We model our water quality time ser

We model our water quality time series with an AR model,
then we apply affine projection algorithms (APA) to learn
the parameters of the model. An AR model with l AR
terms (Box et al. ) can be written as
yt ¼
Xl
i¼1
wi yti þ ϵt,
where fwigli
¼1 are fixed parameters and ϵt is the noise with
mean zero and variance σ2. Here, we use APA to estimate,
for each water quality time series, the parameters wi
and the associated residuals. APA consider that the output yt
is linearly related to the input vector
xt ¼ ½xt, xt1, . . . , xtMþ1T ∈ RM×1 by the model
(1)
yt ¼ xTt
wt þ ϵt, (1)
where M is the length of the filter, wt ¼ ½w0,t,
w1,t, . . ., wM1,tT is the parameter vector to learn, and ϵt is
an independent and identically distributed additive noise.
Upon arrival of each new input xt and output yt, the objective
is to determine ^wt, the estimate of the parameter
vector wt that minimizes predictive error. To this end, we
use the block matrix Xt ¼ ½xt, xt1, . . ., xtMþ1, the desired
output yt ¼ ½yt, yt1, . . ., ytMþ1T , and the estimate of the
noise vector εt ¼ ½ϵt, ϵt1, . . ., ϵtMþ1. The APA allows
recursive estimation of the parameter vector and the associated
noise as follows:
^wt ¼ ^wt1 þαXTt
Xt XTt
þ γ I
 1
^εt ,
(2)
^εt ¼ yt  XTt
^wt1 :
(3)
The parameter γ is applied as a regularization term for
the solution and α is the iteration step size. For more details
on APA and its extension to adaptive regularization, seeBa&McKenna (2013).

ผลลัพธ์ (ไทย) 1:

เราแบบชุดของเราเวลาคุณภาพน้ำ ด้วยแบบจำลอง ARแล้ว เราใช้อัลกอริทึม affine ฉาย (อาป้า) การเรียนรู้พารามิเตอร์ของแบบจำลอง แบบจำลอง AR กับ l ARเงื่อนไข (กล่อง al. et ) สามารถเขียนเป็นyt ¼Xli¼1อินเตอร์ yt ฉันþ ϵtที่ fwigli¼1 คงพารามิเตอร์ และ ϵt มีเสียงด้วยค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และผลต่าง σ2 ที่นี่ เราใช้อาป้าประเมินสำหรับชุดแต่ละน้ำคุณภาพเวลา พารามิเตอร์อินเตอร์และค่าคงเหลือเกี่ยวข้อง อาป้าเห็นว่าผลผลิต ytสัมพันธ์เชิงเส้นกับเวกเตอร์อินพุต½xt xt ¼ xt 1,... xt Mþ1 T ∈ RM × 1 รุ่น(1)xTt yt ¼wt þ ϵt, (1)โดยที่ M คือ ความยาวของตัวกรอง wt ¼ ½w0, tw1, t, ... ., wM, 1 t T แบบเวกเตอร์ของพารามิเตอร์การเรียน และ ϵtมีอิสระ และกระจายเหมือนกันสามารถเสียงรบกวนเมื่อมาถึงของใหม่ใส่ xt และออก yt วัตถุประสงค์คือ กำหนด ^ wt ประเมินของพารามิเตอร์เวกเตอร์ละเว้นที่ช่วยลดข้อผิดพลาดที่คาดการณ์ เพื่อการนี้ เราใช้เมทริกซ์แบบบล็อก Xt ¼ ½xt, xt 1, ... ., xt Mþ1 ที่ต้องผลผลิต yt ¼ ½yt, yt 1, ... ., yt Mþ1 T และการประเมินของการเสียงเวกเตอร์ εt ¼ ½ϵt, ϵt 1, ... ., ϵt Mþ1 เอพีเอช่วยให้การประเมินซ้ำของเวกเตอร์พารามิเตอร์และที่เกี่ยวข้องเสียงดัง:^ wt ¼ ^ wt 1 þαXTtXt XTtþγฉัน 1^ Εt (2)^ XTt yt εt ¼^ wt 1:(3)Γพารามิเตอร์จะใช้เป็นคำ regularization สำหรับโซลูชันและαเป็นขนาดขั้นตอนการเกิดซ้ำ สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมอาป้าและส่วนขยายของ regularization เหมาะสม seeBa และ McKenna (2013)

ผลลัพธ์ (ไทย) 2:

