tarting with the circle P_1 tangent

tarting with the circle P_1 tangent to the three semicircles forming the arbelos, construct a chain of tangent circles P_i, all tangent to one of the two small interior circles and to the large exterior one. This chain is called the Pappus chain (left figure).

In a Pappus chain, the distance from the center of the first inscribed circle P_1 to the bottom line is twice the circle's radius, from the second circle P_2 is four times the radius, and for the nth circle P_n is 2n times the radius. Furthermore, the centers of the circles P_i lie on an ellipse (right figure).

If r=AB/AC, then the center and radius of the nth circle P_n in the Pappus chain are

x_n = (r(1+r))/(2[n^2(1-r)^2+r])
(1)
y_n = (nr(1-r))/(n^2(1-r)^2+r)
(2)
r_n = ((1-r)r)/(2[n^2(1-r)^2+r]).
(3)
This general result simplifies to r_n=1/(6+n^2) for r=2/3 (Gardner 1979). Further special cases when AC=1+AB are considered by Gaba (1940).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

tarting กับแทนเจนต์วง P_1 ไป semicircles สาม arbelos การขึ้นรูป สร้างห่วงโซ่ของวงสัมผัส P_i แทนเจนต์ทั้งหมดหนึ่งสองวงกลมเล็ก ๆ ภายใน และภายนอกหนึ่งใหญ่ สายนี้เรียกว่าห่วงโซ่ของปัปปุส (รูปซ้าย)

ในปัปปุส ระยะห่างจากศูนย์กลางของวงกลมจารึกไว้แรก P_1 ไปบรรทัดล่างคือ สองของวงกลมรัศมี จากสอง วง P_2 เป็นสี่เท่ารัศมี และวงกลมที่ n P_n เป็น 2n เวลารัศมี นอกจากนี้ ศูนย์กลางของวงกลม P_i อยู่บนรูปวงรี (รูปขวา)

ถ้า r = AB/AC จากศูนย์กลางและรัศมีของวงกลมที่ n P_n ในห่วงโซ่ของปัปปุส

x_n = (r (1 r)) / (2 [n
2(1-r)
2 r])
(1)
y_n = (nr(1-r)) / (n
2(1-r)
2 r)
2
r_n = ((1-r) r) / (2 [n
2(1-r)
2 r])
(3)
ผลลัพธ์นี้ทั่วไปช่วยให้ง่ายการ r_n = 1 / (6 n
2) สำหรับ r = 2/3 (การ์ดเนอร์ 1979) พิเศษเพิ่มเติมกรณีเมื่อ AC = 1 AB พิจารณาสารกาบา (๒๔๘๓) .

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

tarting ที่มีวงกลม p_1 สัมผัสสาม semicircles สร้าง arbelos สร้างห่วงโซ่ของแทนเจนต์วงกลม p_i ทั้งหมดสัมผัสอย่างใดอย่างหนึ่งภายในวงกลมขนาดเล็ก และขนาดใหญ่ ด้านหนึ่ง โซ่นี้เรียกว่าห่วงโซ่แพปพัส ( รูปซ้าย ) .

ในห่วงโซ่แพปพัส ระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมสลัก p_1 แรกถึงบรรทัดล่างเป็นสองเท่าเป็นวงกลมรัศมีจาก p_2 วงกลมที่สองเป็นสี่เท่าของรัศมี และเพื่อแลก p_n 2 เท่าเป็นวงกลมรัศมี นอกจากนี้ ศูนย์กลม p_i นอนบนวงรี ( รูป )

ถ้า r = AB / AC แล้วศูนย์กลางและรัศมีของรูปวงกลม p_n แลกในแพปพัสโซ่อยู่

x_n = ( R ( R ) ) / ( 2 [ n
2 ( 1-r )
2 R ] )
( 1 )
y_n = ( ( ( 1-r ) ) / ( n
2 ( 1-r )
2 R )
2 )
r_n = ( ( 1-r ) R ) / ( 2 [ n
2 ( 1-r )
2 r ] )

( 3 )ผลทั่วไปนี้ง่ายที่จะ r_n = 1 / ( 2
6 N ) r = 2 / 3 ( การ์ดเนอร์ 1979 ) ในกรณีพิเศษเพิ่มเติมเมื่อ AC = 1 AB จะพิจารณาโดย GABA ( 1940 ) .