่เรารู้) ในที่สุดคุณได้รับลงไป จุดที่มีวัดรอบแต่ละอะตอม ถ้าคุณไป ไกลออกไป คุณจะต้องไปรอบโปรตอนแต่ละ หรือบางสิ่งบางอย่าง และเรา ไม่พูดว่า โปรตอนจะราบรื่น หรือไม่ สิ่งทั้งไม่ จริง ๆ ให้ความรู้สึกที่จุดนั้น อะไรมานดัลบรอเป็นจริง ๆ พูดเป็นแฟร็กทัลที่แท้จริงในการ ที่มีคะแนนจริงเหมาะ Euclidean และเราสามารถมีบรรทัด ส่วนที่เป็นขนาดเล็กที่เราชอบที่สอง ลองสมมติว่ามีข้อจำกัดไม่มีอยู่จริง และ ผิดปกติของชายฝั่งจริง ๆ ต่อไปตลอดที่ขนาดเล็ก และเครื่องชั่งน้ำหนักขนาดเล็ก มีความยาวจริงของชายฝั่งจะต้องดำเนินการ เป็นข้อจำกัดของลำดับอนันต์ที่วัดที่ปลีกย่อย และ ระดับปลีกย่อย เพียงความจริงที่แต่ละการประเมินมากกว่าการ ก่อนหน้านี้ได้จริง ๆ เป็นที่ลำดับได้ไม่จำกัด ลำดับคุ้นเคยไม่มาก เป็น 1/2, 3/4, 7/8, 15/16,..., เพิ่มขึ้นเสมอยังไม่ผ่านบางค่าที่กำหนด (1 ในกรณีนี้) อาร์กิวเมนต์ที่คุณพยายามที่จะตอบดังนั้น ไม่สมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม คุณ counterargument เป็นเพียงเป็นชำรุด เพราะมันเป็นไปได้สำหรับการ ผลิตภัณฑ์ของการเติบโตหมายเลขไปที่อินฟินิตี้ (จำนวนจุดยอด) และตัวเลขลดไปเป็นศูนย์ (ค่าเฉลี่ยความยาวของขอบใบ) มีอนันต์ ความจริงคือ เราก็ไม่พูดว่าเฉพาะ แฟร็กทัลเหมือนบรรทัดมีความยาวจำกัด หรือไม่จำกัดโดยไม่ทราบ รายละเอียดเกี่ยวกับ นี่เป็นตัวอย่างดังกล่าวเป็นเพียงยาว เศษส่วน เกล็ดหิมะค็อค: ปรากฏการณ์น่าทึ่ง: อนันต์ Perimeter - Cynthia Lanius http://math.rice.edu/~lanius/frac/koch2.html คุณจะเห็นว่า ความยาวของแต่ละกลุ่มลดลงเป็นศูนย์ (แต่ละ 1/3 เป็นเวลานานก่อนหน้า), ใน ขณะที่เพิ่มจำนวนด้าน เพียบ (4 ครั้งเป็นจำนวนมากในแต่ละครั้ง), และมีขอบเขตการนี่คือการสนทนาบางอย่างก่อนหน้านี้ที่พบในคลังข้อมูลของเราโดย ค้นหาคำว่า "เศษส่วนฝั่ง": คือชายฝั่งราชอาณาจักรอนันต์ http://mathforum.org/dr.math/problems/puzzled.8.17.99.html มิติเศษส่วนของฝั่งทะเล http://mathforum.org/dr.math/problems/brotzman1.16.97.html -แพทย์ Peterson เวทีคณิตศาสตร์ http://mathforum.org/dr.math/ วัน: 02/16/2002 ที่ 05:41:43จาก: Jonathan วิเวียนหัวข้อ: ชายฝั่งของสหราชอาณาจักรมีแน่นอนมีจำกัดดร. Peterson ขอบคุณมากสำหรับการตอบกลับของคุณ คุณช่วยให้ฉัน ดูเพิ่มเติมแสงในสถานการณ์ อย่างไรก็ตาม มีเพียงหนึ่งสิ่ง การล้างค่าจากที่ผมรวบรวมตอนนี้ ผมไม่ถูกต้องและชายฝั่งของสหราชอาณาจักร ไม่ _definitely_ จำกัด แต่ ไม่มีจำกัด หรือไม่ ผมหมายถึง เป็นมนุษย์ที่เราไม่ ทราบว่า