เราจำลองอนุกรมเวลาของเรามีคุณภาพน้ำที่มีรูปแบบ AR,
แล้วเราใช้ขั้นตอนวิธีการฉายเลียนแบบ (APA) เพื่อเรียนรู้
พารามิเตอร์ของแบบจำลอง รุ่น AR กับลิตร AR
เงื่อนไข (กล่อง et al. ) สามารถเขียนเป็น
yt ¼
Xl
i¼1
Wi yt? i þεt,
ที่ fwigli
¼1รับการแก้ไขค่าพารามิเตอร์และεtเป็นเสียงที่มี
ค่าเฉลี่ยศูนย์และความแปรปรวนσ2 ที่นี่เราใช้ APA เพื่อประเมิน
สำหรับแต่ละคุณภาพน้ำอนุกรมเวลา, Wi พารามิเตอร์
และสิ่งตกค้างที่เกี่ยวข้อง APA พิจารณาว่า yt การส่งออก
มีความเกี่ยวข้องเป็นเส้นตรงในการป้อนข้อมูลเวกเตอร์
XT ¼½xt, XT? 1, . . , XT? Mþ1? T ∈ RM × 1 รุ่น
(1)
yt ¼ xtt
น้ำหนักþεt (1)
ที่ M คือความยาวของตัวกรอง, น้ำหนัก¼½w0, T,
w1, T, . ., WM? 1? t T เป็นเวกเตอร์พารามิเตอร์ที่จะเรียนรู้และεtเป็น
อิสระและเสียงกระจายเหมือนสารเติมแต่ง.
เมื่อมาถึงของ XT ป้อนข้อมูลใหม่ในแต่ละและผลผลิต yt วัตถุประสงค์
คือการกำหนด ^ น้ำหนัก, การประมาณการของ พารามิเตอร์
น้ำหนักเวกเตอร์ที่ช่วยลดข้อผิดพลาดในการทำนาย ด้วยเหตุนี้เรา
ใช้บล็อกเมทริกซ์ Xt ¼½xt, XT? 1, . . XT? Mþ1 ?, ที่ต้องการ
ส่งออก yt ¼½yt, yt? 1, . . yt? Mþ1? T และประมาณการของ
เสียงเวกเตอร์¼½εtεt, εt? 1, . . εt? Mþ1 ?. APA ช่วยให้
การประมาณ recursive ของเวกเตอร์และพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้อง
เสียงดังนี้
? ^ ^ น้ำหนัก¼น้ำหนัก 1 þαXTt
Xt xtt
þγฉัน
? ?? 1
^ εt,
(2)
^ εt¼ yt? xtt
^ น้ำหนัก 1:?
(3)
γพารามิเตอร์ถูกนำไปใช้เป็นคำ regularization สำหรับ
การแก้ปัญหาและαคือขนาดขั้นตอนซ้ำ สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม
เกี่ยวกับ APA และการขยายไปยัง regularization ปรับ Seeba & McKenna (2013)

ผลลัพธ์ (ไทย) 3:

เราแบบอนุกรมเวลาคุณภาพน้ำร่วมกับแบบจำลอง AR
จากนั้นเราใช้ขั้นตอนวิธีประมาณการรวม ( APA ) เพื่อเรียนรู้
พารามิเตอร์ของแบบจำลอง รูปแบบ AR กับ l ar
แง่ ( กล่อง et al .  ) สามารถเขียนได้เป็น


ผม¼ YT ¼ XL 1
วี YT  ผมþϵ T

¼ที่ fwigli 1 จะคงที่และค่าϵ t เป็นเสียงกับ
หมายถึงศูนย์และความแปรปรวนσ 2 ที่นี่เราใช้ในการประเมินคุณภาพน้ำ
, แต่ละอนุกรมเวลาพารามิเตอร์ไร้
และที่เกี่ยวข้องความคลาดเคลื่อน . ในการพิจารณาว่าการส่งออก YT
เป็นเส้นตรง ที่เกี่ยวข้องกับข้อมูลเชิงเส้น
XT ¼½ XT , XT  1 . . . . . . . . , XT  M þ 1  T ∈ RM × 1 ตามแบบ ( 1 )


xtt YT ¼ WT þϵ T ( 1 )
โดยที่ M คือความยาวของตัวกรอง , WT ¼½ W0 T ,
, W1 T , . . . . , WM  1 T T เวกเตอร์  เป็นพารามิเตอร์เพื่อเรียนรู้ และϵ t
เป็นอิสระและการกระจายเหมือนกัน
เสริมเสียงเมื่อมาถึงแต่ละอินพุตและเอาต์พุตใหม่ XT ไม่ มีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษา

โดยน้ำหนัก การประมาณพารามิเตอร์ของน้ำหนักที่ลดความผิดพลาดในการทำนาย
เวกเตอร์ . จุดนี้เรา
ใช้เมทริกซ์แบบบล็อก XT ¼½ XT , XT  1 . . . . . . . . , XT  M þ 1  ที่ต้องการออก YT
, ¼½ YT , YT  1 . . . . . . . . , YT  M þ 1  T และประมาณการของ
เสียงเวกเตอร์ε¼½ϵ T T T ϵ  1 . . . . . ϵ T  M þ 1  . EPA ช่วยให้
การประมาณค่าพารามิเตอร์ของเวกเตอร์และผู้เกี่ยวข้องดังนี้


เสียงโดย¼
WT  1 þα xtt
XT xtt
þγผม
   1

ε T
T ( 2 )

ε¼ YT  xtt

WT  1 :

( 3 ) พารามิเตอร์γใช้เป็นการศึกษาระยะ
โซลูชั่นและαจะทำซ้ำขั้นตอนขนาด สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับอาภา และนามสกุล
ผิดกฎหมายแบบปรับตัว seeba & McKenna ( 2013 )