ความผิดปกติของชายฝั่งไปตลอดไปเป็นเรา ขยาย (อนันต์ perimeter), หรือ ถ้ามีจุดที่จะ ความผิดปกติกลายเป็น เครื่องแบบ (ตัวอย่างระดับอะตอม) และจำกัด ฉัน หมายถึงทั้งหมดที่เรารู้ว่า เกาะอาจเป็นวงกลมที่มีการ ขอบเขตที่จำกัด โดยกำหนดดังนั้นคำถามของฉัน: ไม่ควร Mandlebrot ได้กล่าวว่า "ขอบเขตของ ชายฝั่งของสหราชอาณาจักรได้เป็นอนันต์ แทนที่จะพูดที่ เป็นอนันต์หรือไม่ขอบคุณอีกครั้งสำหรับเวลาของคุณวัน: 02/16/2002 ที่ 21:06:05จาก: หมอ Petersonหัวข้อ: Re: ชายฝั่งของสหราชอาณาจักรมีแน่นอนสวัสดี Jonathanใช่ ที่เป็นส่วนหนึ่งของสิ่งที่ฉันได้พยายามพูด ผมไม่เชื่อว่า มานดัลบรอจริง ๆ พูดถึงฝั่งจริง ตั้งแต่คุณ จะต้องทราบลักษณะการทำงานของทางลงมาตราส่วนเล็กที่สุด ว่าเป็นอนันต์ อย่างไรก็ตาม เขาอาจจะมีในเฉพาะ ชนิดของการผิดปกติของคุณดูในฝั่งทะเล และสันนิษฐานในสาเก อาร์กิวเมนต์ที่เป็นเศษส่วนแท้ และมีอาการตีบเหมือนกันที่ เครื่องชั่งน้ำหนักทั้งหมด อับ ไม่มีการค้นหาในหนังสือของเขา และ เห็นเพียงว่าเขาอาร์กิวเมนต์นี้ แต่ผมคิดว่า เขาใช้การ ชายฝั่งเพื่อแสดงแนวคิดที่สามารถพิสูจน์ทดสอบสำหรับ fractals mathematically กำหนดที่นี่มีบางลิงค์ที่แสดงรายละเอียดของอาร์กิวเมนต์นี้บาง: ฝั่ง Paradox - แมธเวิลด์ Eric Weisstein http://mathworld.wolfram.com/CoastlineParadox.html Fractals และมิติเศษส่วน - มหาวิทยาลัยเวนเดอร์บิลธ์ http://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/Fractals.html The latter illustrates specifically what the former states generally; and if you assume that the graphs shown continue forever, then the length will indeed be infinite!- Doctor Peterson, The Math Forum http://mathforum.org/dr.math/
การแปล กรุณารอสักครู่..
ชายฝั่งของสหราชอาณาจักรวันที่: 2002/02/13 ที่ 20:45:40 จาก: โจนาธานวิเวียนเรื่องชายฝั่งของสหราชอาณาจักรเป็นมั่นเหมาะจำกัด ! ดรคณิตศาสตร์ที่คุณเห็นด้วยกับหลักฐานเลอะเทอะของฉันว่ามันเป็นเท็จที่ชายฝั่งของสหราชอาณาจักรเป็นที่สิ้นสุด? นี่คือสิ่งที่ฉันต้องการที่จะพิสูจน์: _____________ ยาวเวลานานที่ผ่านมาเศษส่วนพระเจ้าทาจิกิเบอนัวต์โพสต์ที่เรียบง่ายคำถาม: วิธียาวชายฝั่งทะเลของสหราชอาณาจักรหรือไม่ ทางคณิตศาสตร์ของเขาเพื่อนร่วมงานถูก miffed ที่จะพูดน้อยที่ดังกล่าวเป็นที่น่ารำคาญเสียเวลาของพวกเขาเกี่ยวกับปัญหาดังกล่าวinsignifigant พวกเขาบอกว่าเขาจะมองมันขึ้น. แน่นอน Madelbrot มีเหตุผลสำหรับคำถามที่แปลกประหลาดของเขา ค่อนข้างเป็นเหตุผลที่น่าสนใจ เงยหน้าขึ้นมองแนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักรด้วยตัวคุณเองในสารานุกรมบาง ไม่ว่ารูปที่คุณได้รับมันเป็นความผิด ค่อนข้างเพียงชายฝั่ง Briutain เป็นที่สิ้นสุด. คุณประท้วงที่ว่านี้เป็นไปไม่ได้ ดีพิจารณานี้ พิจารณามองหาที่สหราชอาณาจักรบนแผนที่ขนาดใหญ่มาก วาดสองง่ายรูปร่างมิติเป็นไปได้รูปสามเหลี่ยมที่ circumscribes อังกฤษมากที่สุด ปริมณฑลของรูปร่างนี้ใกล้เคียงกับรอบของสหราชอาณาจักร. แต่พื้นที่นี้เป็นหลักสูตรที่ไม่ถูกต้องอย่างมาก การเพิ่มจำนวนของจุดของรูปร่างไปรอบ ๆ ชายฝั่งทะเลและพื้นที่จะกลายเป็นใกล้ชิด จุดยอดมากขึ้นมีความใกล้ชิดเส้น circumscribing จะสามารถเพื่อให้สอดคล้องกับ dips และส่วนที่ยื่นออกจากชายฝั่งขรุขระของสหราชอาณาจักร. มีปัญหาหนึ่งคืออย่างไร แต่ละครั้งจำนวนจุดเพิ่มขึ้นเพิ่มขึ้นปริมณฑล มันจะต้องเพิ่มขึ้นเพราะความไม่เท่าเทียมกันเป็นรูปสามเหลี่ยม นอกจากนี้จำนวนของจุดไม่ถึงสูงสุด มีจุดใดที่หนึ่งที่สามารถพูดได้ว่ารูปทรงกำหนดแนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักร หลังจากที่ทุกคนว่า circumscribing ชายฝั่งของสหราชอาณาจักรจะนำมาซึ่งล้อมรอบทุกร็อค, สระว่ายน้ำน้ำทุกทุกก้อนกรวดที่เกิดขึ้นจะอยู่บนขอบของสหราชอาณาจักร. ดังนั้นชายฝั่ง Britian เป็นที่สิ้นสุด. ___________________ นี่คือหลักฐานของฉัน: ชายฝั่งทะเลของสหราชอาณาจักร ทฤษฎีกล่าวว่าตั้งแต่ปริมณฑลเพิ่มเวลาที่คุณเพิ่มจุดสุดยอดอีกทุกครั้งและเนื่องจากคุณจะต้องมีจำนวนอนันต์ของจุดที่จะถูกต้อง100% แล้วความยาวของชายฝั่งทะเลของสหราชอาณาจักรเป็นอนันต์. นี่คือเหตุผลที่ว่าเป็นสิ่งที่ผิด: เพื่อ จะถูกต้องคุณต้องเพิ่มจุดเป็นระยะทางระหว่างพวกเขาเข้าใกล้ศูนย์ ใกล้ชิดระยะทางที่จะเป็นศูนย์ระหว่างคู่ของจุดแต่ละถูกต้องมากขึ้นการประมาณการดังกล่าวจะกลายเป็น แต่เนื่องจากจำนวนอนันต์ของจุดที่จำเป็นต้องมีความถูกต้อง 100% ระยะห่างระหว่างคู่ของแต่ละจุดจะต้อง_ZERO_ ทำให้ปริมณฑลของรูปร่างที่ไม่ได้กำหนดที่. ขีด จำกัด ของปริมณฑลของรูปร่างกับจำนวนของจุดที่วิธีการอินฟินิตี้และระยะห่างระหว่างคู่ของจุดแต่ละวิธีศูนย์เท่ากับปริมณฑลจริงที่เกิดขึ้นจริงของสหราชอาณาจักรและเป็นส่วนใหญ่แน่นอนคำตอบที่แน่นอน. วันที่: 2002/02/14 ที่ 11:39:42 จาก: ปีเตอร์สันหมอเรื่อง: Re: แนวชายฝั่ง ! ของสหราชอาณาจักรเป็นที่ จำกัด แน่นอน. สวัสดีโจนาธาน. มีสองประเด็นอยู่ที่นี่ครั้งแรกชายฝั่งที่เป็นจริงที่ถูกนำมาใช้เป็นเพียงอุปมา; ของแท้fractals ไม่สามารถอยู่ในโลกแห่งความจริงเพราะโลกแห่งความจริงไม่ได้เป็นหารเพียบ(เท่าที่เรารู้) ในที่สุดคุณจะได้รับลงไปที่จุดที่คุณมีการวัดรอบอะตอมแต่ละ; ถ้าคุณไปไกลคุณจะต้องไปรอบ ๆ ในแต่ละโปรตอนหรือบางสิ่งบางอย่างและเราไม่สามารถพูดได้ว่าโปรตอนจะราบรื่นหรือไม่ สิ่งที่ทั้งไม่ทำให้รู้สึกจริงๆที่จุดนั้น. สิ่งที่ทาจิกิสถานเป็นจริงการพูดคุยเกี่ยวกับการเป็นเศษส่วนของแท้ในปริภูมิแบบยุคลิดเหมาะที่จุดที่เกิดขึ้นจริงมีอยู่และเราสามารถมีสายกลุ่มที่มีขนาดเล็กที่เราชอบ. ประการที่สองขอสมมติมี ไม่มีข้อ จำกัด ทางกายภาพและความผิดปกติของชายฝั่งจริงๆจะยังคงอยู่ตลอดไปที่มีขนาดเล็กเครื่องชั่งน้ำหนักและขนาดเล็ก ความยาวของชายฝั่งที่เกิดขึ้นจริงจะต้องมีการดำเนินการเป็นขีด จำกัด ของลำดับอนันต์ของการวัดที่ปลีกย่อยและปลีกย่อยเครื่องชั่งน้ำหนัก ความจริงเท่านั้นที่แต่ละวัดมีค่ามากกว่าหนึ่งก่อนหน้านี้ไม่ได้จริงๆหมายความว่าลำดับมีไม่ จำกัด ; ลำดับจำนวนมากอนันต์ที่คุ้นเคยเช่น 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, ... , มีที่เพิ่มขึ้นมักจะยังไม่เคยผ่านบางค่าที่ตั้งไว้ (1 ในกรณีนี้). ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ที่คุณกำลังพยายามที่จะตอบไม่สมบูรณ์ แต่คุณโต้แย้งเป็นเพียงความผิดพลาดเพราะมันยังเป็นไปได้สำหรับผลิตภัณฑ์ของจำนวนที่เพิ่มขึ้นต่ออินฟินิตี้(จำนวนจุด) และในจำนวนที่ลดลงต่อศูนย์ (ความยาวเฉลี่ยของขอบ) จะไม่มีที่สิ้นสุด ความจริงก็คือเราก็ไม่สามารถบอกได้ว่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งสายเศษส่วนเหมือนมีความยาว จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุดโดยไม่ทราบรายละเอียดเกี่ยวกับเรื่องนี้ นี่คือตัวอย่างของดังกล่าวนานอนันต์เศษส่วนที่เกล็ดหิมะ Koch: ปรากฏการณ์ที่น่าตื่นตาตื่นใจ: Infinite ปริมณฑล - ซินเทียเนียสhttp://math.rice.edu/~lanius/frac/koch2.html คุณจะเห็นว่าระยะเวลาของแต่ละคน ส่วนที่ลดลงเป็นศูนย์ (แต่ละ1/3 ตราบเท่าที่ก่อนหน้า) ขณะที่จำนวนของด้านข้างเพิ่มอนันต์(4 ครั้งเป็นจำนวนมากในแต่ละครั้ง) และปริมณฑลเป็นอนันต์. นี่คือบางส่วนการอภิปรายก่อนหน้านี้ผมพบว่าในที่เก็บของเราโดยมีการค้นหาสำหรับคำว่า "เศษส่วนชายฝั่ง": คือชายฝั่งของสหราชอาณาจักรที่ไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่http://mathforum.org/dr.math/problems/puzzled.8.17.99.html มิติเศษส่วนของชายฝั่งhttp://mathforum.org/dr .math / ปัญหา / brotzman1.16.97.html - หมอปีเตอร์สันคณิตศาสตร์ฟอรั่มhttp://mathforum.org/dr.math/ วันที่: 2002/02/16 ที่ 05:41:43 จาก: โจนาธานวิเวียนเรื่องชายฝั่งของสหราชอาณาจักรเป็นที่ จำกัด แน่นอน! ดรปีเตอร์สันขอบคุณมากสำหรับการตอบกลับของคุณ คุณได้ช่วยให้ฉันเห็นแสงมากขึ้นอยู่กับสถานการณ์ แต่ผมมีเพียงสิ่งหนึ่งที่เพิ่มเติมให้ชัดเจนขึ้น. จากสิ่งที่ฉันรวบรวมตอนนี้ผมผิดและชายฝั่งของสหราชอาณาจักรไม่ได้ _definitely_ จำกัด . แต่ไม่สามารถจะเป็นที่ จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุด? ผมหมายถึงเป็นมนุษย์ที่เราไม่ทราบว่าผิดปกติของชายฝั่งตลอดไปขณะที่พวกเราซูมเข้า(รอบไม่มีที่สิ้นสุด) หรือถ้ามีจุดที่ผิดปกติกลายเป็นเครื่องแบบ(ตัวอย่างเช่นระดับอะตอม) และ จำกัด ผมหมายถึงทุกสิ่งที่เรารู้ว่าเป็นเกาะที่อาจจะเป็นวงกลมที่สมบูรณ์แบบที่มีปริมณฑลจำกัด โดยความหมาย. ดังนั้นคำถามของฉันคือไม่ควร Mandlebrot ได้กล่าวว่า "ในปริมณฑลของชายฝั่งทะเลของสหราชอาณาจักรอาจจะไม่มีที่สิ้นสุด" แทนที่จะบอกว่ามันเป็นที่สิ้นสุด? ขอขอบคุณอีกครั้งสำหรับเวลาของคุณ. วันที่: 2002/02/16 ที่ 21:06:05 จาก: ปีเตอร์สันหมอเรื่อง: Re: แนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักรเป็นที่ จำกัด แน่นอน. สวัสดีโจนาธานใช่ว่าเป็นส่วนหนึ่งของสิ่งที่ฉัน ได้พยายามที่จะพูด ผมไม่เชื่อว่าทาจิกิสถานเป็นจริงพูดคุยเกี่ยวกับชายฝั่งทะเลที่เกิดขึ้นจริงเนื่องจากคุณจะต้องรู้ว่าพฤติกรรมทั้งหมดทางลงไปขนาดที่เล็กที่สุดที่จะบอกว่ามันไม่มีที่สิ้นสุด แต่เขาอาจจะมีในใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งชนิดของความผิดปกติที่คุณเห็นในชายฝั่งและสันนิษฐานว่าเพื่อประโยชน์ของการโต้แย้งว่ามันเป็นเศษส่วนจริงและมีความผิดปกติเดียวกันในเครื่องชั่งน้ำหนักทั้งหมด แต่น่าเสียดายที่ผมไม่ได้มีหนังสือของเขาที่จะมองมันขึ้นมาและเห็นเพียงวิธีที่เขารับรู้เรื่องนี้; แต่ฉันคิดว่าเขาได้รับการใช้แนวชายฝั่งเพื่อแสดงให้เห็นแนวคิดที่สามารถพิสูจน์ได้อย่างจริงจังสำหรับfractals กำหนดไว้ทางคณิตศาสตร์. นี่คือบางส่วนเชื่อมโยงที่แสดงบางส่วนของรายละเอียดของการโต้แย้งนี้: ชายฝั่ง Paradox - แม ธ เวิลด์, เอริค Weisstein http: //mathworld.wolfram .com / CoastlineParadox.html. Fractals และมิติเศษส่วน - Vanderbilt Univ http://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/Fractals.html หลังแสดงให้เห็นเฉพาะสิ่งที่รัฐอดีตโดยทั่วไปและถ้าคุณคิดว่ากราฟแสดงให้เห็นอย่างต่อเนื่องตลอดไปแล้วระยะเวลาก็จะเป็นที่สิ้นสุด! - หมอปีเตอร์สันฟอรั่มคณิตศาสตร์http://mathforum.org/dr.math/
การแปล กรุณารอสักครู่..
ชายฝั่งอังกฤษ
วันที่ : 02 / 13 / 2545 ที่ 20:45:40
จาก : โจนาธาน วิเวียน
เรื่อง : ชายฝั่งของอังกฤษแน่นอนแน่นอน ! คณิตศาสตร์
ดร , คุณเห็นด้วยกับผมเลอะเทอะพิสูจน์ว่าเป็นเท็จว่า
อังกฤษชายฝั่งเป็นอนันต์ ?
นี่เป็นสิ่งที่ฉันต้องการข้อพิสูจน์ :
_____________ นานมาแล้ว , เศษส่วนพระเจ้าเบอนัว มานดัลบรอ posed คำถามง่ายๆ
: ชายฝั่งของอังกฤษ ยาวเท่าไรคณิตศาสตร์
เพื่อนร่วมงานของเขาโกรธ การพูดน้อย ช่างน่ารำคาญเสีย
ของเวลาของพวกเขาในปัญหา insignifigant ดังกล่าว พวกเขาบอกว่าเขาดู
มันขึ้น
แน่นอน madelbrot มีเหตุผลสำหรับคำถามที่แปลกประหลาดของเขา ค่อนข้าง
เหตุผลที่น่าสนใจ เงยหน้าขึ้นมองชายฝั่งของอังกฤษเอง
บางส่วนในสารานุกรม ไม่ว่ารูปที่คุณได้รับมันผิด ค่อนข้าง
เพียงชายฝั่งของ briutain เป็นอนันต์
คุณประท้วงว่ามันเป็นไปไม่ได้ คือ พิจารณานี้ พิจารณา
มองอังกฤษบนแผนที่มากขนาดใหญ่ วาดง่ายที่สุดสอง -
มิติรูปร่างที่สุด สามเหลี่ยม ที่ circumscribes อังกฤษ
เป็นอย่างใกล้ชิดที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ปริมณฑลของรูปร่างนี้ใกล้เคียงกับ
ปริมณฑลของสหราชอาณาจักร
แต่พื้นที่นี้เป็นหลักสูตรที่ไม่ถูกต้องอย่างมากการเพิ่มจำนวนของจุดยอดของรูป
ไปทั่วชายฝั่งและ
พื้นที่จะใกล้ชิดกันมากขึ้น ยิ่งจุดมี อย่างใกล้ชิด
circumscribing บรรทัดจะสามารถสอดคล้องกับ dips และ
protrusions ของอังกฤษขรุขระชายฝั่ง
มีปัญหา หนึ่ง แต่ ในแต่ละครั้งจำนวนเพิ่มจุด
, ปริมณฑลเพิ่มขึ้น มันต้องเพิ่มขึ้น เพราะ
วันที่ : 02 / 13 / 2545 ที่ 20:45:40
จาก : โจนาธาน วิเวียน
เรื่อง : ชายฝั่งของอังกฤษแน่นอนแน่นอน ! คณิตศาสตร์
ดร , คุณเห็นด้วยกับผมเลอะเทอะพิสูจน์ว่าเป็นเท็จว่า
อังกฤษชายฝั่งเป็นอนันต์ ?
นี่เป็นสิ่งที่ฉันต้องการข้อพิสูจน์ :
_____________ นานมาแล้ว , เศษส่วนพระเจ้าเบอนัว มานดัลบรอ posed คำถามง่ายๆ
: ชายฝั่งของอังกฤษ ยาวเท่าไรคณิตศาสตร์
เพื่อนร่วมงานของเขาโกรธ การพูดน้อย ช่างน่ารำคาญเสีย
ของเวลาของพวกเขาในปัญหา insignifigant ดังกล่าว พวกเขาบอกว่าเขาดู
มันขึ้น
แน่นอน madelbrot มีเหตุผลสำหรับคำถามที่แปลกประหลาดของเขา ค่อนข้าง
เหตุผลที่น่าสนใจ เงยหน้าขึ้นมองชายฝั่งของอังกฤษเอง
บางส่วนในสารานุกรม ไม่ว่ารูปที่คุณได้รับมันผิด ค่อนข้าง
เพียงชายฝั่งของ briutain เป็นอนันต์
คุณประท้วงว่ามันเป็นไปไม่ได้ คือ พิจารณานี้ พิจารณา
มองอังกฤษบนแผนที่มากขนาดใหญ่ วาดง่ายที่สุดสอง -
มิติรูปร่างที่สุด สามเหลี่ยม ที่ circumscribes อังกฤษ
เป็นอย่างใกล้ชิดที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ปริมณฑลของรูปร่างนี้ใกล้เคียงกับ
ปริมณฑลของสหราชอาณาจักร
แต่พื้นที่นี้เป็นหลักสูตรที่ไม่ถูกต้องอย่างมากการเพิ่มจำนวนของจุดยอดของรูป
ไปทั่วชายฝั่งและ
พื้นที่จะใกล้ชิดกันมากขึ้น ยิ่งจุดมี อย่างใกล้ชิด
circumscribing บรรทัดจะสามารถสอดคล้องกับ dips และ
protrusions ของอังกฤษขรุขระชายฝั่ง
มีปัญหา หนึ่ง แต่ ในแต่ละครั้งจำนวนเพิ่มจุด
, ปริมณฑลเพิ่มขึ้น มันต้องเพิ่มขึ้น เพราะ
การแปล กรุณารอสักครู่..
ภาษาอื่น ๆ
การสนับสนุนเครื่องมือแปลภาษา: กรีก, กันนาดา, กาลิเชียน, คลิงออน, คอร์สิกา, คาซัค, คาตาลัน, คินยารวันดา, คีร์กิซ, คุชราต, จอร์เจีย, จีน, จีนดั้งเดิม, ชวา, ชิเชวา, ซามัว, ซีบัวโน, ซุนดา, ซูลู, ญี่ปุ่น, ดัตช์, ตรวจหาภาษา, ตุรกี, ทมิฬ, ทาจิก, ทาทาร์, นอร์เวย์, บอสเนีย, บัลแกเรีย, บาสก์, ปัญจาป, ฝรั่งเศส, พาชตู, ฟริเชียน, ฟินแลนด์, ฟิลิปปินส์, ภาษาอินโดนีเซี, มองโกเลีย, มัลทีส, มาซีโดเนีย, มาราฐี, มาลากาซี, มาลายาลัม, มาเลย์, ม้ง, ยิดดิช, ยูเครน, รัสเซีย, ละติน, ลักเซมเบิร์ก, ลัตเวีย, ลาว, ลิทัวเนีย, สวาฮิลี, สวีเดน, สิงหล, สินธี, สเปน, สโลวัก, สโลวีเนีย, อังกฤษ, อัมฮาริก, อาร์เซอร์ไบจัน, อาร์เมเนีย, อาหรับ, อิกโบ, อิตาลี, อุยกูร์, อุสเบกิสถาน, อูรดู, ฮังการี, ฮัวซา, ฮาวาย, ฮินดี, ฮีบรู, เกลิกสกอต, เกาหลี, เขมร, เคิร์ด, เช็ก, เซอร์เบียน, เซโซโท, เดนมาร์ก, เตลูกู, เติร์กเมน, เนปาล, เบงกอล, เบลารุส, เปอร์เซีย, เมารี, เมียนมา (พม่า), เยอรมัน, เวลส์, เวียดนาม, เอสเปอแรนโต, เอสโทเนีย, เฮติครีโอล, แอฟริกา, แอลเบเนีย, โคซา, โครเอเชีย, โชนา, โซมาลี, โปรตุเกส, โปแลนด์, โยรูบา, โรมาเนีย, โอเดีย (โอริยา), ไทย, ไอซ์แลนด์, ไอร์แลนด์, การแปลภาษา.
- หักเงินมัดจำ 50% ตามใบแจ้งหนี้
- ได้เรียนรู้
- ตื่นเต้น
- ทำการเก็บตัวอย่างอากาศเป็นเวลา 2 ชั่วโมง
- อาร์มี่
- Education
- ขอบคุณแปลว่า
- resident assistant
- นอนไม่หลับ ข้างห้องเสียงดัง
- Faucet damaged
- เครื่องออกกำลังกาย
- เกาะ
- Disclosure
- คุณจะว่าอะไรไหม
- The organisation that oversees Berlin's
- พ่อของฉันดุมาก
- เครื่องออกกำลังกาย
- ระยะเวลาในการทำ
- The Xenith T-Series debuts with its pate
- 贵州省贵阳市质量技术监督局
- 性别
- A simple and small-scale sample preparat
- หักเงินมัดจำ 50% ตามใบแจ้งหนี้
- surface area and unique spherical shape
